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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【提升训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中， 经过点 、 ， 与 轴相切于点 ，则点 的坐标是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】
分两种情况：如图1，过P作PD⊥y轴于D，连接PC，根据切线的性质得到PC⊥x轴，根据矩形的性质得
到PC=OD，PD=OC，根据勾股定理得到 ，如图2，同理可得，
P（-3，2 ），于是得到结论．
【详解】
解：如图1，过P作PD⊥y轴于D，连接PC，PB，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴四边形OCPD是矩形，
∴PC=OD，PD=OC，∵点A（0， ）、B（0，3 ），
∴AB=2 ，
∴BD=AD= AB= ，
∴OD=OA+AD=2
∴PC=OD=2 ，
∴PB=PC=2 ，
在Rt△PBD中， ，
∴P（3，2 ）；
如图2，同理可得，P（-3，2 ），
综上所述，点P的坐标是（3，2 ）或（-3，2 ），
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
2．设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为 ，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点
在以OD的中点E为圆心，以 为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．
【详解】
解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴ ，
∴ ，
即 ，，
设AB的解析式为： ，代入A(a，a²)，
解得： ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以 为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，
故CH的最大值为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合
，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
3．如图，在 中， ， ， ，以边 的中点 为圆心，作半圆与 相切，
点 ， 分别是边 和半圆上的动点，连接 ，则 长的最大值与最小值的和是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP⊥BC垂足为P 交⊙O于Q，此时垂线段OP 最短，PQ
1 1 1 1 1 1
最小值为OP-OQ ，如图当Q 在AB边上时，P 与B重合时，PQ 最大值=5+3=8，由此即可求解．
1 1 2 2 2 2
【详解】
解：如解图，设 与 相切于点 ，连接 ，则 ，
作 垂足为点 ，交 于点 ，此时垂线段 最短，
当O、Q、P 三点不共线时，构成△OQP ，
1 1 1
由三角形两边之差小于第三边可知，当O、Q、P 三点不共线时，
1 1
PQ有最小值为 ，且 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵O为斜边AB上的中点，
∴OP 和OE均为△ABC的中位线，
1∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
当 在 边上， 与 重合时， 最大值为 ，
∴ 长的最大值与最小值的和是9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形两边之差小于第三边求最值，解题的关键是正确找到点PQ取得最
大值、最小值时的位置．
4．如图，正方形 的顶点A、D在⊙O上，边 与⊙O相切，若正方形 的周长记为 ，
⊙O的周长记为 ，则 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】
设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，则 ， ，结合垂径定理，勾股定理得出 ，则 ， ，即可得出结论
【详解】
如图：设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为 中点，
设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，
在 中，
正方形 周长为 ，⊙O的周长为
，故选：A．
【点睛】
本题考查了圆切线的性质，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及正方形的周长和圆的周长公式，熟
练掌握垂经定理和勾股定理找到正方形的边长和圆的半径之间的关系是解题关键．
5．如图， 是 的直径，点C为 外一点， ， 分别与 相切于点A，点D，连结 ，
．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得出∠CAO=90°，AC=CD，求出∠CAD=∠CDA= （180°-∠ACD）=65°，求出∠DAB，根
据圆周角定理求出∠ADB=90°，再求出答案即可．
【详解】
解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，
∴∠CAO=90°，AC=CD，
∵∠ACD=50°，
∴∠CAD=∠CDA= （180°-∠ACD）=65°，
∴∠DAB=90°-∠CAD=90°-65°=25°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=90°-∠DAB=90°-25°=65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
6．如图，在 中， 切 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
连接 ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接 ，根据 与 相切易得 ，在 中，已知 ，可以求出 的
度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出 的度数，最后根据 可得
．
【详解】
如下图，连接 ，
∵ 切 于点 ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝120°，则∠BAC的度数是（
）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【分析】
由切线的性质得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=120°，
∴∠OAB= =30°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的性质．8．如图， 是 的直径， 是 的切线， ， 交 于点 ， 是 上一点，
延长 交 于点 ，则 的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【分析】
连接AC，根据切线的性质得到AT⊥AB，进而求出∠ABT，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，计算即可．
【详解】
解：连接AC，
∵AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，
∵∠T=40°，
∴∠ABT=90°-∠T=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABT=40°，
由圆周角定理得，∠CDB=∠CAB=40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（）
A． 平分 B．
C．点 是 的内心 D．点 到点 ， ， 的距离相等
【答案】C
【分析】
利用基本作图得到CD平分∠ACB，则根据三角形内心的定义可判断E点为△ABC的内心，从而得到正确
的选项．
【详解】
解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已
知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线) ．也考查了三角形的内心．
10．下列五个说法：①近似数3.60万精确到百分位；②三角形的外心一定在三角形的外部；③内错角相等；
④90°的角所对的弦是直径；⑤函数 的自变量x的取值范围是 且 ．其中正确的个
数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据近似数3.60万精确到百位可判断①，根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线
的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点上，钝角三角形在形外可判断②，根据两直线平行，
内错角相等可判断③； 90°的圆周角性质可判断④，函数 根式函数要求被开方数非负，分式函
数分母不为0，可判断⑤即可得出答案．
【详解】
解：①近似数3.60万精确到百位，故①近似数3.60万精确到百分位错误；
②三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在
斜边中点上，钝角三角形在形外，故②三角形的外心一定在三角形的外部错误；
