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第 16 讲 椭圆
真题展示
2022 新高考一卷第 16 题
已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率为
．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是
13 ．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线
与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性
又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的
要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查
了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中
应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有
较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现
了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形
后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运
用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、
数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了
发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解
决。
知识要点整理
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．焦点：两个定点F ，F .
1 2
3．焦距：两焦点间的距离|F F |.
1 2
4．几何表示：|MF |＋|MF |＝ (常数)且2a |F F |.
1 2 1 2
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
F ( － c ， 0) ， F (0 ，－ c ) ，
1 1
焦点坐标
F ( c ， 0) F (0 ， c )
2 2
a，b，c的关
b 2 ＝ a 2 － c 2
系
知识点三 椭圆的简单几何性质
焦点的位
焦点在x轴上 焦点在y轴上
置图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
－ a ≤ x ≤ a ，－ － b ≤ x ≤ b ，－
范围
b ≤ y ≤ b a ≤ y ≤ a
A ( － a ， 0) ， A ( a ， A (0 ，－ a ) ， A (0 ，
1 2 1 2
0) ， a ) ，
顶点
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， B ( － b ， 0) ， B ( b ，
1 2 1 2
b ) 0)
轴长 短轴长＝ 2 b ，长轴长＝ 2 a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F F |＝2
1 2
对称性 对称轴： x 轴、 y 轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点四 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次
方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
Δ的取
直线与椭圆 解的个数
值
两个不同的公
两解 Δ>0
共点
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0三年真题
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
二、多选题
2．已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
3．已知 ，B是圆 （F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则
动点P的轨迹方程为___________.
4．已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于
的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．四、解答题
5．已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
6．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．7．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F
1 2 1 2
且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
8．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合.过F
1 2 1 2
且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
三年模拟
1．已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点 、 ，P是 与 在第一象限的交
点，当 时，双曲线 的离心率等于______.
2．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两
个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球 ，球 的半径分别为4和2，球心距离 ，截面分别与球 ，球 相切于点 （ 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离
心率等于__________.
3．已知 ， 为椭圆 ： 的左右焦点，A为 的上顶点，直线l经过点 且与 交于B，
C两点；若l垂直平分线段 ，则 ABC的周长是___________.
△
4．如图所示，平面直角坐标系 中，四边形 满足 ， ， ，
若点 ， 分别为椭圆 ： （ ）的上､下顶点，点 在椭圆 上，点 不在椭圆 上，则
椭圆 的焦距为___________.5．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，点P在椭圆上，且 ， 的延长
线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率 ， ___________.
6．己知椭圆 的右焦点 和上顶点B，若斜率为 的直线l交椭圆C于
P，Q两点，且满足 ，则椭圆的离心率为___________.
7．已知 ， 是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且 的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆
的离心率为__________．
8．已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ，它们的离心率分别为 是它们的一个公共点.若，则 的最小值为__________.
9．已知 分别为椭圆 的左，右焦点，直线 与椭圆C的一个交点为
M，若 ，则椭圆的离心率为______.
10．已知椭圆 的离心率为 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上
且在以 为直径的圆上．线段 与 轴交于点 ， ，则椭圆 的长轴长为_____．
11．已知椭圆 的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为 ，且直线l交该椭圆
于A，B两点，若 ，则该椭圆的离心率为______________.
13．已知椭圆 左､右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为 的直线 与过 的直
线 交于 点，点 在椭圆上，且 .则椭圆 的离心率 __________.15．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点 是椭圆C上异于 、 的点，直
线 和 的斜率分别为 、 ，写出一个满足 的椭圆C的方程是________________．
16．如图，己知 是椭圆 的焦点，M，N为椭圆上两点，满足 ，且
，则 的余弦值为___________.
17．若 、 是椭圆C： 的两个焦点，过 的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，
则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为 ； ②存在点A使得 ；
③若 ，则 ； ④ 面积的最大值为12．18．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，
长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动
时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为 ，点M的运动轨迹为 ．若
， ，过 上的点P向 作切线，则切线长的最大值为______．
19．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 为椭圆 的上顶点，直线 与椭圆
的另一个交点为 ，若 ，则 ___________.
20．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，
它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥
的轴截面是正三角形，平面 与该圆锥的底而所成的锐二面角为 ，则平面 截该圆锥所得椭圆的离心率
为_________．21．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ：
（ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心
率分别为 ， ，则 的最小值为______．
22．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为___．
23．已知 是椭圆 的左、右焦点，P在椭圆上运动，求 的最小值为___．
24．设椭圆 的左、右两焦点分别为 ， ， 是 上的点，则使得 是直角三角形的
点 的个数为_________.
25．已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 __________.26．已知椭圆 ： 的左、右两个焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆 于 两点.若
是等边三角形，则 的值等于_________.
28．如图，已知 ， 分别为椭圆C： 的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一
点， 与y轴交于点B，若 ，则C的离心率为______．
