文档内容
微专题：与圆有关的轨迹问题
【考点梳理】
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出
方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；④相关点代入法：找到要
求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
【题型归纳】
题型一： 直接法
1．正三角形OAB的边长为1，动点C满足 ，且 ，则点C的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
2．已知平面向量 ， ，且非零向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是
圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型二： 定义法
4．已知 ， 为圆 ： 上两点，且 ，点 在直线 ： 上，则 的
最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，
B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为（ ）
A．[0， ] B．[－5 ，1]
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．[－ ， ] D．[－2，2]
6．由两个边长为 的等边三角形构成的菱形ABCD中（BD为两个等边三角形的公共边），若点Q满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三： 几何法
7．已知A，B为圆 上的两个动点，P为弦 的中点，若 ，则点P的轨迹方
程为（）
A． B．
C． D．
8．已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值
为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知圆 ，直线 ，过 上的点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则弦 中点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型四： 相关点代入法
10．在平面上，已知定点 ，动点 ，当 在区间 上变化时，动线段 所成图形的面
积为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．已知圆C： ，点 是圆上的动点， 与圆相切，且 ，则点 的轨迹方程是
（ ）
A． B．
C． D．
12．已知矩形ABCD中， ，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将 沿DM翻转，直到与
△ 首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知 是圆 上一个动点，且直线 与直线
相交于点P，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知圆 ，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
若O为坐标原点，则 最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
15．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数 的
点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足 ，则
面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成
果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司称为阿波罗尼期圆．已知 ， ，圆 上有且仅有一个点 P满足 ，则
r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．若平面上两点 ， ，则过点 的直线 上满足 的点 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与直线 的斜率有关
18．已知A、B是圆O： 上两个动点，点P的坐标为 ，若 ，则线段 长度的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
19．若两定点 ， ，动点M满足 ，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果
一个动点P到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯
圆.若点C到 的距离之比为 ，则点C到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
21．已知 是圆 的一条弦，且 ， 是 的中点，当弦 在圆 上运动时，
直线 上存在两点 ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
22．在正三角形 中， 为 中点， 为三角形内一动点，且满足 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．在平面直角坐标系 中，已知点 ．若动点M满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．已知 ， ， ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
25．已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0
26．已知直线 与直线 相交于点 ，线段 是圆 的
一条动弦，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
27．在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点， ，若 ，则
当 ， 变化时，点 到点 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．已知两定点 ， ，若动点 满足 ，则 的轨迹为（ ）．
A．直线 B．线段 C．圆 D．半圆
29．若两定点A，B的距离为3，动点M满足 ，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
30．已知圆 ，点 ， 内接于圆，且 ，当 ， 在圆上运动时， 中点的轨迹方程
是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知点 ， ， ，动点P满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．已知 ， 是椭圆 的两焦点， 是椭圆上任一点，从 引 外角平分线的垂线，垂
足为 ，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
33．阿波罗尼斯 约公元前 年 证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 且 的
点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：
，当P、A、B三点不共线时， 面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
34．如果圆 上总存在两个点到原点的距离均为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
35．抛物线 的焦点为 ，动直线 与抛物线交于两点 且 ，直线 分
别与抛物线交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点 B．
C． D．若 于点 ，则点 的轨迹是圆
36．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(﹣4，0)，点B是圆C： 上任一点，点P为AB的中点，若
点M满足MA2＋MO2＝58，则线段PM的长度可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
37．已知点A是圆C: 上的动点，O为坐标原点， ，且 , ， ， 三点顺时针排
列，下列选项正确的是（ ）
A．点 的轨迹方程为
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B． 的最大距离为
C． 的最大值为
D． 的最大值为
38．已知圆 的方程为 ，则（ ）
A．若过点 的直线被圆 截得的弦长为 ，则该直线方程为
B．圆 上的点到直线 的最大距离为
C．在圆 上存在点 ，使得 到点 的距离为
D．圆 上的任一点 到两个定点 、 的距离之比为
三、填空题
39．平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 为直线 上的动点，以 为直径的圆交圆
于 、 两点，点 在 上且满足 ，则点 的轨迹方程是________．
40．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月
轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐
标原点 ，探测器在 处以 的速度匀速直线飞向距月心 的圆形轨道上的某一点 ，在点
处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以 的速度匀速直线飞至 ，这一过
程最少用时_______________s.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司41．已知平面向量 满足： ，当 与 所成角 最大时，则 ______
42．线段 是圆 的一条动弦，且 ，直线 恒过定点 ，则
的最小值为________．
43．已知点 和圆 上两个不同的点 ， ，满足 ， 是弦 的中点，
给出下列四个结论：
① 的最小值是4；
②点 的轨迹是一个圆；
③若点 ，点 ，则存在点 ，使得 ；
④△ 面积的最大值是 ．
其中所有正确结论的序号是________．
44．已知平面向量 ， ， 满足： ， ，则 的最小值是_________.