③两直线平行，内错角相等；故③内错角相等错误；
④90°的圆周角性质是90°的圆周角所对的弦是直径，故④90°的角所对的弦是直径不正确；；
⑤函数 ，
，
解得 且 ，
⑤函数 的自变量x的取值范围是 且 正确．
正确的个数有一个⑤．
故选择：B．
【点睛】
本题考查基本技能，精确度，三角形外心，内错角，90°圆周角的性质，函数的自变量取值范围，熟练掌握
精确度，三角形外心，内错角，90°圆周角的性质，函数的自变量取值范围是解题关键．
11．如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下列说法不正确的是（ ）A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】
根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC
的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若 ，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】
解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若 ，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A， 交 于点C．若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OC，证明 PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得 ．
△
【详解】
如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为 ，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在 PAO和 PCO中，
△ △
，
所以 PAO≌△PCO（SAS），
所以△∠OCP=∠OAP因为PA与 相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关
键．
13．如图，已知 上三点 、 、 ，连接 、 、 、 ，切线 交 的延长线于点
， ，则 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】
根据圆心角等于同弧所对圆周角的2倍求得 ，再利用切线的性质定理求得
，即可求出 的度数．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵BD是 的切线，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，切线的性质定理，利用直角三角形两锐角互余的计算，熟练掌握圆周角定理及圆的
切线的性质定理是解题的关键．
14．如图， 为 的直径，直线 与 相切于点 ，直线 交 于点 、交 于点 ，
连接 、 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 平分 ； B．若 平分 ，则 ；
C．若 ，则 平分 ； D．若 ，则 ．
【答案】D
【分析】
根据平行线的判定和性质，切线的性质以及角平分线的定义分别分析即可判断．
【详解】
解：A、∵AH∥OD，OD⊥HF，
∴∠CAD=∠ADO，
∵AO=OD，
∴∠HAD=∠DAO=∠ADO，
∴AD平分∠BAH，故正确，不合题意；
B、∵AD平分∠BAH，
∴∠HAD=∠DAO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠ADO=∠HAD，
∴AH∥OD，∵OD⊥HF，
∴HA⊥HF，故正确，不合题意；
C、∵AH⊥EF，OD⊥EH，
∴AH∥OD，
由A得：AD平分∠BHA，故正确，不合题意；
D、由 无法证明AH⊥EF，故错误，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练运用切线的性质．
15．如图， 中， ，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，
F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】
根据切线长定理求出AD=AF，BE=BD，CE=CF，得出等边三角形ADF，推出 ，根据
BC=6，求出BD+CF=6，求出AD+AF=4，即可求出答案．
【详解】
解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD= ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能
力，题目比较好，难度也适中．
16．如图， 为 的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径 的延长线交于点D，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，进而求出∠COD=70°，即可求出∠BAC= ．
【详解】
解：如图，连接OC，
∵CD为 的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°-∠D=70°，
∵OA=OC，∴∠BAC= ．
故选：C
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，根据题意添加辅助线构造直角三
角形和等腰三角形是解题关键．
17．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有
两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB=2OP，计算得
到答案．
【详解】
解：连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC-PC=2，∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴AB=2OP，
当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O，P，C三
点共线时，OP最短是解题的关键．
18．如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】
过点C作CH⊥BO于点H．由点O为△ABC的内心，∠A＝60°，得∠BOC＝120°，则∠COH＝60°，由OC
＝4，得CH＝2 ，BO＝2，于是求出△OBC的面积．
【详解】
解：过点C作CH⊥BO于点H．
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB=90° ∠A＝90° 120°，
则∠COH＝60°，∠OCH＝30°∵CO＝4，
∴OH=2
∴CH＝2 ，BO＝2，
∴△OBC的面积为 2 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
19．如图， 是 的切线，切点为 ， 的延长线交 于点 ，点 为 上的动点，若
，则 等于（ ）
A．115° B．110° C．105° D．100°
【答案】A
【分析】
在优弧AC上任取一点D（不与A、C重合），连接CD，AD，如图所示，由PA为圆O的切线，利用切线
的性质得到OA与AP垂直，在△APO中，根据三角形的内角和求出∠AOP的度数，再利用同弧所对的圆
周角等于所对圆心角的一半求出∠ADC的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠AQC的度数．【详解】
解：在优弧AC上任取一点D（不与A、C重合），
连接CD，AD，如图所示：
∵PA是 O的切线，
∴OA⊥A⊙P，
∴∠OAP＝90°，又∠P＝40°，
∴∠AOP＝180°﹣∠OAP﹣∠P＝50°，
∴∠AOC=130°
∵圆周角∠ADC与圆心角∠AOC都对 ，
∴∠ADC ∠AOC＝65°，
又四边形AQCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AQC＝180°，
∴∠AQC＝115°．
故选：A．
【点睛】
此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质
是解本题的关键．
20．如图， ， 是⊙O的切线，切点为 、 ，点 为优弧 上一点，且 ，若
．则 等于（ ）A．100° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据切线长定理可得 ，再根据平行线的性质可得
，然后根据圆的切线的性质可得 ，从而可得 ， ，
最后根据圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图，延长 交 于点 ，连接 ，
是 的切线， ，
，
，
，
又 ，
，
，
则由圆周角定理得： ，故选：C．
【点睛】
本题考查了切线长定理、圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
21．如图， 和 是 的两条切线， ， 为切点，点 在 上，点 ， 分别在线段 和
上，且 ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据切线长定理得到 ，即可得 ADE≌△BFD，再利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即
可求解． △
【详解】
