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第34讲 圆的方程
【知识点总结】
一、基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为(a,b)，半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（ 3 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）.
注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 （ 为参
数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，
然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内.
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；② 点P在圆上；③ 点P在圆内.
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
四、 直线与圆的位置关系判断
1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
则 直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
则 直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
五、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
则 两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线 上，且与直线 相切于
点 ，则圆C方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）点 在圆 上，点 在圆 上，则（
）A． 的最小值为
B．两圆公切线有两条C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线 上，且过两圆 ，
交点的圆的方程．
例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆 的方程： .
（1）求 的取值范围；
（2）当圆 过A(1，1)时，求直线 被圆 所截得的弦 的长.
例5．（2020·江苏·高三专题练习） 的三个顶点的坐标是 求它的外接圆的方
程．
例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 与圆 交于 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 ，点 在圆 上运
动.
（1）求过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程；（2）求 的最值.
例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C ：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C ：x2＋y2＋6y－28＝0.
1 2
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆 切于点 ，且过点 的圆的方程.
例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 ，动点 满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）求经过点 以及曲线 与 交点的圆的方程.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13 B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40 D．（x－1）2 +y2 = 20
2．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆 关于直线 对称的圆的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若圆 的半径为 ，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都
相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）过点 ， ，且圆心在直线 上的圆的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．内含 B．外离 C．相交 D．相切
7．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与圆 相切，则 的值为（ ）A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，以线段 为直径的圆的方
程为（ ）
A． B．
C． D．9．（2022·全国·高三专题练习） 与圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
10．（2022·全国·高三专题练习）圆 的圆心到直线 的距离为1，则
A． B． C． D．2
11．（2022·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·江苏·高三专题练习）若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为
，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
14．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心在 轴上，且过点 的圆与 轴相切，则该圆的方程是（
）
A． B．
C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，若圆 上存在两点 ，关于直线 对称，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
17．（2022·全国·高三专题练习）若过点 有两条直线与圆 相切，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
18．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知点 在圆 上运动，点 在直线上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国·高三专题练习（理））已知圆 上的点到直线 的距离
的最大值是 ，最小值是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2022·上海·高三专题练习） 为任意实数时，直线 被圆 截得的
弦长是
A．8 B．4 C．2 D．与 有关的值
21．（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是
（ ）
A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0
22．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 ，点 ，动点 满足 （ 为坐标原
点），过 点的直线被动点 的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）圆 到直线 的距离为 的点有
（ ）
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
24．（2022·全国·高三专题练习）直线 ： 与圆 ： 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
25．（2022·全国·高三专题练习）过点 的直线l与圆 相切，则直线l的方程是（
）A． 或 B．
C． 或 D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方程为（
）
A． B．C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则
A． B． C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，直线 ， 为 上一个动点，过点
作 的切线 ，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
29．（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为 ，过圆О外一点 作圆O的两条
切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）过点 作直线 与圆 相切于 、 两点，
则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·江苏常州·一模）过圆 ： 外一点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．3
32．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相切，则m的值为（ ）
A．3或 B．1或C．0或4 D． 或0
33．（2022·河北张家口·高三期末）直线 与圆 交于 、 两点，则 （
）
A． B． C． D．
34．（2022·全国·高三专题练习）若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线的方程
为（ ）
A． B． C． D．
35．（2019·天津·耀华中学高三阶段练习）已知圆 ： 和直线 ： ；若直线与圆 相交于 ， 两点， 的面积为2，则 值为（ ）
A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或6
36．（2022·全国·高三专题练习）圆C ：(x-2)2+(y-4)2＝9与圆C ：(x-5)2+y2＝16的公切线条数为（ ）
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
37．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3
＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
38．（2022·全国·高三专题练习）若圆 与圆 外切，则 （ ）
A． B． C． D．
39．（2022·全国·高三专题练习）圆 与圆 公共弦所在直
线的方程为（ ）
A． B． C． D．
40．（2022·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 交于 、 两点，则
（ ）
A．6 B．5 C． D．
41．（2022·上海·高三专题练习）已知圆 上到直线 的距离等于1的点恰有3个，则
实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
42．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆 上有且只有两个点到直线
的距离等于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．43．（2022·全国·高三专题练习）若圆 ： 上有四个不同的点到直线 ：
的距离为2，则 的取值不可能是（ ）
A．-15 B．13 C．15 D．0
44．（2022·全国·高三专题练习（文））若圆 上有且仅有两个点到直线
的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的一般方程为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．圆 的圆心为 B．圆 的半径为5
C．圆 被 轴截得的弦长为6 D．圆 被 轴截得的弦长为6
46．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，M为圆 上的动点，则线段 的长可能为
（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
47．（2022·全国·高三专题练习）若P是圆 上任一点，则点P到直线 的距离可以
为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
48．（2022·全国·高三专题练习）圆 与圆 有且仅有两条公切线，实数
的值可以取（ ）
A． B． C． D．
49．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 ，圆 ，则下列是圆
与圆 的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
50．（2022·全国·高三专题练习）已知方程为 ，则圆心坐标为________，圆半径为
__________．四、填空题
51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆心在第一象限的圆经过点 ，圆心在直线 上，
且半径为5，则此圆的标准方程为___________．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C和直线 相切于点 ，且经过点 ，则圆C
的方程为___________.53．（2022·全国·高三专题练习）圆 关于点 中心对称的圆的方程为
___________.
54．（2022·全国·高三专题练习）已知三个点 ， ， ，则 的外接圆的圆心坐标是
___________.
55．（2022·上海·高三专题练习）若圆 关于直线 对称，则该圆的
半径为__________
56．（2022·全国·高三专题练习）两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是
________．
57．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B两
点，则|AB|的最小值为______________．
58．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 上一定点 ， 为圆上的动点，则线段 中点的
轨迹方程为______________．
59．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 ，则直线 和圆的位置关系为
___________.
60．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O：则 ，过点 作圆的切线，则切线的方程为
___________.
61．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）已知点Q是直线 ： 上的动点，过点Q作圆 ：
的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
62．（2022·上海·高三专题练习）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，
则 ____________．
63．（2022·全国·高三专题练习）已知直线x－ y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝
__________.64．（2022·全国·高三专题练习）若圆 被直线 所截得的弦长为 ，则实数
的值是______．
65．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 与圆 相交于A､B两点，且
，则直线l的倾斜角为___________.66．（2022·全国·高三专题练习）已知过点 且斜率为k的直线l，与圆C： 交于
M，N两点，若弦 的长是2，则k的值是________．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 截直线 所得弦长是 ，则 的值
为______．
68．（2021·河北秦皇岛·二模）已知直线 与圆 相交于A，B两点，则
面积为___________.
五、解答题
69．（2021·山东·邹平市第一中学模拟预测）已知直线 经过两条直线 和 的交点，
且与直线 垂直．
（1）求直线 的一般式方程；
（2）若圆 的圆心为点 ，直线 被该圆所截得的弦长为 ，求圆 的标准方程．
70．（2020·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（文））已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．71．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆 和圆
.
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度.
