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第13讲 基本不等式
【知识点总结】
1. 几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： 同号 .
）
（3）其他变形：
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，
积有最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有
最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了
后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数 满足 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例4．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点 在直线 上，则 的最小值
为（ ）
A．2 B． C． D．4
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知 ，则 的最大值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知 、 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）A． B． C． D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 在 时取得最小值，则
等于（ ）
A．6 B．8 C．16 D．36
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三
角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果 ，那么 ；
B．如果 ，那么 ；
C．对任意实数 和 ，有 ，当且仅当 时等号成立；
D．如果 ， ，那么 ．
3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
5．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 有（ ）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式 m2+7m恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
8．（2022·全国·高三专题练习）设 均为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
9．（2022·全国·高三专题练习）若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足 的任意正数 及任意 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（
）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填
序号）.
① ；② ；③ ≥2；④a2＋b2≥8.
14．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最大值是 _______
15．（2022·全国·高三专题练习）若正数 满足 ，则 的最大值是________．16．（2022·全国·高三专题练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中 ， ，则mn的最大值为___________.
17．（2022·全国·高三专题练习）当 时， 的最小值为______．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且满足 ，则 的最小值为
_________
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为______．20．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
21．（2022·上海·高三专题练习）若 ，则 的最小值为____________．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是________．
23．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， 为正实数，满足 ，则 的最小值是
__________．
24．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是_______．
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数 满足 ，则 的最大值为
___________.
26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花
坛 ，要求点 在 上，点 在 上，且对角线 过点 ，已知 ， ，那么当
_______时，矩形花坛的 面积最小，最小面积为______.
