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第09讲 导数的运算及切线方程
【知识点总结】
一、基本概念
1、导数的概念
Δy
设函数
y=f (x)
在
x=x
0附近有定义，如果
Δx→0
时，
Δy
与
Δx
的比
Δx
（也叫函数的平均变化
Δy
Δx y=f (x) x x
率）有极限，即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数 在 0处的导数，记作
lim Δy lim f(x +Δx)−f(x ) lim f(x)−f(x )
f' (x 0 ) 或 y' | x=x 0 . 即 f' (x 0 )= Δx→0 Δx = Δx→0 0 Δx 0 = x→x 0 x−x 0 0 .
2、导数的几何意义
y=f (x) x f' (x ) y=f (x) P(x ,f (x )) PT
函数 在 0处的导数 0 ，表示曲线 在点 0 0 处的切线 的斜率，即
tanα=f' (x 0 ) ，其中α 为切线的倾斜角，如图所示，过点P的切线方程为 y−y 0 =f' (x 0 )(x−x 0 ).
3、导数的物理意义:设 t=0 时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离
S=S(t).
在
t
0
~t
1时刻，
S(t )−S(t )
1 0
,
S(t )−S(t ), t −t t t t
车走了 1 0 这一段时间里车的平均速度为 1 0 当 0与 0很接近时，该平均速度近似于 0
t ~t S' (t ) t
时刻的瞬时速度.若令 1 0，则可以认为 ，即 0 就是 0时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
y=f (x) y' =f' (x)
y=c y' =0
y=xn(x∈N¿) y=nxn−1
，n为正整数
y=xα (x>0,α≠0且α ∈Q) y' =αxα−1,α
为有理数y=ax (a>0,且a ≠1) y' =axlnay=log
a
x(a>0且a ≠1.x>0)
y' =
1
xlna
y=sinx y' =cosx
y=cosx y' =−sinx
注：
三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设 均可导，则
（1） （2）
（3） （4）
注：
四、复合函数的导数
复合函数 的导数与函数 的导数之间具有关系 ，该关系用语
言表述就是“ 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积”，也就是先把 当作一个整体，
把 对 求导，再把 对 求导，这两者的乘积就是复合函数 对 的导数，
即 .
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，则曲线 在点 处
的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．20例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方
程为___________.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则曲线 在点
处的切线方程是_______________________．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 .
（1）求曲线S在点 处的切线方程；
（2）求过点 并与曲线S相切的直线方程.【技能提升训练】一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离 （米）与时间 （秒）的关系为
，则该物体在运动前2秒的平均速度为（ ）
A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D． 米/秒
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 可导，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，若 ，则 （
）
A．36 B．12 C．4 D．2
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 的图象如下所示， 为 的导函数，根据图
象判断下列叙述正确的是（ ）
A． B．C． D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[
)，则a=（ ）
A． B． C． D．3
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A．4 B． C．2 D．
11．（2022·全国·高三专题练习）曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D． 或
12．（2022·全国·高三专题练习）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小
值为（ ）
A．1 B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习（文））曲线 在 处的切线如图所示，则
（ ）A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习（文））直线 与曲线 相切于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习（文））直线 是曲线 的一条切线，则实数k的值为（
）A． B． C．1 D．
16．（2022·全国·高三专题练习）动点P，Q分别在函数 ， 的图象上运动，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的一
条切线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线方程是
，那么 （ ）
A．2 B．1 C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处
有相同的切线，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在区间 上的函数 ， ，若
以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．0
21．（2022·全国·高三专题练习（理））设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线的倾
斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为
A． B． C． D．22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ，…， ，
，则 （ ）A． B． C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习）设 ，且 ，则常数 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人
体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度 （单位： ）随时间
（单位： ）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在 这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在 ， 两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
26．（2022·全国·高三专题练习）若直线 是函数 图像的一条切线，则函数 可以是
（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上的平均变化率为 ，则 在区间
上的平均变化率为______．29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处的瞬时变化率为 ，则
______．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 所有的切线中斜率最小的切线方程
为_________.
31．（2022·全国·高三专题练习）曲线 的一条切线过点 ，则该切线的斜率为_______．
32．（2022·浙江·高三专题练习）曲线 上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是
________．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，则曲线 在点
处的切线方程是______．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________
35．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，若直线 过点 ，并且与曲线
相切，则直线l的方程为______________．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线与直线
平行．则 ______．
37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若直线 函数
， 的图象均相切，则 的值为________.
38．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象在点P处的切线方程是： ，若点P的横坐
标为5，则 ______.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线与直线
垂直，则a的值为___________40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处的切线方程为
，则 ___.
41．（2022·全国·高三专题练习（理））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代
曲”的近似计算，用正 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，这是我国最
优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似
代替在切点附近的曲线来近似计算．设 ，则 ________，其在点 处的切线方程为
________．42．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e，f′（﹣1）＝ ，则a+b＝__．
四、解答题
43．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：
（1）y=x（x2 ）；
（2）y=（ 1）（ 1）；
（3）y=xtanx；
（4）y=x﹣sin cos ；
（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.
44．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
45．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数
（1） ；
（2）
（3） ；
（4）46．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 .
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点 处的切线方程.
47．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））已知函数 的图象在
处的切线方程为 ．求实数 ， 的值；
48．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时，曲线 存在垂直于
轴的切线，求 的取值范围.
49．（2021·福建晋江·高三阶段练习）已知曲线 上一点 ，过点 作直线 ．
（1）求与曲线 相切且以 为切点的直线 的方程；
（2）求与曲线 相切且切点异于点 的直线 的方程．