四、解答题
45．设圆 的半径为 ，圆心 是直线 与直线 的交点．
（1）若圆 过原点 ，求圆 的方程；
（2）已知点 ，若圆 上存在点 ，使 ，求 的取值范围．
46．已知点 ，曲线C上任意一点P满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点 ，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平
分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司47．已知圆 过三个点 .
(1)求圆 的方程；
(2)过原点 的动直线 与圆 相交于不同的 两点，求线段 的中点 的轨迹.
48．已知点 与两个定点 ， 的距离的比为 .
（1）记点 的轨迹为曲线 ，求曲线 的轨迹方程.
（2）过点 作两条与曲线 相切的直线，切点分别为 ， ，求直线 的方程.
（3）若与直线 垂直的直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，若 为钝角，求直线 在 轴上
的截距的取值范围.
49．双曲线 ， ､ 为其左右焦点， 是以 为圆心且过原点的圆.
(1)求 的轨迹方程；
(2)动点 在 上运动， 满足 ，求 的轨迹方程.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
可以利用平面向量数量积的运算性质得 ，即 ，来确定动点C的轨迹；或者可以利用
三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹.
【详解】
解：方法一：由题可知： ，
又
所以 ，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知： ，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
所以
设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
第 10 页故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
设 ，由 得 ，将 转化为 和圆上点 之间的距离，即可求出最
大值.
【详解】
设 ，则 ，
，
整理得 ，则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则 表示 和圆上点
之间的距离，
又 在圆 上，故 的最大值是 .
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
直接设 ，根据两点间距离公式 代入运算整理．
【详解】
∵ ，即
设 ，则 ，整理得
故选：B．
4．A
【解析】
【分析】
先求得线段 中点 的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得 的最小值.
【详解】
第 11 页设线段 的中点为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 .
到直线 的距离为 ，
所以 ，故 点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，设 点的轨迹为圆 ，
圆 上的点到直线 的最短距离为 .
所以 .
故选：A
5．D
【解析】
【分析】
由题意得四边形PAOB为正方形，得 点轨迹，转化为交点问题
【详解】
由题意可知四边形PAOB为正方形， ，
∴点P在以O为圆心，以 为半径的圆上，
又P也在圆M上，即两圆有交点
∴ ，
∴a2＋4≤8，－2≤a≤2．
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量减法的运算法则、圆的性质进行求解即可.
【详解】
，
所以 .故 .
所以点Q在以点D为圆心，9为半径的圆上，又 ，所以
的最大值为 ； 的最小值为 ，
故选：B.
7．B
【解析】
【分析】
在直角三角形中利用几何关系即可获解
第 12 页【详解】
圆 即 ,半径
因为 ,所以
又 是 的中点,所以
所以点 的轨迹方程为
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
根据题意，求得点 的轨迹方程，结合圆与圆的位置关系，即可求得参数 的范围，从而进行选择.
