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第06讲 指对幂函数
【知识点总结】
一、指数的运算性质
当a>0，b>0时，有
(1)aman=am+n(m,nR)； (2) ( m,nR)
(3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)；
(5) (pQ) (6) (m,nN+)
二、指数函数
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数；
(2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示.
y=ax a>1 00
y=1x=0 y=1x=0
y>1x>0 y>1x<0
三、对数概念
，叫做以 为底 的对数.
注：① ，负数和零没有对数；
② ；
③ .
四、对数的运算性质
特殊地五、对数函数
（1）一般地，形如 的函数叫对数函数.
（2）对数函数 的图像和性质，如表2-7所示.
图像
性质
（1）定义域： （1）定义域：
（2）值域： （2）值域：
（3）图像过定点： （3）图像过定点：
（4）在 上是增函数 （4）在 上是减函数
六、幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量 .
七、幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，
要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当 时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.
八、幂函数的性质
当 时，幂函数 在 上是增函数，当 时，函数图像是向下凸的；当 时，图
像是向上凸的，恒过点 ；当 时，幂函数 在 上是减函数.幂函数 的图像
恒过点 .
【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．log 2 B． C．log 3 D．
3 2
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ），其中a，b均为实数.
（1）若函数 的图象经过点 ， ，求函数 的解析式；
（2）如果函数 的定义域和值域都是 ，求 的值.
例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）若 ，求 的值．
例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值
（1） ；
（2） ；.
（3） ；．
（4） .例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）判断 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于 的不等式 .
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（1）当 时，求 的值域；
（2）若对 ， 成立，求实数 的取值范围；
（3）若对 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在实数 上的偶函数，且 ，当
时， ，函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）证明：对任意 ，都有 ；
（3）在同一坐标系中作出 与 的大致图象并判断其交点的个数．【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，当 时，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）化简 的结果为（ ）
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．15
4．（2022·全国·高三专题练习）若 是指数函数，则有（ ）
A． 或 B．
C． D． 且
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
6．（2022·浙江·高三专题练习）函数 ，且a≠1)的图象经过点 ，则f(-2)= （ ）
A． B． C． D．9
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ ，则此函数图象上关于原点对称的点有（
）
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对8．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）若 满足不等式 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）定义运算 ，若函数 ，则 的值域是（
）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，
也称取整函数，例如： ， .已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． ， C． ， ， D． ，0，
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递增，且函数
.若实数 满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）函数 （ ，且 ）在 上最大值与最小值的差为2，则
（ ）
A． 或2 B．2 C． D．16．（2022·全国·高三专题练习）设2a＝5b＝m，且 ，则m等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·上海·高三专题练习）若 ，则x，y，z之间满足（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则 的值可能为（ ）A． B． C．7 D．10
19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
21．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则 等于
A．3 B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）若函数 对 恒有意义，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）下列各函数中，值域为 的是（ ）
A． B．C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则不等式 的
解集为（ ）
A．(0，2] B．C．[2，＋∞) D． ∪[2，＋∞)
28．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（
）
A．（﹣∞，0） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
29．（2022·全国·高三专题练习）幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上
是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
30．（2022·全国·高三专题练习（理））设 ，则使函数 的定义域为 ，且该函数为
奇函数的 值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 、 或
31．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象过函数 的
图象所经过的定点，则 的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3， )，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
33．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．（2021·全国·高一专题练习）如图中的曲线C ，C ，C ，C 是指数函数的图象，已知对应函数的底数
1 2 3 4的值可取为 ， ， ， ，则相应于曲线C ，C ，C ，C ， 依次为（）
1 2 3 4A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
35．（2021·全国·）图中曲线分别表示 的图像， ，的关系是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
36．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公共点，
则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
37．（2022·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数 是指数函数
B．函数 的值域是C．若 ，则
D．函数 的图像必过定点38．（2022·全国·高三专题练习（理））对函数 判断正确的是（ ）
A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域
39．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若函数 有五个零点，则实数
可取（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
40．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
上，则 的最小值为__.
41．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为__________．
42．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有3个实数根，则
实数k的取值范围是________.
43．（2022·上海·高三专题练习）存在实数 使不等式 在 成立，则 的范围为__________．
44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ( 为常数)，若 在区间 上是增函数，则
的取值范围是________．
45．（2022·全国·高三专题练习）已知不为 的正实数 满足 则下列不等式中一定成立的
是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
46．（2022·全国·高三专题练习）若函数 恒过点 ，则函数在 上的最小值是_____.
47．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的最大值为M，最小值为
N，则M＋N=___．
48．（2022·全国·高三专题练习（文））若 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是______．
49．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
_____．
50．（2022·全国·高三专题练习（理））不等式 的解集是_______．
51．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 用 表示 _____
52．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象恒过定点 , 在幂函数 的图象
上，则 ．
53．（2022·上海·高三专题练习）不等式 的解集是________.
54．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 在 上为减函数.则实数 的取值范围是
________．
55．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝log （x2+2x﹣3）的单调增区间是_____．
2
56．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 ， ，则函数 的最大值与
最小值的和为__________.
57．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的最小值为__________．
