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第 16 讲 椭圆
真题展示
2022 新高考一卷第 16 题
已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率为
．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是
13 ．
【思路分析】根据已知条件，先设出含 的椭圆方程，再结合三角形的性质，以
及弦长公式，求出 的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
【解析】【解法一】(转化+定义): 椭圆 的离心率为 ，
不妨可设椭圆 ， ，
的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，
△ 为等边三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点，
，
由等腰三角形的性质可得， ， ，
设直线 方程为 ， ， ， ， ，
将其与椭圆 联立化简可得， ，
由韦达定理可得， ， ，
，解得 ，
由椭圆的定义可得， 的周长等价于 ．
故答案为：13．
【解法二】 (验证中点)：仿法一得 a=2c,b= c,仿法一由 DE=6 算出 c= 从而
a= .如图，连接 E ，D ，易知 A 的中点为 M( ,DE：y= (x+c)，显
然 M 在直线 DE，即 DE 是 A 的垂直平分线，从而 AE=E ，AD=D ，故
△ADE的周长为AD+AE+DE=D +E +DE= D +E + D +E =4a=13.
【解法三】(硬算+巧开方)：由椭圆的离心率为 可得 a=2c，从而 b= c，椭圆
方程化为 3 +4 =12 ，A(0, c),取 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点，
易得 A 的斜率为− ，故 DE 的斜率为 ，DE 的方程为 y= (x+c)，代入椭
圆方程并整理得 13 +8cx−32 =0，设 D( , ),E( , ),则 + = ， =−
,
于是DE= = = =6，解得c= ，
此时 13 +13x− =0，解得 x= ，取 D( , ),E( ,
)，A(0, ),
AD= = ,AE= =
,
设 223+84 = ，则 解得 m=14，n=3，故 AD=
，同理AE= ，
故AD+AE=7，△ADE的周长为AD+AE+DE=13.
【解法四】 (硬算+巧平方)：仿上得到 AD、AE 的长度，设 t= +
， 则 =446+2 =446+2 =446+2×189=784= , 故
t=28，AD+AE=7.下同法三。
【解法五】(极坐标方程): ，则设 ，由焦点弦公式，可知 即 ，
由椭圆的定义可得， 的周长等价于 ．
故答案为：13．
【试题评价】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，
属于中档题．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线
与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性
又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的
要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查
了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中
应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有
较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现
了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形
后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运
用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了
考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、
数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了
发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解
决。知识要点整理
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．焦点：两个定点F ，F .
1 2
3．焦距：两焦点间的距离|F F |.
1 2
4．几何表示：|MF |＋|MF |＝ 2 a (常数)且2a>|F F |.
1 2 1 2
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
F ( － c ， 0) ， F (0 ，－ c ) ，
1 1
焦点坐标
F ( c ， 0) F (0 ， c )
2 2
a，b，c的关
b 2 ＝ a 2 － c 2
系
知识点三 椭圆的简单几何性质
焦点的位
焦点在x轴上 焦点在y轴上
置
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
－ a ≤ x ≤ a ，－ － b ≤ x ≤ b ，－
范围
b ≤ y ≤ b a ≤ y ≤ a
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， A (0 ，－ a ) ， A (0 ，
1 2 1 20) ， a ) ，
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， B ( － b ， 0) ， B ( b ，
1 2 1 2
b ) 0)
轴长 短轴长＝ 2 b ，长轴长＝ 2 a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F F |＝2
1 2
对称性 对称轴： x 轴、 y 轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点四 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次
方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
Δ的取
直线与椭圆 解的个数
值
两个不同的公
两解 Δ>0
共点
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
三年真题
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以 ， ，可得 ， ，
所以 ，可得 ，所以该椭圆的短轴长 ，
故选：B.
二、多选题
2．已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.
三、填空题
3．已知 ，B是圆 （F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则
动点P的轨迹方程为___________.
