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微专题：参变分离法解决导数问题
【考点梳理】
1.分离变量法
在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转化为
这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与动直线
的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2.分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
【典例分析】
典例1．已知 .
(1)若函数 在区间 内单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 在区间 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围.
典例2．已知函数 ，曲线 在点 处的切线 的斜率为4.
(1)求切线 的方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
典例3．已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)证明： ．
典例4．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
【双基达标】
5．已知 ，曲线 在 处切线过点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
6．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
7．已知函数
(1)当 时，证明函数 有两个极值点；
(2)当 时，函数 在 上单调递减，证明
8．已知函数 的一个极值点为 .
(1)求函数 的极小值；
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若函数 ，当 时， ，求实数 的取值范围.
9．已知函数 ．
(1)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若曲线 存在过点 的切线，求证： ．
10．已知函数 .
(1)若 ，证明： ；
(2)设函数 ，若 有两个不同的实数根 ，且 ，证明： .
【高分突破】
11．已知函数 ， ．
(1)若函数 是增函数，求实数a的取值范围；
(2)当a＝0时，设函数 ，证明： 恒成立．
12．已知函数 （ ，e为自然对数的底数）.
(1)若 在 处的切线与直线 平行，求 的极值；
(2)当 时， ，求m的取值范围.
13．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 有且仅有两个不相等实根，求实数 的取值范围．
14．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求a，b的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．已知函数 ， ．
(1)若函数 在区间 内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若 ，且 ，求证： ．
16．已知函数 ，函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，若 与 的图象在区间 上有两个不同的交点，求k的取值范围．
17．已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．
(1)求实数 的值;
(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．
18．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设函数 ，若 在其定义域内恒成立，求实数 的最小值；
(3)若关于 的方程 恰有两个相异的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
19．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极小值.
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
20．已知函数
(1)讨论函数 零点的个数；
(2)对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知函数 ．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)当 时，证明： 在定义域上是增函数；
(2)记 是 的导函数， ，若 在 内没有极值点，求a的取值范围．
（参考数据： ， ．）
22．已知函数
(1)令 ，若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当 时．证明：
23．已知函数
(1)当 时，求函数f（x）的单调区间；
(2)若函数 在 上有两个极值点，求实数 的取值范围.
24．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值．
25．已知函数 ， 为自然对数的底数．
(1)当 时，
①求函数 在 处的切线方程；
②求函数 的单调区间；
(2)若有且只有唯一整数 ，满足 ，求实数 的取值范围．
26．已知函数 ， ．
(1)对任意 ，使得 是函数 在区间 上的最大值，试求最大的实数 ．
(2)若 ，对于区间 的任意两个不相等的实数 、 ，且 ，都有 成立，
求 的取值范围．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的最小值；
(2)求证： ；
(3)已知 恒成立，求 的取值范围．
28．已知函数 ．
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 ，求证：关于x的不等式 在 上恒成立．
29．已知 ， .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若不等式 对任意 成立，求 的最大整数解.
30．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行（e是自然对数的底数）.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数k的取值范围.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）函数求导后，函数 在区间 内单调递增，转换成 在 上恒成立，孤立参数得 ，
转换成求函数 最大值，从而得实数 的取值范围；
（2）函数求导后， 在区间 上存在单调递增区间转换成 在 上能成立，孤立参数得 ，
转换成求函数 最小值，从而得实数 的取值范围.
(1)
解： ，
在区间 内单调递增
在 上恒成立，
在 上恒成立，
在 上恒成立，
，
在 ，
则 的取值范围是： .
(2)
解： 在 上存在单调递增区间，
则 在 上有解，
即 在 上有解，
，
又 ， .
则 的取值范围是： .
2．(1)
(2)
【解析】
【分析】
第 7 页（1）根据导数的几何意义先求解 的值，然后得到切点坐标，即可得到切线 的方程；
（2）化简不等式，分离常数 ，即 ，构造函数 ，利用导数求解函数 的最大值
即可.
