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第15讲 等差数列、等比数列综合运用
【知识点总结】
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设{a}为等比数列，{b}为等差数列，且b=0，c=a+b，若数列
n n 1 n n n
{c}是1，1，2，…，则数列{c}的前10项和为（ ）
n n
A．978 B．557 C．467 D．979
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列 中， ， ，
依次成等比数列，则 的值是（ ）
A． B． C． D．58
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若
， ，则（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）数列 ， 满足 ， ， ，则数
列 的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S，a＝2，且a，
n n 1 1
a，a 成等比数列，则S 取最大值时n的值为（ ）
3 4 n
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ，， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，
求 ．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列 满足 ， ，前6项依次成
等差数列， 从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求出所有的正整数m ，使得 ．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列 和正项等比数列 }， ， 是 ，
的等差中项， 是 ， 的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ， 中满足 ， ， ，
若 前 项之和为 ，则满足不等式 的最小整数 是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
3．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表
演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要
绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树
立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160
万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024
年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，若 ，， 成等比数列，则 （ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
5．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足 ， ， 成
等差数列．其前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知 为等差数列， 为等比数列，其公比
且 ，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或
7．（2021·广东·红岭中学二模）已知等差数列 的公差为 ，且 、 、 成等比数列，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2021·北京育英中学高三阶段练习）已知数列 成等差数列， 成等比数列，则
的值是（ ）
A． B． C． 或 D．
9．（2020·宁夏·银川二中一模（理））设等比数列 的前 项和为 ,已知 成等差数列,且,则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
二、多选题
10．（2020·江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列 的前 项和 ， ， 为常数）则数列 为等差数列
B．若数列 的前 项和 ，则数列 为等差数列
C．数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ， 仍为等差数列
D．数列 是等比数列， 为前 项和，则 ， ， ， 仍为等比数列；11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列 的首项为1，公差 ，前n项和为 ，则下列
结论成立的有
A．数列 的前10项和为100
B．若 成等比数列，则
C．若 ，则n的最小值为6
D．若 ，则 的最小值为
三、填空题
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是首项 的等比数列，且 ， ， 成等差数
列，则其公比q等于________．
13．（2019·江苏·无锡市第一中学高三开学考试）设等比数列 的前 项和为 .若 ， ， 成
等差数列，且 ，则 的值为________．
14．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中公比 ，若
， ，记数列 的前n项和为 ，则 的最大值为_______
15．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ________.
16．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则
_______.
17．（2022·浙江·高三专题练习） 为公差不为0的等差数列，且 恰为等比数列，其中 ，则 为_______．
18．（2021·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等
差数列，记 是数列 的前n项和，则 ________.
19．（2021·河南·高三阶段练习（理））设 为等比数列 的前n项和，若 ，且 成
等差数列，则 _________.
20．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））若数列 是等差数列， ，满足，且 ，则数列 的通项公式为______.
四、解答题
21．（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知S 是等差数列 的前n项和，从以下3个条
n
件中任选一条，回答问题.① ， ，②公差 ，③ ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等比数列 满足公比 ， ，求数列 的前n项和.
22．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，
数列 满足 ，其中 .
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前
项和 .
23．（2021·广东惠州·一模）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ，
.
（1）求 和 的通项公式；（2）数列 和 中的所有项分别构成集合 ， ，将 的所有元素按从小到大依次排列构成
一个新数列 ，求数列 的前60项和 .
24．（2021·江苏·高三开学考试）已知集合 ， ，将 中
所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 ，设数列 的前n项和为 ．（1）若 ，求m的值；
（2）求 的值．
25．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若
构成等比数列.
（1）求数列 的通项公式.
（2）设数列 的前 项和为 ，求证:
26．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列 满足 ，且 、 、 成等比数列，
数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
27．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是各项均为正数的等比数列， =1，且 ， ， 成等
差数列．
（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和．
28．（2022·全国·高三专题练习）
已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ， .
n n 1 1
（1）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（2）求{a}和{b}的通项公式.
n n