【答案】 ．
【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．
【详解】由题意 ， 在线段 的垂直平分线上，则 ，
所以 ，又 ，
所以 在以 为焦点，长轴长为2的椭圆上，
， ， ，则 ，
所以轨迹方程为 ．
故答案为： ．
4．已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于
的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．
【答案】13
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.四、解答题
5．已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【详解】（1）由题意可得： ，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)［方法一］：通性通法
设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据 ,代入整理可得：
，
所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，故 ，于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
得 ，结合 可得： ，
解得： 或 （舍）.
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 ，
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 ，
若 与 重合，则 ，故存在点 ，使得 为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为 ，设直
线 的方程为 ．将直线 方程与椭圆方程联立得 ，即
，化简得 ，即
．设 ，因为 则 ，即 ．
代入直线 方程中得 ．则在新坐标系下直线 过定点 ，则在原坐标系下
直线 过定点 ．
又 ，D在以 为直径的圆上． 的中点 即为圆心Q．经检验，直线 垂直于x轴时也
成立．
故存在 ，使得 ．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为 ，即 ．设直线 的方程为 ，直线 的
方程为 ，直线 的方程为 ．由题意得 ．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线 可表示为
（其中 为系数）．
用直线 及点A处的切线可表示为 （其中 为系数）．
即 ．
对比 项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去 并化简得 ，即 ．故直线 的方程为 ，直线 过定点 ．又 ，D在以 为直径的圆上．
中点 即为圆心Q．
经检验，直线 垂直于x轴时也成立．故存在 ，使得 ．
［方法四］：
设 ．
若直线 的斜率不存在，则 ．
因为 ，则 ，即 ．
由 ，解得 或 （舍）．
所以直线 的方程为 ．
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ．
令 ，则 ．
又 ，令 ，则 ．
因为 ，所以 ，
即 或 ．
当 时，直线 的方程为 ．所以直线 恒过 ，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，所以直线 恒过 ．综上，直线 恒过 ，所以 ．
又因为 ，即 ，所以点D在以线段 为直径的圆上运动．
取线段 的中点为 ，则 ．
所以存在定点Q，使得 为定值．
6．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1） ， ，
根据离心率 ，解得 或 (舍)，
的方程为： ，即 ．
（2）［方法一］：通性通法
不妨设 , 在x轴上方，过点 作 轴垂线，垂足为 ，设直线 与 轴交点为
根据题意画出图形，如图， ， ，
又 ， ，
，根据三角形全等条件“ ”，可得： ，
， ， ，
设 点为 ，可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，
可得： ，解得： 或 ， 点为 或 ，
①当 点为 时，故 ，
， ，可得： 点为 ，
画出图象，如图
, ，可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为 ，
根据两点间距离公式可得： ， 面积为： ；
②当 点为 时，故 ， ， ，可得： 点为 ，画
出图象，如图, ，可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为 ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，综上所述， 面积为： .
［方法二］【最优解】：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作 轴，垂足为E．设 ，由题知， ．
故 ，
①因为 ，如图，所以， ．
②因为 ，如图，所以 ．综上有
［方法三］：
由已知可得 ，直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 ，由对称性可设 ，
联立方程 消去y得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，
将其代入直线 的方程得 ，所以 ，
则 ．
因为 ，则直线 的方程为 ，
则 ．
因为 ，所 ， ，即 ，故 或 ，即 或 ．
当 时，点P，Q的坐标分别为 ，
直线 的方程为 ，点A到直线 的距离为 ，
故 的面积为 ．
当 时，点P，Q的坐标分别为 ，
直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
故 的面积为 ．
综上所述， 的面积为 ．
［方法四］：
由（1）知椭圆的方程为 ， ．
不妨设 在x轴上方，如图．
设直线 ．
因为 ，所以 ．
由点P在椭圆上得 ，所以 ．由点P在直线 上得 ，所以 ．所以 ，化简得 ．
所以 ，即 ．
所以，点Q到直线 的距离 ．
又 ．
故 ．即 的面积为 ．
［方法五］：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作 轴，垂足为C，设 ，
由题知 ，所以 ．
（1） ．
则 ．
（其中 ）．
（2） ．
同理， ．
（其中 ）
综上， 的面积为 ．
7．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F
1 2 1 2且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2） ： ， ： .