(1)
解：函数 的定义域为 ， ，
由题意知， ，所以 ，
故 ，所以 ，切点坐标为
故切线 的方程为 ．
(2)
解：由（ ）知， ，
所以 1 ，可化为： ，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值 ，
故当 时， 在 上恒成立，
所以实数 的取值范围是 .
3．(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，转化为函数交点个数问题.
(2)通过换元简化问题，再利用构造函数来证明.
(1)
令 ，则 ，设
当 时， 时， ，∴ 在 上单调递减，
在 上单调递增，∴ ，
∵ 时， ；当 时， 且 时， ，
第 8 页∴当 上时， 无零点，当 或 时， 有一个零点，
当 时， 有两个零点．
(2)
设 ，则 ，
即证 ，即证 ，
即证： ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时，
，∴ 在 单调递减， 在 单调递增，∴ ，
∴ ，当且仅当 时“=”成立，由（1）知，当 时，存在 ，
使得
∴ ∴ ．
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与
函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、
化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据
题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去
解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．(1)1；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）按照函数求最值步骤求解即可；
（2）对于含参不等式的恒成立，需要分析式子的结构，转化成函数最值求解问题即可．
(1)
解：求导：
即
当 解得 当 解得
的单调递减区间为 ；单调递增区间为
函数 的最小值为
(2)
第 9 页解：由（1）得 ，所以要使得 恒成立，必须满足：
下面证明：当 时 恒成立
只需证明
设 ，
则
由（1）得 且只在 取等号
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
.
综上 ．
解法二：（变量分离）整理得：
只需
先证明： ，
构造 ， ，
当 时， ， 单调递增
从而证明得
当仅且当 即 处取得等号.
.
解法三：（不分离）
得
下面证明当 时，
第 10 页只需证明
设 ，
则
由（1）得 且只在 取等号
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
.
综上 ．
5．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
(1)求出 ，即求出了切点的坐标，再求导，并求出 的值，即求出了切线的斜率，由点斜式写出切线方程，
再代入点 求解即可；
(2)由题意可得 在 上恒成立，令 ，将问题转化为求函数 在
上的最小值即可.
(1)
解：因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以函数在 处切线方程为： ，
又因为切线过点 ，
所以 ，解得 ；
(2)
由(1)可知 ，
又因为当 时， ，
所以 在 上恒成立，
第 11 页令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
令 ，易得 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 ，使 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， .
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
故 的取值范围为： .
6．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线斜率，再由点斜式求切线方程；
(2)化简不等式 ，通过讨论 的范围分离变量，再利用导数求函数的最值可得a的取值范围.
(1)
因为 ，所以
又 ，
所以切线方程为 ，即
(2)
由 知 ，因为
第 12 页所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，
构造函数 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 时， ，因此
当 ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 时， ，因此
综上：
【点睛】
对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x) ；
max
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x) .
⇔ min
7．(1)证明见解析
⇔
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）构造函数 求导,利用零点存在性定理,判断根的分布,进而可得函数的单调性,即可得极值.
（2）分离参数,转化为 恒成立,构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.
(1)
定义域为
当 时
第 13 页令
∵ 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增
所以 使
此时 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减
时， ， 单调递增
∴ 是函数 的两个极值点．
(2)
∵ 在 上单调递减
∴ 恒成立
∴ 恒成立
① 时，令
∵ ，∴
∴ 在 单调递减，∴
又∵ ∴ ，∴
② 时， ，∵ ，∴
∴ ，∴
又∵ ，∴
令
令 ，∴
∴ 单调递减，∵
使 ，即
时， 单调递增
时， 单调递减
第 14 页∴ ∴ ∴ ，∴
综上
【点睛】
本题考查导数的综合应用，极值点，不等式的证明，参数的取值范围，利用导数判断函数的单调性是基本操作，
导函数符号对函数单调性的影响，以及零点存在性定理，适当的放缩，把双变量问题通过放缩变成单变量问题.
