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第08讲 函数的应用
【知识点总结】
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
四、二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 的近似
解就是求函数 零点的近似值.
五、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）—
（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为
（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则函数 的零点为（ ）
A． B． ，0 C． D．0
例4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 的部分函数值如下表所示：
x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625
0.6321 0.2776 0.0897
那么函数 的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度 （单位： ）与
时间 （单位： ）的关系式为 ，其中 为 时的药物浓度， 为常数.已知给某患者注射某
剂量为 的药物后，测得不同时间药物浓度如下：
1.0 2.0
109.78 80.35则该药物的 的值大约为（ ）
A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.356
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 经过点 ，则函数 的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的零点为（ ）
A． B． ，0 C． D．0
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点之和为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若函数 存在零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 实数根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 是函数 的一个零点，若，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：
1 2 3 4 5
1.4 3.5 5.4 －5.5 －6.7
则方程 必存在有根的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程 的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则下列区间中， 的零点所在的区间
是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 的零点位于区间 ， 上，则
（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）
15．（2022·江苏·高三专题练习）若函数 的两个零点分别在区间 和区
间 内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．16．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于x的方程 有实数解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ( )的一个零点附近的函数值的参考数
据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程 的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
18．（2022·浙江·高三专题练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·浙江·高三专题练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： ）满足函数
关系 （ 为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在
22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
20．（2022·全国·高三专题练习）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能
在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令
人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据
历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间 （单位：天），增加总分数 （单位：分）的函数模型： ， 为增分转化系数， 为“百日冲
刺”前的最后一次模考总分，且 ．现有某学生在高考前 天的最后一次模考总分为 分，
依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（ ）A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
21．（2022·全国·高三专题练习）为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始
时刻的病例数为N ，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，
0
在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N (1+K)t，若N =2，K=2.4，则利用此模
0 0
型预测第5天的病例数大约为（ ）(参考数据：log 454≈18，log 454≈7，log 454≈5)
1.4 2.4 3.4
A．260 B．580 C．910 D．1200
二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列区间中含 零点的是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 若函数 恰有2个
零点，则实数m可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的零点在区间 上，则k的值为
___________.
25．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线 与曲线 有四个交点，则a的取值范围
是___________．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ ，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数
根，则实数k的取值范围是___________.
27．（2022·全国·高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．
28．（2022·浙江·模拟预测）我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子･本经训》和
《山海经･海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500
光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真
空中沿直线经过一年时间的距离，光速 ；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字 的数量级是3）.29．（2022·全国·高三专题练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温
度是T，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－T＝ ，其中T 称为环境温度，h称为
0 a a
半衰期，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这
杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________ min．