【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中
.
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ，
， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
8．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合.过F
1 2 1 2且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2） ， .
【详解】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知 ，则有 ，
所以 ，即 ．
又由 ，得 ．
从而 ，解得 ．
所以 ．
故椭圆 与抛物线 的标准方程分别是 ．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知 ，又由圆锥曲线统一的极坐标公式 ，得 ，由
，得 ，两式联立解得 ．
故 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
[方法三]：参数方程
由（1）知 ，椭圆 的方程为 ，
所以 的参数方程为 （ 为参数），
将它代入抛物线 的方程并化简得 ，
解得 或 （舍去），所以 ，即点M的坐标为 ．
又 ，所以由抛物线焦半径公式有 ，即 ，解得 ．
故 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
三年模拟
1．已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点 、 ，P是 与 在第一象限的交
点，当 时，双曲线 的离心率等于______.
【答案】 ##
【详解】设椭圆 标准方程为 ，椭圆离心率为 ，设双曲线 标准方程为 ，双曲线离心率为 ，
由题可知： ．
设 ， ，
则 ，
由①②得， ， ，
代入③整理得， ，
两边同时除以 得， ，
即 ，
即 ，
解得 ，即 ．
故答案为：
2．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两
个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球 ，球 的半径分别为4和2，
球心距离 ，截面分别与球 ，球 相切于点 （ 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离
心率等于__________.【答案】
【详解】设 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
设直线 与圆锥的母线相交于点 ， 圆锥的母线与球相切于 两点，如图所示，
则 ，
两式相加得 ，即 ，
过 作 ，垂直为 ，
则四边形 为矩形，所以 ， ，
所以椭圆的离心率为 .故答案为：
3．已知 ， 为椭圆 ： 的左右焦点，A为 的上顶点，直线l经过点 且与 交于B，
C两点；若l垂直平分线段 ，则 ABC的周长是___________.
△
【答案】 ## .
【详解】如图，连接 ，
因为l垂直平分线段 ，
所以 ，
所以 ABC的周长为 ，
△
由题意得 ，则的中点为 ， ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
因为直线 过 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ABC的周长为 ，
△
故答案为： .
4．如图所示，平面直角坐标系 中，四边形 满足 ， ， ，
若点 ， 分别为椭圆 ： （ ）的上､下顶点，点 在椭圆 上，点 不在椭圆 上，则
椭圆 的焦距为___________.【答案】4
【详解】由题意得 ， ，设 ， .连接 ，
由 ， ，可知 ， ， ， 在以 为直径的圆 上，且 ，
又原点 为圆 的弦 的中点，
所以圆心在 的垂直平分线上，即在 轴上，则 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时，则 0，
若 ，则四边形 为矩形，则点 也在椭圆 上，与点 不在椭圆 上矛盾，
所以 ，所以 ，故圆 的圆心坐标为 ，
所以圆 的方程为 ，将 代入可得 ，又 ，
所以 ，故椭圆 的焦距为 .
故答案为：4.5．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，点P在椭圆上，且 ， 的延长
线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率 ， ___________.
【答案】 ##
【分析】设 ，利用已知条件及椭圆的定义求 ，再利用椭圆的定义及勾股定理，
设 可解得 ，进而求得 .
【详解】设 ， ，因为 ，所以 ， ，由椭圆的定
义，得 ，即 ，又 ，所以
，两边同时平方得 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，
，于是 ， .
设 ，则 ，根据 ，得 ，解得
.
故 .故答案为：
6．己知椭圆 的右焦点 和上顶点B，若斜率为 的直线l交椭圆C于
P，Q两点，且满足 ，则椭圆的离心率为___________.
