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第16讲 数列通项
【知识点总结】
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
①叠加法：形如 的解析式，可利用递推多式相加法求得
②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用 与 的关系求解
形如 的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{a}的前n项和为S， ，则有
n n
（ ）
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．
n
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，满足 ，则
__________.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列
的通项公式 ______．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为 ，且满足.求 的通项公式.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
， ，求数列 的通项公式.例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ，求 .
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，求 的通项公式.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成 ，2， ；
②数列 ，0，1与数列1，0， 是同一数列；
③数列 的第 项是 ；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连
成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为
一.”在某种玩法中，用a 表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{a}满足a=1，且a=
n n 1 n
则解下4个环所需的最少移动次a 数为（ ）
4
A．7 B．10 C．12 D．223．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{a}满足 ，且a=1，a=5，则
n 1 2
（ ）
A．69 B．105 C．204 D．205
5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列 中， ， ，则
（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式
为 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ( ， )，则数列
的通项 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）若 为数列 的前 项和，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列 中的前n项和 ，数列 的前n项和为
，则 （ ）.
A．190 B．192 C．180 D．18210．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（
）
A． B．C． D．
13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）数列 的通项公式可能是a＝（ ）
n
A． B．
C． D．
二、多选题
15．（2022·全国·高三专题练习）设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则（ ）
n n 1 n＋1 n n＋1
A．a＝－
n
B．a＝
n
C．数列 为等差数列
D． －5050
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列
的前 项和为 ，那么下列选项正确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 的通项公式为C． D．
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ， ， ，则 ________．
18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列 的前 项和记作 ， ，则 ________．
19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列 的各项均为正数，其前项和为 ，且满足 ，则满足 的最大的正整数 等于_________．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 且满足 ， ，
则 ______．
21．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
_________.
22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列 满足 ，则数列 的
通项公式是_______．
23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
___________.
24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列 满足 ，且 ，则
________________.
25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解
九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数
构成有穷数列 ，则得到递推关系 .则 ___________.
26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列 满足 ，则
的最小值为___________.四、解答题
27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{a}满足： ，求{a}的通
n n
项公式；
（2）在数列{a}中，已知a=3，（3n+2）a =（3n-1）a（n∈N*），a≠0，求a.
n 1 n+1 n n n28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{a}满足a＝－1，a ＝a＋ ，n∈N*，求通
n 1 n＋1 n
项公式a；
n
（2）设数列{a}中，a＝1，a＝ a (n≥2)，求通项公式a.
n 1 n n－1 n
29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的
通项公式.
30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，求数列
的通项公式.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列 的前 项和为 ，满足， ，（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和 ，求 .
33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前n项和为 .
（1）求m的值，并求出数列 的通项公式；
（2）令 ，设 为数列 的前n项和，求 .
35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求出 ；
（2）求数列 的前n项和 ．