解：∵ 和 是 的两条切线， ， 为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△ADE≌△BFD，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查切线长定理、全等三角形的判定与性质等内容，掌握切线长定理是解题的关键．
22．已知 ， ， 是等圆， 内接于 ，点C，E分别在 ， 上．如图，①以
C为圆心， 长为半径作弧交 于点D，连接 ；②以E为圆心， 长为半径作弧交 于点
F，连接 ；下面有四个结论：① ；② ；③
；④ ，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
【详解】
解：由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ；故①错误；
∵ ， ， 是等圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故②正确；
∴ ， ，∵ ，
∴ ；故③正确；
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
∴正确结论的序号是②③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关
系是解题的关键．
23．如图， 中， 截 的三条边所截得弦长相等，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进
一步求出∠BOC的度数．
【详解】
解：如图，∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= （180°-∠A）= （180°-50°）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-65°=115°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，掌握三角形内心的性质是解答此题的关键．
24．如图，⊙O的半径为2，弦AB平移得到CD（AB与CD位于点O两侧），且CD与⊙O相切于点E．
若 的度数为120°，则AD的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】
连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，BD，由切线的性质得EF⊥CD，则EF⊥AB，得AF
＝BF，求出OF＝ OA＝1，则EF＝3，再由勾股定理得AF＝ ，则AB＝2 ，求出BD＝EF＝3，再
由勾股定理求出AD即可．
【详解】解：∵ 的度数为120°，
∴∠AOB＝120°，
连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴EF⊥CD，
由平移的性质得：CD∥AB，CD＝AB，
∴EF⊥AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOF＝∠BOF＝ ∠AOB＝60°，AF＝BF＝ AB＝DE，
∴∠OAF＝30°，四边形BDEF是矩形，
∴OF＝ OA＝ ×2＝1，BD＝EF，
∴EF＝2+1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△AOF中，OA＝2，OF＝1，
∴AF＝ ，
∴AB＝2 ，
∴AD＝ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，矩形判定和性质，切线等知识点，构造出矩形BDEF是解题关键．25．如图，在 中， 是 外一点， 与 相切于 两点， 是 上两点，若
，则 （ ）
A．210° B．215° C．220° D．225°
【答案】B
【分析】
连接AB，根据圆内接四边形性质和切线长定理求出 和 的度数即可．
【详解】
解：连接AB，
∵ 与 相切于 两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 上两点，
∴ ，
∴ ；
故选：B．【点睛】
本题考查了切线长定理、圆内接四边形性质、等腰三角形性质，解题关键是恰当连接辅助线，构造等腰三
角形和圆内接四边形．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，
M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最
小值为OP﹣OF＝5，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝13，则可得出答案．
【详解】
解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝12，BC＝9，
∴AB＝ ＝ ＝15，∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC，
∵点O是AB的三等分点，
∴ ，
∴OP＝8，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴ ，
∴OD＝3，
∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，
∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确找到点
MN取得最大值、最小值时的位置．
27．如图， 为 的直径，直线 与 相切于点 ，点 为半圆弧 的中点，连接 交
于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OE，先利用切线的性质得到 ，再在 中，利用等腰三角形的性
质求 ，再利用三角形的内角和求 ．根据题意求出 ，则
可得 ，在 中，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】
解：连接OE．
∵直线 与 相切于点 ，
∴
∵
∴
∴
∵ 为 的直径，点 为半圆弧 的中点，
∴∴
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握切线的性质找到角与角之间的关系
是解答此题的关键．
28．如图，已知点 为勾股形 （我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中 为
直角，点 、 、 分别在边 、 、 上， ，若 ，
，则正方形 的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
【答案】B
【分析】
先根据已知条件证明 和 全等， 和 全等，然后设正方形 的边长为 ，
在 中，利用勾股定理建立关于 的方程，解方程即可．
【详解】
，∠ABO=∠CBO，
是 和 的公共边，
，
同理可得， ，
， ，
由题意得，四边形 为正方形，
设 ，，
在 中， ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
正方形 的面积是4，
故选： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等
知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键．
29．如图， 是 的直径， ， ， 交 于点 ，交 于点 ， 与
相切于点 ，交 于点 ， 与 相交于点 ．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
证明 ，利用三角形中位线性质可对A选项进行判断；再证明 ，利用垂径定理得到
，根据切线的性质得 ，易得四边形 为矩形，所以 ，于是可对B选
项进行判断；证明 ，则 ，根据垂径定理得到 ，所以 ，则可对C选项进行判断；连接 ，如图，计算出 ，则根据圆内接四边形的性质得到
， ，所以 ，则 ，则可对D选项进行判
断．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，所以A选项的结论正确；
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为切线，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，所以B选项的结论正确；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，所以C选项的结论正确；
连接 ，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，所以D选项的结论错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，解题关键是熟
练综合运用所学知识，准确进行推理证明．
30．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两
弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心
【答案】D
【分析】
根据垂直平分线的性质和三角形外接圆、圆周角性质判断即可．
【详解】
解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∵DC＝DA，
∴DC＝DB＝DA，
∴点D是△ACB的外心， AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
故选项A，B，C正确，
答案：D．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和三角形的外接圆、圆周角性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行
推理判断．
二、填空题
31．如图，在 中， ，以AD为直径的 与BC相切于点E，连接OC．若 ，
则 的周长为____________．【答案】