【答案】 ##
【详解】设 ，线段PQ的中点为 ，
由 ，知F为 的重心，故 ，
即 ，解得 ，
又M为线段PQ的中点，则 ，
又P、Q为椭圆C上两点，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
化简得 ，则
解得 或 （ 故舍去）
则 ，则离心率 .
故答案为：
7．已知 ， 是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且 的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆
的离心率为__________．【答案】 ## .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，
因为 的最大值是它的最小值的2倍，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为： .
8．已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ，它们的离心率分别为 是它们的一个公共点.若
，则 的最小值为__________.
【答案】
【详解】设椭圆 对应 ，双曲线 对应 ， ，
所以 ，两边平方得 ①，
，两边平方得 ②，
①+②并整理得 ；①-②并整理得 .由余弦定理得 ，整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
9．已知 分别为椭圆 的左，右焦点，直线 与椭圆C的一个交点为
M，若 ，则椭圆的离心率为______.
【答案】 ##
【分析】由直线过原点及斜率， ，可得 ，再结合椭圆定义，在焦点三角形
通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率
【详解】由题可知， 为直角三角形， ，直线 过原点 ， ，故
，
又 ，则 ，在 中， ，即 ，
又 ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .
10．已知椭圆 的离心率为 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上
且在以 为直径的圆上．线段 与 轴交于点 ， ，则椭圆 的长轴长为_____．
【答案】
【详解】由题意得 ，
点 在以 为直径的圆上，则 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
又 ，所以 ，
所以椭圆 的长轴长为 ．
故答案为： ．
11．已知椭圆 的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为 ，且直线l交该椭圆
于A，B两点，若 ，则该椭圆的离心率为______________.【答案】
【详解】由题意知， ，直线 的方程为 ，其中c为椭圆C的半焦距，
联立 得 .
设 ，则 .
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，
∵ ，
∴ ，
令 ，可将上式整理为 ，
即 ，解得 或 ，
∴ ，即 ，
∴所求椭圆的离心率为 .
故答案为：12．若 为椭圆 的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的
，均存在四个不同的点P满足 ，则C的离心率e的取值范围为_______．
【答案】
【详解】设O为坐标原点，则 ，故
，由于
，故 ，
若存在四个不同的点P满足 ，又 ，
所以 即 解得
，即 ．
故答案为：
13．已知椭圆 左､右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为 的直线 与过 的直
线 交于 点，点 在椭圆上，且 .则椭圆 的离心率 __________.
【答案】 ##
【详解】在 中， ， ，则 ，，则 ，
由椭圆的定义可得 ，则 .
故答案为： .
14．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，过 作倾斜角为 的直线，与以坐标轴
原点 为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点 （不同于点 ），与椭圆 在第一象限交于点 ，若
，则椭圆 的离心率为__________．
【答案】
【详解】 ，
点A是线段 的中点，
为直径所对的圆周角，
，
为线段 的垂直平分线，
， ，过 的直线的倾斜角为 ，
，
，
， 为椭圆C的焦点，
，
且 ，
，
，
点B在椭圆C上，
，
，
，即 ，
故答案为： .
15．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点 是椭圆C上异于 、 的点，直
线 和 的斜率分别为 、 ，写出一个满足 的椭圆C的方程是________________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据斜率公式可得出 、 所满足的关系式，即可得出满足条件的一个椭圆的方程.【详解】由题意可知 、 ，设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以椭圆 的方程可以为 （只需满足 即可）.
故答案为： （答案不唯一）.
16．如图，己知 是椭圆 的焦点，M，N为椭圆上两点，满足 ，且
，则 的余弦值为___________.
