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第16讲 数列通项
【知识点总结】
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
①叠加法：形如 的解析式，可利用递推多式相加法求得
②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用 与 的关系求解
形如 的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{a}的前n项和为S， ，则有
n n
（ ）
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．
n
【答案】ABD
【详解】
依题意 ，
当 时， ，
当 时， ，
，所以 ，所以 ，
所以 .当 时， ；当 时， 符合上式，所以 .
，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，满足 ，则
__________.
【答案】
【详解】
依题意 ， ，
所以
.
故答案为：
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列
的通项公式 ______．
【答案】【详解】
∵ ，
∴ ，即 ．又 ， ，
∴数列 是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，
∴数列 的通项公式 ．
故答案为： .
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为 ，且满足
.求 的通项公式.
【详解】
由 ，得 ，
又 ，所以当 时，
，
又 也满足上式，所以 ；
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
， ，求数列 的通项公式.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ， ，又 ，
得 ，所以 ，又 ，所以 ， .
例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ，求 .
【详解】
解：因为 ，
所以 ，而 ，∴ 是首项为4，公比为2的等比数列，故 ，
∴ .
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，求 的通项公式.
【详解】
，两边取倒数得 ，即 ，
又因为 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，故 ；
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成 ，2， ；
②数列 ，0，1与数列1，0， 是同一数列；
③数列 的第 项是 ；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】
利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于①， 是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列 ，0，1与数列1，0， 是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列 的第 项是 ，故选项③正确；对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选： ．
2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连
成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为
一.”在某种玩法中，用a 表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{a}满足a=1，且a=
n n 1 n
则解下4个环所需的最少移动次a 数为（ ）
4
A．7 B．10 C．12 D．22
【答案】A
【分析】
根据通项公式直接求项即得结果.
【详解】
因为数列{a}满足a=1，且a=
n 1 n
所以a=2a-1=2-1=1，所以a=2a+2=2×1+2=4，
2 1 3 2
所以a=2a-1=2×4-1=7.
4 3
故选:A
【点睛】
本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 ，利用累加法得出 .
【详解】
由题意可得 ，
所以 ， ，…， ，上式累加可得
，又 ，所以 .
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{a}满足 ，且a=1，a=5，则
n 1 2
（ ）
A．69 B．105 C．204 D．205
【答案】D
【分析】
可将已知适当变形成为 ，可构造等差数列 ，利用累加法求得
【详解】
设 ，
故 构成以4为首项，1为公差的等差数列
故 …… ……
故选：D
【点睛】
若 满足 ，可考虑用累加法求通项公式，其原理为
……
…… ，运算化简即可.
5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列 中， ， ，则
（ ）.
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】
通过赋值，利用累加法，即可求得结果.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
，
……
，
以上各式累加得 ，
即 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式
为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得 ，再利用累乘法计算可得；
【详解】
解：由 ，得 ，
即 ，则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，又 ，符合上式，所以 .
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ( ， )，则数列
的通项 （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列 满足 ， ，
整理得 ， ， ， ，
所有的项相乘得： ，
整理得： ，
故选： ．
8．（2022·全国·高三专题练习）若 为数列 的前 项和，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用 求得 .
【详解】
时， .
时， ，
，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .故选：B
9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列 中的前n项和 ，数列 的前n项和为
，则 （ ）.
A．190 B．192 C．180 D．182【答案】B
【分析】
根据公式 计算通项公式得到 ，故 ，求和得到答案.
【详解】
当 时， ；
当 时， ，
经检验 不满足上式，所以 ，
，则 ， .
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 可求得 的值，由 ，由作差法可得出 的表达式，再对 是否满足 的表达式进
行检验，即可得解.
【详解】
当 时，则有 ；
当 时，由 ，①
可得 ，②
① ②可得 ，所以， ， 满足 .故对任意的 ， .
故选：D.
11．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据数列 与 的关系，可得数列 从第 项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解 .
【详解】
由 得 ，即 ，
所以数列 从第 项开始是等差数列，
又因为 ， ，
所以 ，所以 ．
故选：B
12．（2022·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先转化为递推关系再求解.
【详解】
由 可得： ，两式相减得： ，即 ， ，
又由 可得： ， ，
当 时， ，
综上， ，故选： .
13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
对 变形可得 ，所以 为以 为首项，公差为 的等差数列，即
可得解.