【详解】
因为两点 ，点 满足 ，故点 的轨迹 是以 为直径的圆（不包含 ），
故其轨迹方程为 ，
又圆 上存在点 ，故两圆有交点，
又 ，则 ，
解得 ，则 的最大值为 .
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
根据弦 中点 为直线 和 的交点，可设 ，求得直线 的方程，再利用以 为直径的圆与圆
的方程作差，求得直线 的方程，再消去 即可求得 的轨迹方程
【详解】
易得弦 中点 为直线 和 的交点，设 ，则直线 的方程为 ，又 均与
圆 相切，故 ，故 四点共圆，且 为以 为直径的圆与圆 的公共弦.又
以 为直径的圆的方程为 ，即 ，故 的方程为
第 13 页相减，即 .又 ，所以 ，代入 有
，化简得 .当 时， ；当 时， 均满足
方程.
又当 时， 不满足题意.
综上有点 的轨迹方程为
故选：B
10．D
【解析】
【分析】
作出图形，确定点 的轨迹图形，结合图象可求得线段 所形成图形的面积.
【详解】
解：因为 ，所以点 在单位圆 上，
由于 ， ，
所以， 是其与 轴正方向的有向角为 ，
，则 ，
记点 ， ，所以，点 的轨迹是劣弧 ，
所以，动线段 所形成图形为阴影部分区域，
因为 ，因此，阴影部分区域的面积为 .
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
第 14 页依题意可得 ，设 ，根据平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，即可得解；
【详解】
解：因为圆C： ，所以圆心 ，半径 ，因为点 是圆上的动点，所以 ，又
与圆相切，且 ，则 ，设 ，则 ，即
，所以点 的轨迹方程为 ；
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
由点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，分析出线段 的中点 的轨迹为以 为圆心，
为半径的半圆，其半径为 ，即可求出轨迹的长度.
【详解】
由已知得:
四边形 是正方形， 沿DM翻转的过程中，点 的轨迹为
以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，
设线段 的中点 ,线段 的中点 ,则点 的轨迹为
以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，
线段AC的中点的运动轨迹长度为 .
故选： .
13．B
【解析】
【分析】
根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】
依题意，直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，
显然直线 ，因此，直线 与 交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
第 15 页其方程为： ，圆心 ，半径 ，而圆C的圆心 ，半径 ，如图：
，两圆外离，由圆的几何性质得： ，
，
所以 的取值范围是： .
故选：B
【点睛】
思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.
14．C
【解析】
【分析】
由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得 ，所以点P的轨迹为以C 为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】
解：由题意，圆 ，所以圆C是以 为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有 ，
所以点P的轨迹为以C 为圆心，半径为3的圆，
所以 ，
故选：C.
15．C
【解析】
【分析】
设经过点A，B的直线为x轴， 的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利
用坐标法计算.
【详解】
设经过点A，B的直线为x轴， 的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，
建立平面直角坐标系.则 ， ．
第 16 页设 ，∵ ，∴ ，
两边平方并整理得 ，即 ．
要使 的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为 ．
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C： 上
有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【详解】
设动点 ，由 ，得 ，整理得 ，
又点 是圆 ： 上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆C： 的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时， ，得 ，
当两圆内切时， ， ，得 ．
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查阿波罗尼斯圆，考查两圆相切的应用，判断圆与圆的位置关系几何法：圆心距d与r，r 的关
1 2
系：（1）外离 ；（2）外切 ；（3）相交 ；（4）内切 ；
（5）内含 ，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
17．C
【解析】
【分析】
第 17 页利用向量的减法运算可得 ，从而求出点轨迹方程为 ，从而可得点 的个
数即为 与圆的交点个数，由直线 过定点 即可判断.
【详解】
解：由 ，
则 ，
可得 ，
即 ，可得点 轨迹为圆，
设 ，则 ，
整理可得方程为： ，故点 的个数即为 与圆的交点个数.