8．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导，由 解得 ，再确定单调性，求出极小值即可；
（2）将题设转化为 在 上恒成立，整理后对 的
范围分类讨论，参变分离后转化为最值问题即可.
(1)
， ，解得 ，
则 ， ，当 或 时， 单增，
当 时， 单减，故 在 处取得极小值，极小值为 ；
(2)
当 时， 等价于 在 上恒成立，
整理得 ，当 时， 显然成立；当 时， ，令
，
，当 时， 单增，则
，故 ，即 ；
当 时， ，由上知，当 时， 单增，当 时， 单减，
则 ，故 ，即 ；综上可得 .
9．(1)
(2)证明见解析
第 15 页【解析】
【分析】
（1）对原不等式进行参变分离，得到 ，进而令 ，从而转化为求出 的最大值即可；
（2）设出原函数的切点 ，利用导函数找出在切点处斜率，从而找 ．进而
构造函数找出 范围．
(1)
由已知有 恒成立，即代表 恒成立，
因为 ，故 恒成立，
令 ，故 ，
令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 的最大值为 ，
故 ，所以 的取值范围是 ；
(2)
证明：设切点为 ，
又因为 ，
所以函数在 处的切线斜率 ，
所以函数在 处的切线方程为： ，
又切线经过点 .
故可得： ，
化简整理可得： ，
令 ，
，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减， 单调递增，
故 在 的最小值为 ，
故： ，得证．
第 16 页10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由 ，列出 与 的关系式，利用指数对数的运算性质进行化简与放缩即可证明；
(2)把 化成 的形式，根据导数确定 的单调性与极值，画出简图，确定 与1的大小关系，利
用(1)的结论，可以得到 与 的关系，进而可证得结论.
(1)
证明：由 ，得 ，则有 ，所
以 ；
(2)
证明：令 ，化简可得 ，即 ，
，令 ， ，所以 在 上单调
递增且 ，则 即 时 ， 时 ，可得 在 上单调递减，在 单
调递增，且有 ，由下图可知， ， ，
又 ，即 ，由(1)可得 ，又由
得 ，即 ，由(1)
可得 ，①②相乘可得 ，即 .
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图
第 17 页象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，
就有几个不同的零点．
11．(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知 在 上恒成立，进而进行分参得到 ，然后通过导数方法求出 的
最大值即可得到答案；
（2）分 和 进行讨论，然后通过导数方法并结合三角函数的有界性得到函数的单调区间，进而证
明问题.
(1)
因为函数 为增函数，所以 在 上恒成立，即 在 上
恒成立.
令 （x＞0），则 ，当 时， ， 单调递增，当 时，
， 单调递减，∴ ，∴ ．
(2)
当a＝0时， ， .
当 时， ，
设 ，则 ，∴ 单调递增，∴ ，∴当 时，
恒成立．
当 时，设 ，则 ，
∵ ，∴ ， ， ，∴ ， 单调递增.
∴ .
∴当 时， ， 单调递增，∴ ，即当 时， 恒成
立.
综上， 恒成立．
【点睛】
本题第（2）问较难，且方法比较巧妙，一般来讲，象涵盖指（对）数函数和三角函数的超越函数通常都要分段，
并会利用到三角函数的有界性，平常注意对此种题型的归纳总结.
12．(1)极小值为 ，极大值为
第 18 页(2)
【解析】
【分析】
（1）先求导，由 解出 ，代入导数，确定单调性进而求出极值即可；
（2）当 时显然不成立，当 时，分 和 参变分离，构造函数 求出最值，
即可求得m的取值范围.
(1)
，则 ，
处的切线与 平行，
则 ，即 ，则 ，
，
由 得 ，由 得 或 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取得极小值 ，
在 处取得极大值 .