【详解】
在 中， ，
由 可得 ，
所以 为以 为首项，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）数列 的通项公式可能是a＝（ ）
n
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，变形数列的前4项，然后归纳出通项公式．
【详解】
解：根据题意，数列的前4项为 ， ， ， ，
则有 ，
，，
，
则数列的通项公式可以为 .故选：D.
二、多选题
15．（2022·全国·高三专题练习）设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则（ ）
n n 1 n＋1 n n＋1
A．a＝－
n
B．a＝
n
C．数列 为等差数列
D． －5050
【答案】BCD
【分析】
利用数列通项和前n项和的关系求解.
【详解】
S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，
n n 1 n＋1 n n＋1
则S －S＝SS ，
n＋1 n n n＋1
整理得 － ＝－1(常数)，
所以数列 是以 ＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以 ＝－1－(n－1)＝－n，故S＝－ .
n
所以当n≥2时，
a＝S－S ＝ － ， 不适合上式，
n n n－1
故a＝ 故B正确，A错误；
n所以 ，
故D正确．
故选：BCD
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列的前 项和为 ，那么下列选项正确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 的通项公式为
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据题设 的关系，可判断 是否为等比数列，进而可得 的通项公式，应用分组求和及等
比数列前n项和得 ，再写出 通项，应用裂项法求 ，即可判断各选项的正误.
【详解】
由题设知： ，则 且 ，即 是等比数列；
∴ ，且 ，
又 ，
∴ .
故选：ABD.
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ， ， ，则 ________．
【答案】
【分析】
由条件可得 ，由累加法可得答案.
【详解】由 ,即
所以故答案为：
18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列 的前 项和记作 ， ，则 ________．
【答案】
【分析】
由 进行求解即可．
【详解】
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，不符合上式．
所以，
故答案为：
19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列 的各项均为正数，其前 项
和为 ，且满足 ，则满足 的最大的正整数 等于_________．
【答案】25．
【分析】
由 ，化简整理得到 ，求得 ，进而求得 时，
，根据 ，得到 ，即可求解.
【详解】由题意数列 的各项均为正数，且满足 ，
当 时，可得 ，
整理得 ，
又由 ，所以数列 表示首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
因为数列 的各项均为正数，可得 ，所以当 时， ，
当 时， ，
由 ，即 ，即 ，
又由 ，所以 ，所以满足 的最大的正整数 等于 .
故答案为： .
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 且满足 ， ，
则 ______．
【答案】
【分析】
利用 与 的关系，替换 ，构造 是等差数列，即可求得数列 的通项公
式.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，所以 是等差数列，公差为3，
又 ，所以 ， ．
故答案为：
21．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
_________.
【答案】【分析】
由递推关系式可得 ，构造数列 为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可
求解.
【详解】
由 ，则 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
故答案为：
22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列 满足 ，则数列 的
通项公式是_______．
【答案】
【分析】
根据给定条件将原等式变形成 ，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】
在正项数列 中， ，则有 ，
于是得 ，而 ，因此得：数列 是公比为2的等比数列，
则有 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
故答案为：
23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
___________.
【答案】
【分析】
利用 求得数列 的通项公式.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
两式相减得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，所以 .
故答案为：
24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列 满足 ，且 ，则
________________.
【答案】
【分析】
根据 变形得 ，可构造等比数列 ，由等比数列的性质可求出
，即可求得 ．
【详解】
由 可得： ，因为 ，所以 是以1为首项，3为公比的等
比数列，即 ，故 .
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，以及等比数列的定义应用，属于基础题．
25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解
九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列 ，则得到递推关系 .则 ___________.
【答案】256
【分析】
首先利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式，进一步求出结果.【详解】
由有穷数列 ，递推关系 ，
整理得： ，
整理得： ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
故答案为：256.
26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列 满足 ，则
的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用数列递推式，可得数列 是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函
数的单调性，即可求 的最小值．
【详解】
解：
，数列 是以10为首项，1为公差的等差数列
在 上单调递减，在 上单调递增时， 取得最小值为
故答案为：
四、解答题
27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{a}满足： ，求{a}的通
n n
项公式；
（2）在数列{a}中，已知a=3，（3n+2）a =（3n-1）a（n∈N*），a≠0，求a.
n 1 n+1 n n n
【答案】（1）a= ；（2）a= .
n n
【分析】
（1）对a = 两边“取倒数”，得到 ，再利用累加法求解；
n+1
（2）由（3n+2）a =（3n-1）a，得到 ，然后利用累乘法求解.
n+1 n
【详解】
（1）对a = 两边“取倒数”，得
n+1
，即 =2n+ ，
∴ .