由于直线 过定点 ，且在圆内，所以直线与圆有两个交点，
故选：C．
18．D
【解析】
【分析】
先根据题意设出Q的坐标，根据勾股定理得到Q的轨迹方程，求出 的最大值，根据 即可求解.
【详解】
解：如图所示：
取 的中点Q，连 、 ，
由圆的性质可知 ，
由 可知： ，
设点Q的坐标为 ，
在 中， ，
第 18 页即 ，整理为 ，
可化为 ，
故Q的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
的最大值为 ，
故 ．
故选：D.
19．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】
设 ，依题意， ，化简整理得： ，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为 .
故选：D
20．A
【解析】
【分析】
设 ，依题意 ，根据两点的距离公式求出动点 的轨迹方程，再求出圆心到直线的距离，即可求出
点 到直线距离的最小值；
【详解】
解：设 ，则 ，即 ，化简得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心， 的圆，则圆心 到直线 的距离 ，
所以点C到直线 的距离的最小值为 ；
故选：A
21．B
【解析】
【分析】
根据已知条件先确定出点 的轨迹方程，然后将问题转化为“以 为直径的圆要包括圆 ”，
由此利用圆心 到直线 的距离结合点 的轨迹所表示圆的半径可求解出 的最小值.
【详解】
第 19 页由题可知： ，圆心 ，半径 ，
又 ， 是 的中点，所以 ，
所以点 的轨迹方程 ，圆心为点 ，半径为 ，
若直线 上存在两点 ，使得 恒成立，
则以 为直径的圆要包括圆 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 长度的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于点 轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点 轨
迹方程，其次“ 恒成立”转化为“以 为直径的圆包括 的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径
可分析 的最小值.
22．D
【解析】
【分析】
以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 边长为 ，由向量坐标运算可表示出 点轨迹，利用两点间距离
公式可得 ；当 时，可求得 ；当 时，令 ，根据 的几何
意义，利用直线与圆的位置关系可求得 的范围，进而得到最小值；综合两种情况可得结果.
【详解】
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
不妨设正三角形 的边长为 ，则 ， ， ，
第 20 页设 ，则 ， ，
， ，
，即 ；
点轨迹为： ，
；
当 时， ， ；
当 时，令 ，则 表示 与 连线的斜率，
设直线 与圆 相切，
则圆心到直线距离 ，解得： 或 ，
，
则当 时， 取得最小值 ， ；
综上所述： 最小值为 .
故选：D.
23．D
【解析】
【分析】
设 ，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出 ，计算 ，并由两角和的正弦公式变形，由
正弦函数性质求得范围．
【详解】
设 ，则由 ，得M的方程为 ，设 ，
则 ．
第 21 页故选：D．
24．B
【解析】
【分析】
设点 ，即可求出 的轨迹方程，求出直线 ，以及 ，利用圆心到直线的距离加上半径求出高的最
大值，即可求出面积的最大值；
【详解】
解：设点 ，因为 ，所以 ，
点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又直线 的方程为 ： ， ，圆心 到直线 的距离 ，所
以 到直线 的距离最大值为
则 面积的最大值为 .
故选： .
25．A
【解析】
【分析】
设出 点的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可．
【详解】
解：设 ，点 的坐标是 ，点 满足 ，
可得： ，
即： ，
所以M点的轨迹方程是 .
故选：A．
26．D
【解析】
由已知可得点 的轨迹为 ，将 转化为点 到弦 的中点 的距离的两倍，利用图形
即可得解.
【详解】
由题意得圆 的圆心为 ，半径 ，
易知直线 恒过点 ，直线 恒过 ，且 ，
点 的轨迹为 ，圆心为 ，半径为 ，
若点 为弦 的中点,位置关系如图：
第 22 页.
连接 ，由 易知 .