(2)
由 恒成立，
，即 ，
①当 时，不等式成立；
②当 时， 恒成立，
设 ，则
，
当 ，则 ，当 ，则 ，
在 为单调递增，在 为单调递减，
，即 ，
③当 时， 恒成立，
若 ，由上知 ， 在 上单调递增，
，即 ，
第 19 页综上所述 的取值范围为 .
13．(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求解 导函数，再由 与 的解集，可得函数单调区间；（2）利用参变分离法，令新函数
，求导判断单调性，从而得函数的最值，数形结合可得 的取值范围.
(1)
时， ，定义域为 ，
，当 时， ；
当 时， ，所以函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 .
(2)
由题意， ，即 有且仅有两个不相等实根，
令 ， ，即 与 的图像有两个交点，
， 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值为 ，
又因为 时， ， 时， ，
所以当 时， 与 的图像有两个交点，
所以实数 的取值范围为 .
第 20 页【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考
查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函
数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问
题．（4）考查数形结合思想的应用．
14．(1) ， ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）求导，由切线为 ，可得 ，运算即得解；
（2）参变分离可得 ，令 ，求导分析单调性，可得 的最小值为 ，分析即得解.
(1)
解：∵ ，∴ ，
∵曲线 在点 处的切线方程为 ，
∴ ，解得 ， .
(2)
解：由（1）知 ，
第 21 页∵不等式 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立，∴ ，
令 ，则 ，由 得 .
∴当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数，
∴ 的最小值为 ，∴ ，
∴实数m的取值范围是 .
15．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件将问题转化为 在 上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出 的范围；
（2）根据条件将问题转化为 成立问题,令 ，即 成立，再利用函数的单调性
证明即可.
(1)
解：因为 的定义域为 ，
所以 ，
若函数 在区间 递增，
则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
则只需 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
即 在 时取得最小值9，
所以 ，
所以a的取值范围为 ．
第 22 页(2)
解：令 ， ，
则 ， ．
由 ，且 ，得 ，
所以 ， ，
所以要证 成立，
只需证 ，
即 ，即 成立即可，
令 ，则需证 ，
由（1）可知 时，函数 在 单调递增，
所以 ，所以 成立，
所以 ．
【思路点睛】
1、一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，
若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 恒成立．
2、对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，
最后由最值的正负得到不等式成立.
16．(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为 在 上有
两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.
(1)
由题意可得 的定义域为 ，且 ．
①当 时，由 ，得 ；由 ，得 ．
第 23 页故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
②当 时，由 ，得 ；由 ，得 ．
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)
当 时，令 ，得 ，即 ，
则 与 的图象在 上有两个不同的交点，等价于 在 上有两个不同的实根．
设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ．
因为 ， ，且 ，
所以要使 在 上有两个不同的实根，则 ，
即k的取值范围为 ．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考
查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函
数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问
题．（4）考查数形结合思想的应用．
17．(1)1
(2)4
【解析】
【分析】
（1）先求导，再利用 解出 即可；
（2）先参变分离得到 ，再构造函数 ，求导确定单调性后求出 的范围，
即可求出 的最小值.
第 24 页(1)
由题意知： ， ，解得 ；
(2)
由（1）知： ，存在 使 成立等价于 ，令
，
则 ，令 ，则 ，所以 在
上单增，
又 ，故存在 使 ，即 ，
故当 时， 单减，故当 时， 单增，
故 ，故 ，
又 且 ，故 的最小值为4.
18．(1)
(2)
(3) ；证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意， ，分别求出 和 求解即可；
（2）条件等价于 ，令 求解最大值即可；
（3）令 ，求出 的单调性，得到 ，
根据题意求解 的范围即可；不妨设 ，则 ， ，
题设即证明 成立，构造 ，
求解单调性得到 即可求解.