【分析】
连接OE，作AF⊥BC于F，先证明 为矩形，进而证明Rt△ABF≌Rt△OCE，得到BF=CE=3，利用
勾股定理求出OC= ，即可求出 的周长．
【详解】
解：如图，连接OE，作AF⊥BC于F，
∵BE为 的切线，
∴∠OEC=∠OEB=90°，
∵AD∥BC，
∴AF∥OE，
∴四边形AFEO为平行四边形，
∵∠OEF=90°，
∴ 为矩形，
∴AF=OE，EF=AO= =6,
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD=12，
∵AB=OC
∴Rt△ABF≌Rt△OCE，
∴BF=CE=3，
∵OE=OA=6，∴在Rt△OCE中， ，
∴AB=CD=OC= ，
∴ 的周长为为（ ）×2= ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形等知识，熟知
相关定理，并根据题意添加辅助线是解题关键．
32．如图， 是 外一点， 、 是 的两条切线，切点分别为 、 ，若 为 ，点 在
上（不与 、 重合），则 ______ ．
【答案】71或109
【分析】
连接OB、OC，根据切线的性质求出 ，再根据点A的位置利用圆周角定理及圆内接四边形
的性质分类求值．
【详解】解：如图，连接OB、OC，
∵ 、 是 的两条切线，切点分别为 、 ，
∴ ，
∵ = ，
∴
①当点A在优弧BC上时， ，
②当点A在劣弧BC上时，点A、B、D、C四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴
故答案为：71或109．
【点睛】
此题考查圆的切线的性质定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题中根据点A的位置运用分类讨论
是解题思想．
33．如图， 与 的边 相切，切点为 ．将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
使点 落在 上，边 交线段 于点 ．若 ，则 ______度．【答案】85
【分析】
连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由 与 的边 相切，可求
∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解．
【详解】
解：连结OO′，
∵将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
∴BO′=BO=OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′=60°，
∵ 与 的边 相切，
∴∠OBA=∠O′BA′=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°
∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°
∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．
故答案为85．【点睛】
本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线
性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．
34．如图， ， 分别是 的直径和弦， ，交 于点 ．过点 作 的切线与
的延长线交于点 ，若 ， ，则 的长__________．
【答案】2
【分析】
连接BD，先由线段垂直平分线的性质得 ，再证 ，然后证 是等
边三角形，得 ，即可得出答案．
【详解】
解：连接BD，如图：
是 的直径，
，
，
， ，
平分 ，
，
， ，
，
，
又 ，
，
，是 的切线，
，
，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性
质、含 角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
35．已知在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 是抛物线 对称轴上的
一个动点．小明经探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能使 为直角三角形的点 的个
数也随之确定．若抛物线 的对称轴上存在3个不同的点 ，使 为直角三
角形，则 的值是____．【答案】2或
【分析】
分 ， 和 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与 ， ，
共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．
【详解】
解：由题意得：O（0,0），A（3，4）
∵ 为直角三角形，则有：
①当 时，
∴点M在与OA垂直的直线 上运动 （不含点O）；如图，
②当 时， ，
∴点M在与OA垂直的直线 上运动 （不含点A）；
③当 时， ，
∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，
∴点P为OA的中点，
∴∴半径r=
∵抛物线 的对称轴与x轴垂直
由题意得，抛物线的对称轴与 ， ， 共有三个不同的交点，
∴抛物线的对称轴为 的两条切线，
而点P到切线 ， 的距离 ，
又
∴直线 的解析式为： ；直线 的解析式为： ；
∴ 或4
∴ 或-8
故答案为：2或-8
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，
有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．
三、解答题
36．已知：在 中， 为直径， 为射线 上一点，过点 作 的切线，切点为点 ， 为弧
上一点，连接 、 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若四边形 为平行四边形， ，求 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为5．
【分析】
（1）连接AC、OC，利用切线的性质和圆周角定理得到∠ACB=∠OCP=90°，再利用圆周角定理即可证明
∠D=∠PCB；
（2）利用平行四边形的性质、三角形内角和定理以及（1）的结论求得∠A=∠PCB=∠CPB=30°，得到
OBC是等边三角形，即可求解．
△【详解】
（1）证明：连接AC、OC，
∵AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，
∴∠ACB=∠OCP=90°，
∴∠ACO=∠PCB，
∵OA= OC，
∴∠ACO=∠A，
∵∠D=∠A，
∴∠D=∠PCB；
（2）解：连接AC、OC，∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D=∠CPB，
由（1）得：∠ACB=∠OCP=90°，∠D=∠A=∠PCB，
∴∠D=∠A=∠PCB=∠CPB，
在 ACP中，∠A+∠ACB +∠PCB+∠CPB=180°，
则△∠A+∠PCB+∠CPB=90°，即∠A=∠PCB=∠CPB=30°，
∴∠OBC=∠PCB+∠CPB=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=5，
故⊙O的半径为5．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
37．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D， 于点F，连接OF，且
．
（1）求证：DF是 的切线；
（2）求线段OF的长度．【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接OD，先说明 是等边三角形得到 ，说明 ，进而得到
即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到 ，最后运用勾
股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：连接OD
∵ 是等边三角形
∴
∵
∴ 是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是 的切线；（2）∵OD//AB，
∴OD为 的中位线
∴
∵ ，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在 中， ．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成
为解答本题的关键．
38．如图， 、 分别是 的直径和弦，弦 与 、 分别相交于点 、 ，过点 的切线
与 的延长线相交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径长．【答案】（1）证明见解析；（2）2
【分析】
（1）连接OF，根据等边对等角和对顶角的性质可得 ，根据切线的性质可得
，倒角即可得证；
（2）证明 ，利用正弦的定义即可求解．
【详解】
解：（1）连接OF，
，
∵FH为 的切线；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接AF，为直径，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为2．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
39．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且