，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算，考查了转化化归思想和数形结合
的思想，属于难题.
27．B
【解析】
【分析】
先求得A， 两点坐标，根据 得到 ，再结合 可得到C轨迹为动圆，求得该动圆
圆心的方程，即可求得答案.
【详解】
由 得 ，
故 由 得 ，
由 得 ，设 ，则 ，
即 ，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则 ，
整理得 ，代入到 中，
第 23 页得： ，即C轨迹的圆心在圆 上，
故点（1,1）与该圆上的点 的连线的距离加上圆的半径即为点 到点 的距离的最大值，最大值为
，
故选：B
28．C
【解析】
【分析】
先设点 的坐标，再根据两点间距离公式化简条件，解得结果.
【详解】
设点 的坐标为 ，
∵ ， ，动点 满足 ，
∴ ，两边平方得 ，
即 ．
∴ 的轨迹为圆．
故选:C
【点睛】
本题考查动点轨迹方程，考查基本求解能力，属基础题.
29．D
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.
【详解】
以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点 ，
则 ，化简并整理得： ，
于是得点M的轨迹是以点 为圆心，2为半径的圆，其面积为 ，
所以M点的轨迹围成区域的面积为 .
故选：D
30．D
【解析】
将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得 ，从而得 中点的轨迹方程.
【详解】
第 24 页设 中点为 ，
圆心角等于圆周角的一半， ，
，
在直角三角形 中，由 ，
故中点 的轨迹方程是： ，
如图，由 的极限位置可得， .
故选：D
【点睛】
本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.
31．C
【解析】
【分析】
由题设分析知 的轨迹为 ( 不与 重合)，要求 的取值范围，只需求出 到圆 上
点的距离范围即可.
【详解】
由题设， 在以 为直径的圆上，令 ，则 ( 不与 重合)，
所以 的取值范围，即为 到圆 上点的距离范围，
又圆心 到 的距离 ，圆的半径为2，
所以 的取值范围为 ，即 .
故选：C
32．A
【解析】
【分析】
设 的延长线交 的延长线于点 ，由椭圆性质推导出 ，由题意知 是△ 的中位线，从而得
到 点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆．
第 25 页【详解】
是焦点为 、 的椭圆 上一点
为 的外角平分线， ，
设 的延长线交 的延长线于点 ，如图，
，
，
，
由题意知 是△ 的中位线，
，
点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆．
故选：A
33．C
【解析】
【分析】
根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答.
【详解】
依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ， ，设 ，
第 26 页因 ，则 ，化简整理得： ，
因此，点P的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，
当点P到直线 ( 轴)的距离最大时， 的面积最大，
显然，点P到 轴的最大距离为 ，此时， ，
所以 面积的最大值是 ．
故选：C
34．A
【解析】
【分析】
根据条件转化为圆 与圆 有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即可求 的取
值范围.
【详解】
到原点的距离为 的点的轨迹为圆 ，
因此圆 上总存在两个点到原点的距离均为
转化为圆 与圆 有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为 ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
解得实数 的取值范围是 .
故选：A.
35．ABD
【解析】
【分析】
由题意， ，若 ， ，则 ，联立直线与抛物线求 ， ，进而求 ，即
可得 ，可知A的正误；若 ， ， ， ，由 、 求关于 、
表示 的坐标，进而确定 、 的数量关系；设A中定点为 ，易知 在以 为直径的圆上，
即 的轨迹是圆.
【详解】
由题意， ，若 ， ，则 ， ，
∵ ，即 ，又联立直线与抛物线有 ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，而 ，即 ，故 过定点 ，A正确；
第 27 页若 ， ， ， ，
由 ： ，可得 ，则 ；
由 ： ，可得 ，则 ；
∴ ，而 且 ，故 ，B正确；
， ，
∴ ，C错误；
∵ 在直线 上，又 过定点 且 ，
∴ ，故 在以 为直径的圆上，D正确；
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：设 ， ，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求 ， ， ，求 的数量关
系；设点坐标，利用斜率的点斜式求 、 的数量关系；若 ，由垂直可得 在以 为直径的圆
上.