∴n≥2时， ，
将以上各式累加得，
，所以 ，
所以 ，当n=1也满足，
所以 .
（2）因a≠0，由（3n+2）a =（3n-1）a，得
n n+1 n
，
∴n≥2时， ，逐项累乘，得 ，
∴ ，当n=1也满足，
∴ .
28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{a}满足a＝－1，a ＝a＋ ，n∈N*，求通
n 1 n＋1 n
项公式a；
n
（2）设数列{a}中，a＝1，a＝ a (n≥2)，求通项公式a.
n 1 n n－1 n
【答案】（1）a＝－ (n∈N*)；（2）a＝ (n∈N*)．
n n
【分析】
（1）由已知条件可得a －a＝ ，然后利用累加法可求出通项公式a.
n＋1 n n
（2）由a＝ a ，可得 ＝ ，然后利用累乘法可求出通项公式
n n－1
【详解】
（1）∵a －a＝ ，
n＋1 n
∴a－a＝ ；
2 1
a－a＝ ；
3 2
a－a＝ ；
4 3
…
a－a ＝ .
n n－1
以上各式累加得，a－a＝ ＋ ＋…＋
n 1
＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ .∴a＋1＝1－ ，
n
∴a＝－ (n≥2)．
n
又∵n＝1时，a＝－1，符合上式，
1
∴a＝－ (n∈N*)．
n（2）∵a＝1，a＝ a (n≥2)，
1 n n－1
∴ ＝ ，
a＝ × × ×…× × ×a＝ × × ×…× × ×1＝ .
n 1
又∵n＝1时，a＝1，符合上式，∴a＝ (n∈N*)．
1 n
29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的
通项公式.
【答案】
【分析】
将题中条件变形为 ，再利用累乘法求出数列 的通项公式.
【详解】
由 ，得 ，
所以当 时， ，
因为 ，
所以 ，
又因为 时， 满足上式，
所以
30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写 ，作差即可得到 的通项公式;
（2）根据（1）求出 的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前 项和，
需采用分组求和法，即可求出前 项和 ．
（1）
∵ ，①
当 时， ，即
当 时， ．②
由①－②得 ，即
∴数列 是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
（2）
由（1）知
∴ ，
∴ ．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，求数列
的通项公式.
【答案】【分析】
当 时，得到 ，当 时，得到 ，从而得到 .
【详解】
①，当 时， 解得 ，
当 时， ②，
①减②得，
化简得： ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列 的前 项和为 ，满足
， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）当 时，由 ，得 ，两式相减可得 ，从而可求出
，当 时， ，求出 ，进而可出数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，从而可求出
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，则
由 ，得相减得 即 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
解得 ，( 舍去)
由 ，得 ；（2）
.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据 ，得 ，两式作差可得数列 是以1为首项，1为公差的等差
数列，进一步可求通项；
（2）运用裂项求和来求和.
【详解】
（1）当 时， ，即 ，解得 或 （舍）.
当 时， ，
，
两式相减得 ，
又数列 的各项为正数，所以 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以 .
（2）.
所以
.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前n项和为 .
（1）求m的值，并求出数列 的通项公式；
（2）令 ，设 为数列 的前n项和，求 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）法一：由已知 求 、 ，根据等比数列的性质确定 的值，进而求出 ，写出 通项公式；
法二：由 与 的关系，结合已知求得 、 ， ，再根据等比中项的性质求 ，写出 通项公式；
（2）由（1）写出 通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求 .
【详解】
（1）法一：当 时，
当 时，
∵ 是等比数列，
∴ ，即 ，解得
综上， 的值为 ，数列 的通项公式为 .
法二：∵ ， ，∵ 是等比数列，
∴ ，即 ，解得 ，
设 的公比为 ，
∴ ， ，则 .
（2）∵ ，∴
.
35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求出 ；
（2）求数列 的前n项和 ．
【答案】（1）证明见解析； ；（2） ．
【分析】
（1）由 带入 整理即可得解；
（2）由（1）可得 ，再利用 和 之间的关系，可得 ，利用等比数
列，直接求和即可得解.
【详解】
（1）由已知 ，整理得， ，
所以 ，当 时， ，
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，故
当 时，
当 时， ，对 也满足．故 ．