(1)
当 时， ，所以 ， ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即
(2)
由题意得， ，因为 在其定义域内恒成立，
第 25 页所以 在 恒成立，即 在 恒成立，
等价于 ，令 ，所以 ，
令 解得 ，令 解得 ，所以函数 在 单调递增，
在 单调递减，所以 ，所以 ，即 ，故 的最小值为 .
(3)
先证明必要性：
由 得 ，即 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，因为 ，所以 恒成立，
函数 在 单调递减，而 ，故在 上 ， ，
单调递增，在 上 ， ， 单调递减，
所以 .
故方程 恰有两个相异的实根只需： ，
所以实数 的取值范围是 ；
再证明充分性：
当 时，方程 恰有两个相异的实根，
条件等价于 ，即 ，即 与 ，
当 ， 时有两个不同的交点，所以 ，
由上面必要性的证明可知函数在 单调递增，在 单调递减，
所以 在 时的最大值为： ，最小值趋近于负无穷，
所以当 时，程 恰有两个相异的实根，即充分性成立.
下证： ，不妨设 ，则 ， ，
所以 ，因为 ，
所以
第 26 页，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以当 时， ，
即 ，所以 ，所以 .
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，
对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，
往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；
已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
19．(1)1；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）利用导数求 的单调性，即可求极值.
（2）将问题转化为在 上 ，再应用导数求 的最小值，即可求 的范围．
(1)
当 时 ，则 ，令 ，得 ．
时 ，函数 的单调递增区间为 ，
时 ，函数 的单调递减区间为 ；
所以函数 的极小值为 .
(2)
由题设，在 上 ，
设 ，则 ，显然当 时 恒成立，
所以 在 单调递增，则 ，
第 27 页综上， ，故 ．
20．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据零点的个数可得函数最值的符号，结合零点存在定理可求参数的取值范围；
（2）分离参数得到 ，构造函数 ，求导确定函数的最小值即可得到 的取
值范围.
(1)
函数 的定义域为 ， ，
若 时， ，故 在 上为增函数，此时 最多一个零点，舍.
若 ，
则 ， ，故 在 上为增函数；
， ，故 在 上为减函数；
故 ，故 .
当 时， ，而 ，
故 在 上有一个零点；
下证：当 时 成立.
设 ，则 ，
故 在 上为减函数，故 ，
故当 时 成立即 即 ，其中
所以当 时，有 ，
故 在 上有一个零点，
故当 时，函数 有2个零点.
(2)
第 28 页因为 ，所以对任意的 恒成立，
等价于 在 上恒成立.
令 ，则 .
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 有唯一零点 ，
且 .
所以当 时， ，当 时， .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，即 ，则 .
所以 ，
即 .
又因为 在 上单调递增，所以
所以 ，则 .
所以 的取值范围为 .
【点睛】
本题关键点在于对 求导后，把导数构造成新的函数再次求导，借助隐零点求出
的最小值，进而借助恒成立的内容进行解答.
21．(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）对函数求导得 且 ，再应用基本不等式求 ，结合 ，可确定
的符号，即证结论.
（2）对 求导得 且 ，将问题转化为 或 在 上恒成
第 29 页立，构造 ，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求a的取值范围．
(1)
由题设， 且定义域为 ，
因为 ，则 ，当且仅当 时等号成立，而 ，
所以， 时有 ，故 在 上是增函数.
(2)
由题设， ，则 且定义域为 ，
因为 在 内没有极值点，即 或 ，
所以 或 在 上恒成立，
令 ，则 ，当 时 ；
当 时，令 则 ， ，
所以 在 上递增，而 ，
所以在 上 ，故 在 上递增，而 ，
综上，在 上 ，即 ，
所以，在 上 ，即 单调递增，则 ，
故 或 ，即a的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：第二问，对 求导后，将问题转化为 或 在 上恒成立，并构造函
数，利用导数研究单调性求值域.