36．BC
【解析】
【分析】
首先求出点PP的轨迹方程，再设点M求出其轨迹方程，再利用两圆的位置关系判断即可
【详解】
设 ,点P为AB的中点，所以 ，代入圆C： ，
可得： ，整理得：点P的轨迹方程为：
设 则 ，
则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值
故选：BC.
【点睛】
本题考查圆的轨迹方程，考查两圆间的位置关系，考查两点间的距离最值，求得P与M的轨迹方程是解题关键，
是中档题
37．BD
第 28 页【解析】
【分析】
如图，过O点作 ，设点 ，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为 ，
可判断A；根据点到圆上距离的最值求解，可判断B；设 ，将向量的数量积表示成关于 的函
数，可判断C，D；
【详解】
如图，过O点作
则点 ，设点 ，设 ，则 ，设 ，
所以， ， ，
所以， ， ，
即点 ，
因为 ，
设点 ，可得 ，解得 ，
因为点 在圆 上，所以 ，
将 代入方程 可得 ，
整理可得 ，所以A是错的，
所以 的最大距离为 ，B是对的，
设 ，
所以 的最大值为2，D是对的.
故选：BD
第 29 页38．BD
【解析】
【分析】
根据勾股定理结合点到直线的距离公式求出直线的方程，可判断A选项；求出圆 上的点到直线 的
最大距离，可判断B选项；求出圆 上的点到点 的距离的取值范围，可判断C选项；求出点 的轨迹方程，
可判断D选项.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 .
对于A选项，若过点 的直线的斜率不存在，则该直线的方程为 ，
由勾股定理可知，圆心 到直线 的距离为 ，
而圆心 到直线 的距离为 ，合乎题意.
若所求直线的斜率存在，设直线的方程为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线的方程为 .
综上所述，满足条件的直线的方程为 或 ，A错；
对于B选项，圆心 到直线 的距离为 ，
因此，圆 上的点到直线 的最大距离为 ，B对；
对于C选项，记点 ， ，即点 在圆 内，
且 ，如下图所示：
当 、 、 三点不共线时，根据三角形三边关系可得 ，即 ，
当 、 、 三点共线且当点 在线段 上时， ，
当 、 、 三点共线且当点 在线段 上时， .
综上所述， ，C错；
对于D选项，设点 ，则 ，即 ，
第 30 页整理可得 ，即点 的轨迹为圆 ，D对.
故选：BD.
39．
【解析】
延长 交 于点 ，设 ，利用三角形全等证明出 ，可得出 为线段 的垂直平分线，
设点 ，求出以 为直径的圆的方程，可求得两圆的公共弦 所在直线的方程，求出直线 所过定点
的坐标，利用垂直平分线的性质可得出 ，由此可求得动点 的轨迹方程.
【详解】
延长 交 于点 ，则 ，设 ，
以 为直径的圆交圆 于点 、 ，所以， ，
则 ，可得 ，
在 和 中， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，则 为 的中点，且 ，
， ， ，则 为 的中点，
设点 ，则 ， ，
的中点坐标为 ，
以线段 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
将圆 与圆 的方程相减得 ，
即直线 的方程为 ，即 ，
第 31 页由 ，解得 ，所以，直线 过定点 ，
由于 为线段 的垂直平分线，则 ，
所以，点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
【点睛】
求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
40．
【解析】
【分析】
设 ，飞行过程所用时间 ，再令 ，则问题转化为求两条线段 最小即可
作答.