∠F=67.5°，∠G=22.5°， ，边AB过圆心O．（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）若AB=2，则CE•CA的值等于多少？
【答案】（1）45°；（2） ；（3）
【分析】
（1）利用三角形的外角的性质可证得∠BCD=∠F+∠FDG，∠FDG=∠BAD+∠G，由此可推出
∠BCD=∠F+∠BAD+∠G；再利用圆内接四边形的性质可得到∠BCD+∠BAD=180°，代入计算可求出∠BAD
的度数．
（2）过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠BAC的度数，再利用圆
周角定理求出∠BOC的度数，可证得 OCH是等腰直角三角形，设OH=CH=x，利用勾股定理表示出r；
然后利用锐角三角函数的定义可求出△tan∠BAC的值；利用圆周角定理可证得∠CAB=∠CAD，
∠CAD=∠CBD，可求出∠F的度数；再证明AB=AF， 设AD=DB=x，可得到AB=AF= x，DF=
x-x，然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠BAC的值．
（3）利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用等弧所对的圆周角相等可证得∠BAC=∠CBD，利用解直角
三角形求出tan∠BAC的值；可得到2CE CA=BC2， ；再利用勾股定理求出BC2， 由此可求出 CE
CA 的值；或利用相似三角形的判定和性质求出CE CA 的值．
【详解】
（1）解：∵∠BCD=∠F+∠FDG，∠FDG=∠BAD+∠G
∴∠BCD=∠F+∠BAD+∠G
∵∠BCD+∠BAD=180°，∠F=67．5°，∠G=22．5°∴∠F+∠BAD+∠G+∠BAD=180°
而∠F=67．5°，∠G=22．5°
∴∠BAD=45°
（2）解：方法1．如图，过点C作CH⊥AB于点H，连接OC．
设圆的半径为r，CH=x，则OC=OA=r．
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=22．5°
∴∠BOC=45°∴OH=CH=x
∴在Rt△OHC中， 即
∴在Rt△AHC中，
方法2．∵
∴∠CAB=∠CAD，∠CAD=∠CBD
∵AB为⊙O的直径，∠F=67．5°
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠CAD=∠CAB=∠DBF=22．5°
∴∠ABF=45°+22．5°=67．5°
∴AB=AF
设AD=DB=x，则AB=AF= x，DF= x-x∴在Rt△DBF中，
（3）解：方法1．由题意知：AB为直径．
∴∠ACB=90°
，∴∠BAC=∠CBD
∴
∴2CE CA=BC2， AC=( +1)BC
∴在Rt△ABC中，
解得：
方法2．同法1解得：
，∴∠BAC=∠CBD
∴△ABC∽△BCE
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，圆心角性质，三角函数，勾股定理，相似三角形，
属于圆的综合问题，有证明有计算，熟练掌握几何定理是解题的关键．
40．如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，过点 作 于
点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）连接OD，由题意易得∠A=∠B=60°，则有△AOD为等边三角形，进而可得OD∥BC，然后可得
∠CFD=∠FDO=90°，最后问题可求证；
（2）连接DE，由（1）及题意易得 ，∠FDE=60°，则有△FDE是等边三角形，进而可得
DE=DF，然后易得△CDF≌△AED，则有AE=CD=2r，最后问题可求解．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵等边 ，
∴∠A=∠B=60°，
∵ ，
∴△AOD为等边三角形，∴ ，
∴OD∥BC，
∵ ，
∴∠CFD=∠FDO=90°，
∵OD是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）可得 是 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴△FDE是等边三角形，
∴DE=DF，
∵ ， 是直径，
∴ ，
∴△CDF≌△AED（AAS），
∴AE=CD=2r，
∴ ，
∵ ，
∴ ．【点睛】
本题主要考查切线的判定定理、切线长定理及等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定定理、切线
长定理及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
41．如图1， 中， ，半径为r的 经过点A且与 相切，切点M
在线段 上（包含点M与点B、C重合的情况）．
（1）半径r的最小值等于________：
（2）设 ，求半径r关于x的函数表达式；
（3）当 时，请在图2中作出点M及满足条件的 ．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析．
【分析】
（1）当 交BC于点M时，此时半径r最小，设 ，如图1所示，由勾股定理可得：
，从而列出 ，解得 ，再次利用勾股
定理可得： ，所以求得半径 ；
（2）如图2所示，连接OM，过点A作 交BC于点D，过点O作 交AD于点F，由
，可表示出 ， ，在 中，由勾股定理列式：，即 ，且点M在线段BC上，可知 ，整理得：
；
（3）如图3所示，过点M作BC的垂线MF，连接AM，作AM的垂直平分线HD，HD和MF的交点即是
的位置，用圆规以O为圆心，OM为半径画圆，即为所求．
【详解】
（1）当 交BC于点M时，此时半径r最小，
设 ，如图1所示，
在 和 中，由勾股定理可知：
∴
解得：
∴
∴半径
（2）如图2所示，连接OM，过点A作 交BC于点D，过点O作 交AD于点F；由（1）知 ， ， ， ；
∴ ， ；
∴在 中，
即
整理得： ；
∵点M在线段BC上
∴
∴
（3）如图3所示：
【点睛】
本题属于综合题，主要考查了动圆中的最小值问题，勾股定理寻找函数表达式，能够借助垂线段最短找到
半径最小值，借助勾股定理列式整理转化为函数表达式，要求学生较强的逻辑分析能力，计算能力，画图
能力，属于中档题型．42．如图，在 中， ，以AB为直径的 交BC于点D．过点D作 的切线DE，交
AC于点E，AC的延长线交 于点F．
（1）求证： ．
（2）若 ， ．求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，于是得到∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，推出四边形ODEH是矩形，
根据矩形的性质得到OD=EH，OH=DE．由垂径定理得到AH= AF=8，设AE=x．求得OH=DE=8-x，
OA=OD=HE=AH+AE=8+x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
∴AH= AF=8，
设AE=x．
∵DE+AE=8，
∴OH=DE=8-x，OA=OD=HE=AH+AE=8+x，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即82+（8-x）2=（8+x）2，
解得：x=2，
∴OA=8+2=10．
∴⊙O的半径为10．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题时，利用了方程思想，
属于中档题．
43．如图， 是 外接圆的直径，O是圆心， 的平分线交 于点D．
（1）若 的半径为5， ，求 ．（2）若 ，求 ．
（3）探究，直接写出三条线段 之间的数量关系．
【答案】（1）8；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，利用勾股定理计算即可；
（2）过点D作DE⊥DC，交CB的延长线于E，连接AD，BD，证明△BDE≌△ADC，得到AC=BE，求出
CE，利用等腰直角三角形的性质得到 ，即可求出CD；
（3）根据（2）中过程可知 ，可得结论．
【详解】
解：（1）∵圆O的半径为5，AB为直径，
∴AB=10，∠ACB=90°，
∵AC=6，
∴BC= =8；
（2）过点D作DE⊥DC，交CB的延长线于E，连接AD，BD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵DE⊥DC，
∴∠E=45°，
∴DE=DC，
∵∠CDE=∠CDB+∠BDE=90°，∠ADB=∠CDB+∠CDA=90°，
∴∠BDE=CDA，
∴△BDE≌△ADC（ASA），
∴AC=BE，
∴CE=CB+BE=AC+BC=10，
在△CDE中， ，即 ，
∴CD= ；
（3）由（2）可知：
，
即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是掌握圆的基本知识，构造辅助线得到等腰直角三角形，将线段的关系进行转化．
44．如图， 为 的直径， ， 为 上不同于 ， 的两点，过点 作 的切线 交直线
于点 ，直线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，且 ，求 的半径．【答案】（1）见解析；（2） 直径为3．
【分析】
（1）连接 ，等腰 的一个外角 等于 ，由垂直证明两直线平行，从而证明
= ，从而得证．
（2）先证 ，设半径为 ，由相似线段成比例关系，解方程即可求得半径．
【详解】
（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2） 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵，
∴ ，
∴ ，
解得，
∴ 直径为3.