22．(1) ， ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）应用二次求导可得 在 , 上单调递增，即 ，讨论 、 研究 的单调性及
最值，结合题设不等式恒成立求 的取值范围；
第 30 页（2）应用分析法将问题转化为证明 在 上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求极
值，即可证结论.
(1)
由题意， ，则 ， ，
当 时 ， 在 , 上单调递增，
所以 ，
①当 ，即 时， 恒成立，故 在 , 上单调递增，
所以 ，解得： ，
所以 ；
②当 ，即 时， 在 , 上单调递增且 ，
当 时， ，
所以存在 , 使 ，即 ，
所以，当 时 ， 单调递减，当 , 时 ， 单调递增，
所以 ，可得 ，则 ，
由 得： ，记 ， , ，
所以 ，即 在 , 上单调递增，则有 ，
由上， ，
综上所述， , ．
(2)
要证 ，即证 ，即证 ，
由 ，即证 ，
令 ，则 ，又 ，
所以，当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，
所以 在 处有极小值，即最小值，故 ，即当 时 成立，
得证．
【点睛】
关键点点睛：
（1）二次求导得到 ，讨论参数a研究 的单调性，注意过程中隐零点的应用；
（2）分析法将问题转化为 恒成立问题.
23．(1)增区间是 ，减区间是
第 31 页(2)
【解析】
【分析】
（1）表示出函数 的解析式，求解导函数，利用导数的正负研究函数的单调性即可；（2）表示出函数 的
解析式，求解导函数，将问题转化为 有两个不等实根求解，参变分离后，令新函数 ，求导函
数，判断单调性并求解最大值与端点值，即可求得参数范围.
(1)
当 时， ，
，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的增区间是 ，
减区间是 ．
(2)
，
，
由题意 在 上有两个不等实根，
即 有两个实根，
设 ，则 ，
时， ，所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
所以 ，其中 ， ，
所以当 时， 在 上有两个实根，
即当 时，函数 在 上有两个极值点.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分
第 32 页类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
24．(1) 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)4.
【解析】
【分析】
（1）求导函数，分析导函数的符号，可得出原函数的单调性；
（2）由已知，将不等式分离参数得 恒成立，令 ，求导函数 ，由（1）
得 在 上单调递增，且 ， ，根据零点存在定理有 ，使 ，
即有 ，分析导函数的符号得出函数 的单调性和最值，从而求得整数 的最大值．
(1)
解：由题意知， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)
解：∵ ，∴ ，
∴ 恒成立，令 ，则 ；
由（1）知， 在 上单调递增，且 ， ，
∴ ，使 ，即 ，∴ ，
当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增；
∴ ，
∴ ，∵ ，且 ，∴ ．
25．(1)① ；② 在 上单调递减，在 上单调递增
(2) ．
【解析】
【分析】
（1）①，当 时，结合导数的几何意义求出 ，结合点斜式可求切线方程；②由导数的正负可求 的单
调区间；
第 33 页（2）可令 得 ，分离参数 ，分 与1的关系进行分类讨论，令 ，结合
正负判断 单调性，求出 最值，再由 与最值得关系进一步讨论可求 的取值范围．
(1)
当 时， ， ，
① ，又 ，
函数 在 处的切线方程为： ，即： ；
② ，
由于 ，当 时， ， ， ；当 时， ， ，
，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
(2)
由 得 ，
当 时，不等式显然不成立；当 时， ；当 时， ，
设 ， ，
函数 在 和 ， 上为增函数，在 和 上为减函数，
当 时， ，当 时， ，
①当 时， ，由 得， ，又 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ，
，即 ， ，
②当 时， ，由 得， ，又 在区间 上单调递减，在区间 ， 上单调递
增，且 ，
，解得： ，
综上所述， 的取值范围为 ．
26．(1)2
(2) 不存在
【解析】
【分析】
第 34 页（1）将已知转化为 在区间 上恒成立，利用二次函数的性质及一次函数的可得解；
（2）将已知转化， ， ，构造函数 和
在区间 上是减函数，通过函数的单调性求解即可.