【详解】
设 ，飞行过程所用时间 ，令 ，即 ，
设点C(0，m)在圆形轨道内，取点P坐标(0，2000)，而 ，由 得 ，
，
即 ，设动点 ，当 时，即 ，
化简整理得 ，即满足 的动点M的轨迹就是给定的圆形轨道，
所以距月心 的圆形轨道上的任意点 均有 成立，如图，连PC，
第 32 页于是有 ，当且仅当P为线段AC与圆形轨道交点时取“=”，
即有 ，
所以这一过程最少用时 s.
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
方法一：记 ， ， ，由条件可得 ，由此确定点C的轨迹，则 与 的夹角为
，证明当C为过 ， 两点的圆 与圆 相外切时的切点时， 最大，设圆 的半径为 ，再由正弦定
理可得 ，利用余弦定理求得 ，由此可得 ，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐
标系，求点C的轨迹，则 与 的夹角为 ，证明当C为过 ， 两点的圆 与圆 相外切时的切点时，
最大，由 求点E的坐标，由此可求 .
【详解】
解：记 ， ， ，
则 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆．过 ， 两点的圆 与圆 相外切，记切点为 ，此时 最大
（如图）．
第 33 页下证上述结论：取圆 上不同于切点 的 点，因为 在圆 的外面，
所以 ．
下面求当 最大时， 的值．
记圆 的半径为 ，则 ．
所以只需求出圆 的半径为 即可．
法一：如右图， 为弦 的中点，
在 中，由余弦定理求得 ，
，则 ．
在 中， ， ， ， ，
由余弦定理得， ．
即 ．
法二：如图建系， ， ， ，点 在以 为圆心，1为半径的圆上．
以 为弦长作圆 ，当圆 与圆 外切时 最大．
圆心 在弦 的中垂线 上，设 ，
则 ，
即 ，
第 34 页化简得 ，即 或 （舍去），
此时 ，得 ．
故答案为： .
42．
【解析】
【分析】
过圆心 作 于点 ，根据几何法求出 的长，进而可得点 的轨迹为圆 ，求出直线 恒过定
点 ，由圆的性质可得 ，再由 即可求解.
【详解】
因为线段 是圆 的一条动弦，过圆心 作 于点 ，
则 为 中点，又 ，则 ，
即点 的轨迹为圆 ，
直线 可化为 ，则直线 恒过定点 ，
因为 ，由可知 ，
所以 .
故答案为： .
43．①②④
【解析】
【分析】
①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出 ，找到等量关系，建立方程，求出点 的轨迹方程，即可
说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点 ；④当 斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，
此时 面积最大，求出最大值.
【详解】
△
第 35 页点 在圆 上，设 ，则 ，当
时， 取得最小值，最小值为4，①正确；
设点 ，则由题意得： ，则 ，整理得： ，
所以点 的轨迹是一个圆，②正确；
为以 为直径的圆，圆心为 ，半径为1，方程为： ，下面判断此圆与点 的轨迹方程
是否有交点，由于 ，两圆相离，故不存在点 ，使得 ，
③错误；
当 斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△ 为等腰直角三角形，面积最大，此时
， ，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】
轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行
求解.
44． ##
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，根据已知条件求出 终点的轨迹方程，由此即可求解.
【详解】
如图在直角坐标系中，
设 ，
∵ ，∴A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
设 ，
第 36 页由 可知 ，
设 ，
则 ，
，
设 ，则
，
，
∴ ①
②
①＋②得： ，
则B的轨迹是以G(－1， )为圆心，1为半径的圆，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题的关键是建立合理的坐标系，求出向量 终点的轨迹方程，将最短距离转化为定点到圆上一点距离的最值问题，
综合考察向量的线性运算法则和动点轨迹的求解，属于难题.
45．（1） ；（2） .
【解析】
（1）联立两直线方程，可求得圆心 的坐标，求出圆 的半径，由此可得出圆 的方程；
（2）设点 ，由 可求得点 的轨迹为圆 ，利用圆 与圆 有公共点可得出关于 的不等式，
由此可解得 的取值范围．
【详解】
（1）由 ，得 ，所以圆心 .