.
【点睛】
本题考查圆的综合题，考查了圆的性质，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值
等，要求学生能熟练运用所学知识解答，形成数学解题能力, 熟练掌握并运用知识是解题的关键．
45．如图， 是 的直径， 过 的中点D， 切 于点D，交 于点E．
（1）求证： ．
（2）若 的半径为5， ，求 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接OD，由切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE=90°，根据三角形的中位线定理得到OD∥BC，于是得到结论；
（2）过B作BF⊥OD，推出四边形DFBE为矩形，得到DF=BE=2，于是得到结论．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥BC；
（2）过B作BF⊥OD，
∵BF⊥OD，
∴∠DFB=90°，
∴∠DFB=∠DEB=∠ODE=90°，
∴四边形DFBE为矩形，
∴DF=BE=2，
∴OF=OD-DF=5-2=3，
∴DE=BF=4．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
46．已知如图， ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点
M，N．点E是半△圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．（1）求证： EBA≌△DBC．
△
（2）当ED＝2 时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出 BCD面积的最大值．
【答案】（1）△见解析；（2）BE与半圆A相切，理由见解析；（3） BCD面积的最大值8．
【分析】 △
（1）根据等边三角形的性质及旋转的性质证得BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，由此即可判定
△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，证明△EBD是等边三角形，即可得BE＝ED＝2 ，再证明BE2 +AE2 ＝AB2
，根据勾股定理的逆定理即可得∠BEA=90°，由此即证得BE与半圆A相切；
（3）当CD BC时，△BCD的面积最大，由此即可求得 BCD面积的最大值．
【详解】 △
证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA=BC ，
由旋转可得∠EBD＝60°，BE=BD，
∴∠EBA+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
∴∠EBA＝∠DBC ，
在△EBA 和△DBC中，
∵BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，
∴△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，理由：
在△EBD 中，
∵∠EBD＝60°，BE=BD，
∴△EBD是等边三角形，∴BE＝ED＝2
∴BE2 =60，
∵AE2 =22 = 4，AB2 = 82=64
∴BE2 +AE2 ＝AB2 ，
∴∠BEA=90°
∴BE与半圆A相切；
（3）由（1）知，△EBA≌△DBC，
∴CD=AE=2，
又∵BC=AB=8，
∴当CD BC时，△BCD的面积最大，此时 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质及应用，涉及三角形全等的判定及性质、圆的切线判定、三角形面积等知识，
解题的关键是掌握旋转的性质．
47．如图，已知 的直径 ，点 是 上一个动点（不与点 、 重合），切线 交 的
延长线于点 ，连结 、 、 ．
（1）请添加一个条件使 ，并说明理由．
（2）若点 关于直线 的对称点为 ．
①当 ______度时，四边形 为菱形；
②当 ______时，四边形 为正方形．【答案】（1）如添加条件 ．（答案不唯一），理由见解析；（2）①30；② ．
【分析】
（1）如添加条件 ，由已知∠ACB=∠OCD=90°,且易得△OBC是等边三角形，可得OC=BC，
，从而可证得结论成立；
（2）①当∠CDB=30°时，连接CE，根据CD是切线，可得∠CDB=∠CAB=30°，从而可得AC=CD，根据对
称的性质可得CD=ED，AC=AE，从而四边形ACDE的四边相等，即知四边形ACDE是菱形；
②由已知得OA=OC=1,若四边形OCDE是正方形，则△OCD是等腰直角三角形，从而CD=OC=1，故OD=
，从而可得AD的长．
【详解】
（1）如添加条件 .（答案不唯一）
∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ．
∴ ．
∵OA=OC，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ．∴ ．
（2）①当∠CDB=30°时，如图，连接CE，根据对称的性质，则CD=ED，AC=AE，∠EDB=∠CDB=30°．
∵OC⊥CD，
∴∠COD=90°-∠CDB=60°．
∵OC=OA，
∴∠C AB= ∠COD=30°，
∴∠CDB=∠CAB=30°，
∴AC=CD，
∴AC=CD=ED=AE．
∴四边形ACDE是菱形．
故答案为：30；
②∵AB=2，
∴OA=OC=1．
若四边形OCDE是正方形，则△OCD是等腰直角三角形
∴OD= ，
∴AD=OD+OA= ．
故答案为: ．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质，切线的性质，菱形、正方形的判定等知识，熟练掌握并运用这些知识是解决本
题的关键．
48．如图，在 中， ，点 是边 的中点，点 是边 上的点，以 为圆心，为半径的 交 ， ， 于点 ， ， ，且点 是弧 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为3．
【分析】
（1）连接GF交OE于点M，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由圆周角定理及垂径定理得出
∠DGM=∠GME=90°，得出四边形GMED是矩形，则可得出答案；
（2）设OE=OF=x，则OB=x+2，由勾股定理可求出答案．
【详解】
（1）证明：连接GF交OE于点M，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
又∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AGF=∠DGF=90°，∵点E是弧GF的中点，
∴GF⊥OE，
∴四边形GMED是矩形，
∴∠MED=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设OE=OF=x，则OB=x+2，
∵∠OEB=90°，
∴OE2+BE2=OB2，
∴x2+42=(x+2)2，
解得x=3，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】
本题考查了切线的性质为和判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能灵活
运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
49．如图，A，B是 上两点，且 ，连接OB并延长到点C，使 ，连接AC．
（1）求证：AC是 的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交 于点F，G， ，求GF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由
此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC= ，根据含30°的直角三角形的性质