【答案】 ##
【详解】解：延长 与椭圆交于点 ，又 ，根据对称性可知， ，设 ，则 ， ，
从而 ，故 ，
在 中，注意到 ，
，
在 中，有 ．
故答案为：
17．若 、 是椭圆C： 的两个焦点，过 的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，
则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为 ； ②存在点A使得 ；
③若 ，则 ； ④ 面积的最大值为12．
【答案】②④
【详解】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为 ，故①错误．
对②，设 ，得椭圆的参数方程为 （t为参数）， ， ，所以
， ．若存在点A使 ，则 ，即，得 有解，故存在点A使 ，故②正确．
对③，因为 ，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时 的面积最大，所以 ，故④正确．
故答案为：②④
18．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，
长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动
时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为 ，点M的运动轨迹为 ．若
， ，过 上的点P向 作切线，则切线长的最大值为______．
【答案】
【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
因为 ，所以点N的运动轨迹 是以O为圆心，半径为1的圆，
其方程为 ．
设点 ， ， ，
依题意， ，且 ，所以 ，且 ，
即 ，且 ．
由于t不恒等于0，于是 ，故 ， ，
代入 ，可得 ，
故曲线 的方程为 ．设 上的点 ，
则 ，
则切线长为 ，故切线长的最大值为 ．
故答案为：
19．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 为椭圆 的上顶点，直线 与椭圆
的另一个交点为 ，若 ，则 ___________.
【答案】
【详解】由 ，
可得 ，
如图过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
可得点 的坐标为 ，
代入椭圆方程可得 ，
有 ，解得 .
故答案为：
20．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，
它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥
的轴截面是正三角形，平面 与该圆锥的底而所成的锐二面角为 ，则平面 截该圆锥所得椭圆的离心率
为_________．
【答案】
【详解】如图1,不妨令正△ABC边长为 ,重心G,椭圆中心N,中线BD,底面圆心M.PG与长轴垂直.
则 . ，所以 .所以 ，
.
PG为过G与底面平行的圆的半径,如图2在△AMC,作GE∥MC,由相似可得：,所以 ，所以 .
如图3,即 ,代入方程 得： ,又 ,解得 ,
所以 ，所以 ，所以离心率 .
故答案为：
21．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ：
（ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心
率分别为 ， ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】解：设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
22．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为___．
【答案】9
【详解】根据题意可得：
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点
∴ ，即
∵ ，即点A在椭圆内
，
当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
故答案为：9．23．已知 是椭圆 的左、右焦点，P在椭圆上运动，求 的最小值为___．
【答案】1
【详解】因为 是椭圆 的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以 .
所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立）.
所以 .
即 的最小值为1.
故答案为：1
24．设椭圆 的左、右两焦点分别为 ， ， 是 上的点，则使得 是直角三角形的
点 的个数为_________.
【答案】6
【分析】根据椭圆的性质判断 为 上下顶点时 的大小判断直角三角形个数，再加上 、
对应直角三角形个数，即可得结果.【详解】由椭圆性质知：当 为 上下顶点时 最大，此时 ， ，
所以 ，故焦点三角形中 最大为 ，故有2个；
又 、 对应的直角三角形各有2个；
综上，使得 是直角三角形的点 的个数为6个.
故答案为：6
25．已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 __________.
【答案】
【详解】由焦点坐标 知焦点在 轴上，且 ，解得 .
故答案为： .
26．已知椭圆 ： 的左、右两个焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆 于 两点.若
是等边三角形，则 的值等于_________.
【答案】
【详解】因为 是等边三角形，故 ，故 关于 轴对称，故 轴.故 ，
，故 ，又 ，故 ，故 ，即 ，所以
，故答案为：
27．已知椭圆 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，与y轴交于E点，若
，则椭圆的离心率是__________．
【答案】
【详解】若 ，如下图，则 ，则 ，所以设 ，
则 ，
，所以 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 为 的中点，则 ，
所以 因为 两点在椭圆上，
则 ，则 ，所以 ，
化简得： ，则 .故答案为： .
28．如图，已知 ， 分别为椭圆C： 的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一
点， 与y轴交于点B，若 ，则C的离心率为______．
【答案】
【详解】由题意知, ，设 ，
由 ，得 ， ,
, ,
在 中， ， ，
在 中， ；
根据椭圆的定义， ，所以 ．
故答案为：