(1)
是函数 在区间 上的最大值， 区间 恒成立，
即 在区间 上恒成立，
又 ，所以只需 在区间 上恒成立，
，函数 的对称轴为
只需 对一切 恒成立，
记 ，关于a的单调递减的一次函数，
只需 ，解得 ，
最大的实数 为2．
(2)
当 ， ，求导
函数 在区间 上是减函数，
， 成立，
成立，
即 ， ，
构造函数 和 在区间 上是减函数．
所以 ，即 在区间 上恒成立，
利用二次函数的性质知 的最大值为
，即 ；
同理 ，即 在区间 上恒成立，
利用二次函数的性质知 的最大值为
，即 ；
， 不存在．
【点睛】
思路点睛：本题考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力，本题
的第一问借助二次函数及一次函数的性质求解；第二问求解时先将已知转化，再构造函数数 和
，再利用函数的单调性求解参数的范围，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题．
27．(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ．
第 35 页【解析】
【分析】
（1）求 恒成立，即 等价于 ，求出 的最大值， 大于等于 的最大值，即可
求出 的最小值；
（2）当 时，得 ，即 ， ，代入化简即可证明.
（3）由题意知 恒成立，即分离参数后得 ，再结合第二问的结论，即可
求出 的取值范围.
(1)
等价于 ，令 ，当 时， ，当 时，
.则 在 上单调递增，在 上单调递减， ，则 ， 的最小值为 .
(2)
证明：当 时，由（1）得 ，即 .令 ，则 ，即
.
(3)
恒成立，即 恒成立, ，由（2）知
恒成立， ，故 的取值范围为 .
28．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对 求导，讨论参数a研究 在 上的符号，即可确定 的单调性；
（2）利用导数研究 在 上单调性可得 ，应用分析法将问题转化为证明 ，由
已知条件结合导数可得 ，进一步将问题转化为证明 恒成立即可.
(1)
第 36 页依题意，得 ．
若 ，则 ， ，则 在 上单调递增；
若 ，令 ，得 ，
则当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)
令 ， ，则 ．
令 ，由（1）知，当 时 ，
∴ ，即 在 上单调递增，
∴ ．
欲证 ， ，只需证明 ．
而 ，即 ．
令 ， ，则 ，
∴当 时 ，即 在 上单调递增，又当 无限接近于1时，函数值 接近于0，
∴ ，即 ，故 ．
故只需证明： ，只需证明 ．
令 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递增，且当 无限接近于1时，函数值 接近于0，
故 有 ，即 ，即结论得证．
【点睛】
关键点点睛：第二问，根据所证结论结合分析法将问题转化为证明 ，再由已知关系式进一步将问题转化
第 37 页为证 .
29．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数 求导，求 与 ，再代入点斜式求解切线方程；（2）利用参变分离法，将不等式变形，令
新函数 ，求导得 ，再令新函数 ，判断单调性与零点所在区
间，求解 的最小值并化简得到所在区间，从而求解出 的最大整数解.
(1)
，所以定义域为 ，
， ， ，所以切线方程为 ；
(2)
时， 等价于 ，
令 ，则 ，记 ， 时， ，
所以 为 上的递增函数，且 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
且 ，
，所以 的最大整数解为 ；
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分
类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
30．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导函数，利用导函数的几何意义和两直线平行的条件可求得a得函数 的解析式；
（2）不等式等价于 在 上恒成立，进行参变分离得 .令
第 38 页，运用导函数的符号，分析函数 的单调性，求得其最值，从而求得实数k的取值范围.
(1)
解：由题意得 ，所以 ，
又 的图象在点 处的切线与直线 平行，所以 ，
解得 ，所以 .
(2)
解： 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，所以 .
令 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
故 ，即实数k的取值范围是 .
第 39 页第 40 页