又 圆 过原点 ， ， 圆 的方程为： ；
（2）设 ，由 ，得： ，化简得 .
点 在以 为圆心，半径为 的圆上.
又 点 在圆 上， ，
第 37 页即 ， .
【点睛】
结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆 与圆 的半径长分别为 和 .
（1）若 ，则圆 与圆 内含；
（2）若 ，则圆 与圆 内切；
（3）若 ，则圆 与圆 相交；
（4）若 ，则圆 与圆 外切；
（5）若 ，则圆 与圆 外离.
46．（1） ；（2）存在， .
【解析】
【分析】
（1）设 点的坐标为 ，根据 ，结合两点间的距离公式，列出方程，即可求解；
（2）①当斜率不存在，得到这些直线都是平行的，②设直线 的方程为 ，联立方程组求得
，结合 ，列出方程求得 ，代入直线方程，根据直线方程，求
得定点 ，进而得到答案.
【详解】
（1）设 点的坐标为 ，
因为 ，可得 ，整理得 ，
即曲线 的方程为 .
（2）①如果斜率不存在，直线垂直于x轴，此时与圆交于两点，
可得这些直线都是平行的，不可能经过同一点，不符合题意．
②设存在定点Q满足条件，设直线 的方程为 ，
设 ，联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，
无论直线 如何运动， 轴都平分∠EDF，可得 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，可得 ，
第 38 页所以 ，可得直线经过定点 ，
所以存在过定点 的直线 与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动， 轴都平分∠EDF．
【点睛】
直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系
数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考
生的逻辑思维能力、运算求解能力．
47．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设圆 的方程为 ，列出方程组，求得 的值，即可求得圆 的方程；
（2）根据题意得到 ，得出 在以 为直径的圆上，得到以 为直径的圆的方程，再联立两圆的方
程组，求得交点坐标，即可得到点 的轨迹方程.
(1)
解：设圆 的方程为 ，
因为圆 过三个点 ，
可得 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ，即 .
(2)
解：因为 为线段 的中点，且 ，所以 在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆的方程为 ，
第 39 页联立方程组 ，解得 或 ，
所以点 的轨迹方程为 .
48．（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）设点 点坐标为 ，则 ，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）连接 ， ，求出以 为圆心， 为半径的圆的方程，再跟圆 求公共弦，即切点弦方程；
（3）设直线的方程为： ， ， ，利用根与系数的关系可得 ， 两点横坐标的和与积，
结合 为钝角，得 ，即 ，从而可得直线 的纵截距的取值范围．
【详解】
解：（1）设点 点坐标为 ，则
得
整理得：
曲线 的方程是 .
（2）过 点 作两条与曲线 相切的直线， 点在圆外，
连接 ， ，由题意知 ， ，
以 为圆心， 为半径的圆的方程为 ①，
又圆 的方程为 ②，
由① ②得直线 的方程是 ；
第 40 页（3）设直线的方程为： ，联立
得： ，
设直线 与圆的交点 ，
由 ，得 ，
.
因为 为钝角，所以 ，
即 ，且 与 不是反向共线，
又 ， ，
所以
，
得 ，即 ，
当 与 反向共线时，直线 过原点，此时 ，不满足题意，
故直线 在 轴上的截距的取值范围是 ，且 .
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数
量积运算，对于过圆 外一点 的切点弦方程为 ．
49．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.
（2）求解轨迹方程求谁设谁，设 ， 用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.
(1)
由已知得 ， ，故 ，所以 ､ ，
因为 是以 为圆心且过原点的圆，故圆心为 ，半径为4，
所以 的轨迹方程为 ；
(2)
设动点 ， ，
则 ， ，
由 ，得 ， ， ，
第 41 页即 ，解得 ，
因为点 在 上，所以 ，
代入得 ，
化简得 .
第 42 页第 43 页