得出DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
【详解】
（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC= = =
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN= DC=∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2 = =2
【点睛】
本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
50．如图， 是 的直径， 是圆上一点，弦 于点 ，且 ．过点 作 的切
线，过点 作 的平行线，两直线交于点 ， 的延长线交 的延长线于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，AC．易证△ACD为等边三角形，所以∠D=∠DCA=∠DAC=60°，从而可知∠DCO=
∠DCA=30°，由于FG∥DA，易知∠OCF=∠DCF-∠DCO=90°，所以FG与⊙O相切．（2）求出AG=2 ，证明△ADE≌△GCE（AAS），求出AE= ，由勾股定理可求出EF的长．
【详解】
解：（1）如图，连接 ， ．
∵AB是 的直径，弦 于点 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ 与 相切；
（2）解：∵ 与 相切，
∴ ．
∵ 与 相切∴
∵
∴
∵ ，即
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌
握切线的判定与性质是解答本题的关键．
51．如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 是 的中点， 交 的延
长线于点 ．
（1）求证：直线 与 相切；（2）若 的直径是10， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接OD，由点D是 的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；
（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．
【详解】
解：（1）连接OD交BC于点F，如图，
∵点 是 的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE//BC
∴OD⊥DE
∵OD是 的半径
∴直线 与 相切；
（2）∵AC是 的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC
∴∠OFC=90°
∴OD//AB∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴ ．
【点睛】
此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．
52．如图， 是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，E为 延长线上一点，且
与 交于点H，与 交于点F．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若直径 的长为 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，根据圆周角定理得到∠AOE＝2∠C，进而证明∠CAE＝∠AOE，得到
∠EAO＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠C，根据正切的定义求出
，令 长为 ，则 长为 ，根据勾股定理求出AD，再根据弧、弦之间的关系定理解答即可．
【详解】
（1）证明：∵D是 的中点，
∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，
∴∠E＋∠CAE＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E＋∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠C， ，
∴ ，
令 长为 ，则 长为 ，
在 中，
∵AB＝10，
∴ ，解得： ，即AD＝6，
∵D是 的中点，
∴CD＝AD＝6．
【点睛】
本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半
径的直线是圆的切线是解题的关键．
53．如图，已知 ， ， 为 的直径，斜边 交 于点 ， 平分
， 于点 ， 的延长线与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）连结 ，若半径为3， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）利用等角的余角相等和对顶角相等的性质得到 ，再利用等角对等边的性质即可证明；
（2）利用圆中直径所对的圆周角是直角，得到 ，利用勾股定理求出 ，在 和
中，设 ，利用 列方程，求解 ．
【详解】
（1）证明： 于点
，平分
又
（2） 为 的直径，斜边 交 于点
，
设
在 中，
在 中，
解得 ，即 ．
【点睛】
本题考查圆的基本性质和直角三角形的性质．圆的直径所对的圆周角是直角．直角三角形的两锐角互余，
以及在直角三角形中利用勾股定理求解线段的长度．
54．如图，在 中， ，AE 平分 交BC于点E，点D在AB上， ．
是 的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是 的切线；
（2）若 的半径为5， ，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量
代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相
等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；
（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理
求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．
【详解】
解：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；
（2）过E作EG⊥AB于点G，在△ACE和△AGE中，
，
∴△ACE≌△AGE（AAS），
∴AC=AG=8，
∵圆O的半径为5，
∴AD=OA+OD=10，
∴OG=3，
∴EG= =4，
∴△ADE的面积= =20．
【点睛】
此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，切
线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．
55．如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A，B，C三点的⊙O相切
（1）求证：点A平分 ；
（2）延长DC交⊙O于点E，连接BE，若BE＝4 ，⊙O半径为13，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）连接OA交BC于F．只要证明OF⊥BC即可解决问题．
（2）连接OB．连接OA交BC于F．首先证明BE＝AB，设OF＝x，则AF＝13﹣x，可得132﹣x2
，解方程可求出OF，则BF可求出，由垂径定理可得结果．【详解】
（1）证明：如图1，连接OA交BC于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CFO，
∵AD是 O的切线，
∴∠OAD⊙＝90°，
∴∠OFC＝90°，
∴OF⊥BC，
∴OA平分 ，
即 ．
（2）如图2，连接OB．
∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴ ，
∴BE＝AB＝4 ，
∵OA⊥BC，
∴AB2﹣AF2＝BF2，OB2﹣OF2＝BF2，设OF＝x，则AF＝13﹣x，
∴132﹣x2 ，
解得：x＝5，
∴ 12，
∴BC＝2BF＝24．
【点睛】
本题考查切线的性质、平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题．
56．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线
于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝ ，求劣弧BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，∴CD=BD， ………………………………………………1分
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB， ………………………………………2分
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，…………………………………3分
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切． …………………………………………………………………4分
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R－2，OB=R，
在Rt△OBD中，BD= BC= ．…………………5分
∵OD2＋BD2=OB2，∴ ，
解得R=4．……………………………………………………6分
∴OD=2，OB=4，
∴cos∠BOD= ．
∴∠BOD=60°， ………………………………………………………………………7分
又OD⊥BC，OB=OC，得∠BOC=120º，
∴劣弧BC= ．…………………………………………………8分
57．如图，在 中， 于点O， 于点E，以点O为圆心， 的长为
半径作圆，交 于点F．（1）求证： 是 的切线；
（2）已知点H为 上一点， 的半径为 ，求弦 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）作 于 ，利用等腰三角形的性质得 平分 ，再根据角平分线性质得 ，
然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作 于 ，交圆于G，根据垂径定理和已知易得 ，然后解三角形即可得
出结果．
【详解】
解：（1）证明：作 于 ，如图1，， 于点 ，
平分 ，
， ，
，
是 的切线；
（2）作 于 ，交圆于N，如图2，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经
过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等
腰三角形的性质和垂径定理问题．
58．如图1， 是 的内接三角形，点A在弧 上运动．
（1）若 且 ．
① 的半径为_______；②设点A到 的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值
范围．
（2）如图2， 是 的一个外角， 、 的平分线分别交 于点E、F．若连接
E、F，则 与 有怎样的关系？请说明理由．
【答案】（1）①2；② ， ；（2） 垂直平分 ；理由见解析．
【分析】
(1) ①连接OB,OC，根据圆心角与圆周角关系定理，得到∠BOC=60°，得到 BOC是等边三角形，半径可
求； △
②根据阴影部分的面积等于 计算即可；
（2）利用直角所对的弦是直径，垂径定理的推论证明即可
【详解】
（1）①连接OB,OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵BC=2，
∴OB=2，
∴ 的半径为2．
故答案为：2；②过点O作EF⊥BC，垂足为F,交圆于点E，
则BF= =1，OF= = ,
根据题意，得 =x， = ,
= ,
阴影部分的面积为： =x+ - ；
当点A运动到点E时x最大，最大为OE+OF=2+ ,
∴x的取值范围是 ；
（2） 垂直平分
∵AE、AF分别平分∠BAC、∠BAD，
∴∠EAF=90°，
∴EF是 的直径．连接BE、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∵EF是圆的直径，
∴EF垂直平分BC．
【点睛】
本题考查了圆心角与圆周角关系定理，直角所对的弦是直径，垂径定理及其推论，勾股定理，扇形的面积，
拱形的面积，正确进行图形分割，熟练运用圆的性质是解题的关键．
59．已知，在 中点， 在 上，点 在 上， 与 交于点 ，
．
（1）如图，若 ， ， ，则 ____________︒；（直接写出答案）
（2）如图，若 ，求证： ；（3）如图，若 ， ，点 为 的中点，则 的最小值为_______________．（直
接写出答案）
【答案】（1）26；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）证明 ，则 ，进而求解；
（2）在 上取点 使 ，证明 ，即可求解；
（3）当点 、 、 三点共线时， 的长度最小，进而求解．
【详解】
解：（1）∵ ，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，则 ，
故答案为：26；
（2）在 上取点 使 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）作 为外接圆 ，过点 作 于点 ，连接 、 ，
则 ，则 ，则 ，
在 中， ， ，则 ， ，
取 的中点 作圆 ，交 于点 ，设圆 的半径为 ，则 ，
∵ ，故点 在圆 上，
当点 、 、 三点共线时， 的长度最小，
过点 作 于点 ，
则 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本知识、三角形全等等，综合性强，难度较大．
60．平面直角坐标系 中，我们把两点 ， 的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值
之和叫做点 与点 之间的勾股值，记为 ，即 ；（1）已知，点 ， ， ，直接写出 ， 的值；
（2）若点 在一次函数 的图象上，且 ，求点 的坐标；
（3）已知，点 是满足条件 的所有 点所组成图形上的任意一点， 是半径为 的 上的
任意一点， 表示 的最小值．若 ，直接写出半径 的取值范围．
【答案】（1） =4， =6；（2）点D坐标：（ , ），（ , ）；（3） 或
．
【分析】
（1）根据题意， ；将 ， ， 代入即可得到
， 的值．
（2）由题意得点 在一次函数 的图象上,则可设点D（ , ）．可得
．再进行分类讨论求出点a,即可得到点D的坐标；（3） 的轨迹是如图所示的正方形MNPQ，因为 ，所以，当 与正方形
MNPQ内切或外接时︰ ，再加上
，可得到如解析的圆环即为所求，再求出圆环半径即可．
【详解】
解：（1）由题意得：当 ， 时， ；
所以，当 ， 时， ；
当 ， 时，
．
综上所述， =4， =6．
（2）点 在一次函数 的图象上,则可设点D（ , ）．
．
当 ，即 ， ，解得： ，此时，D（ ,
）．
当 ，无解．当 ，即 ， ，解得： ，此
时，D（ , ）．
当 ，即 ， ，解得： ，此时，
D（ , ）．
综上所述，符合要求的点D坐标：（ , ），（ , ）．
（3） 的轨迹是如图所示的正方形MNPQ，
因为 ，
所以，当 与正方形MNPQ内切或外接时︰ ，如图所示:
当 ，如图所示:由 ，知点F的轨迹为如图所示的两个圆环:
由题意得： ， ，则外环半径范围： ．
因为当 是正方形MNPQ内切， 时，可得： ,计算可得： ．
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查一次函数、绝对值的性质和直角坐标系中圆的知识应用，解题的关键是正确理解题意给出的公式，
利用数形结合的方法解答．
