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第01讲 集合
【知识点总结】
一、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其
他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如 ．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集 或 一正整数集 C一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作 )和不属于(记作 )两种．
空集：不含有任何元素的集合，记作 ．
2．集合与集合之间的关系
（1）包含关系．
子集：如果对任意 ，则集合 是集合 的子集，记为 或 ，显然 ．规
定： ．
（2）相等关系．
对于两个集合 与 ，如果 ，同时 ，那么集合 与 相等，记作 ．
（3）真子集关系．对于两个集合 与 ，若 ，且存在 ，但 ，则集合 是集合 的真子集，记作
或 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表 所示．
表
交 A B
集
并
A B
集I
补
集 A
1．交集
由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合，叫做 与 的交集，记作 ，即
．
2．并集
由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，叫做 与 的并集，记作 ，即
．
3．补集
已知全集 ，集合 ，由 中所有不属于 的元素组成的集合，叫做集合 相对于全集 的补集，记
作 ，即 ．
四、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
， ， ， ， ．
（2）并集的运算性质．
， ， ， ， ．
（3）补集的运算性质．
， ， ， ．
补充性质： ．
（4）结合律与分配律．结合律： ．
分配律： ．
2．由 个元素组成的集合 的子集个数
的子集有 个，非空子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
3． ．
【典型例题】例1．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例3．（2021·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 （
）
A．－1 B．－1或0 C．±1 D．0或±1
例4．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
例5．（百校联盟2022届高三上学期12月联考数学（理科）试题）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
例6．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则集合 可以为
（ ）
A． B．
C． D．例7．（2021·全国全国·模拟预测）已知全集 ， ， ，则Venn图中
阴影部分所表示的集合为（ ）A． B． C． D．
例8．（2021·全国·高一课时练习）若 、 、 且 、 ，集合 ，则用列举法可
表示为______.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·北京育才学校高三阶段练习）已知全集 ，集合 ，则 （
）
A． B．
C． D．
2．（2021·广东·华南师大附中模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则（
）
A． B． C． D．
4．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
6．（2021·江苏·高三阶段练习）集合 ， }，则 （ ）
A．(－∞，3] B．[1，2) C．[1，2] D．(－∞，1]
7．（2021·全国·高三阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或8．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知集合 ，则 （
）
A． B． C． D．
9．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]
10．（2021·福建·厦门一中高三阶段练习）设 ，已知两个非空集合 ， 满足 则（
）
A． B． C． D．
11．（2021·四川南充·一模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·北京·北大附中高三阶段练习）已知集合 ， ．若 ，则a的值可以
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知集合 ， ，则 ，
的关系可以是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））设集合 ，若 ，则
实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）已知集合 且 ，定义集合，若 ，给出下列说法：① ；② ；
③ ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、多选题
16．（2021·重庆·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则关于 的表达方式正确的有（
）
A． B．
C． D．17．（2021·全国·高三专题练习）设全集 ，集合 ， ，则（
）
A． B．
C． D． 或
18．（2021·江苏省天一中学高三阶段练习）已知集合 ，集合 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．(0，0)∈B B．A B={0，1} C．B=[0，+∞) D．B A
19．（2021·重庆市第七中学校高三阶段练习）已知集合 ，集合 ，集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）设 ， ，若
，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
21．（2021·江苏省南菁高级中学高三阶段练习）已知 ､ 均为实数集 的子集，且 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·广东·高三阶段练习）已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则
a的取值有（ ）A．-2 B．-1 C．0 D．1
23．（2022·全国·高三专题练习）给出下列关系，其中正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·重庆市开州中学高三阶段练习）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．C．
D．
25．（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
26．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）设集合A {a|a2–a–2＜0，a∈Z}，则A的真子
=
集共有_________个．
27．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知集合 ，则集合 的
非空真子集个数为______．
28．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是___________.
29．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则
___________.
30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则
___________；
31．（2020·上海市松江二中高三阶段练习）已知集合 ， ，且 ，则实
数 的取值范围是__________.
32．（2022·上海·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，则实数
m的取值构成的集合为___________.
33．（2021·上海闵行·一模）已知集合 ，若 ，则 ___________.34．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）某班有 名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参
加一个兴趣小组的同学有 人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有 人，同时参加数学和英语兴趣小
组的同学有 人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有 人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人
___________.
35．（2021·上海市七宝中学高三期中）已知集合 ， ，则 _______36．（2020·江苏南通·模拟预测）已知集合 ， ，则集合 的子集的个数为
________．
