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第03讲 函数的概念
【知识点总结】
一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与
它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中f
2015
(x)叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确
定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 y＝f（a）或 y|x=2，所有函数值构成的集合
叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数
的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，
就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两
点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；
（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 ，
再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数 的表达式求 的解析式的问题，令 ，解出
，然后代入 中即可求得 ，从而求得 ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将 右端的代数式配凑成关于 的形式，进而求出 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的
变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
则 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【详解】
根据题意，函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
则 为常数，设 ，则 ，
则有 ，解可得 ，则 ，故 ；
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若实数 满足 ，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】
由题意可得 的定义域为 ，
在 上单调递增， 在 上单调递增，
若 ，所以 ，可得 ，
由 可得 ，解得： ，
所以 ，
故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的 值域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】
令 ，则 且
又因为 ，
所以 ，所以 ，
即函数的 值域为 ，
故选：B.
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子 可表示自变量为 、因变量为 的函数
B．函数 的图象与直线 的交点最多有 个
C．若 ，则
D． 与 是同一函数
【答案】BCD
【详解】
对于A选项，对于函数 ，有 ，此不等式组无解，A错；
对于B选项，当函数 在 处无定义时，函数 的图象与直线 无交点，
当函数 在 处有定义时，函数 的图象与直线 只有 个交点，
所以，函数 的图象与直线 的交点最多有 个，B对；对于C选项，因为 ，则 ，故 ，C对；
对于D选项，函数 与 的定义域均为 ，且对应关系相同，
故 与 是同一函数，D对.
故选：BCD.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝ x；②f：x→y＝ x；③f：x→y＝ x；④f：x→y＝ .
【答案】③
【详解】
①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时， ，所以③不是函数．
故答案为：③
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为______．
【答案】
【详解】
依题意 ，
所以 的定义域为 .
故答案为：
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 的定义域为 ，求函数 的定义域；
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域；
（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．
【详解】
（1）∵ 中的 的范围与 中的x的取值范围相同．
∴ ，
∴ ，
即 的定义域为 ．（2）由题意知 中的 ，
∴ .
又 中 的取值范围与 中的x的取值范围相同，
∴ 的定义域为 ．（3）∵函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
∴ 的定义域为 ．
又 ，即 ，
∴函数 的定义域为 .
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f( ＋1)＝x＋2 ；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【详解】
(1)(方法1)(换元法)：设t＝ ＋1， ，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1
＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(方法2)(配凑法)：∵x＋2 ＝( )2＋2 ＋1－1＝( ＋1)2－1，
∴f( ＋1)＝( ＋1)2－1( ＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.
(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y= ，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝
【答案】B【分析】
根据函数的定义，要求集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，对选项逐一分析得到结果.
【详解】
A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，
C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，
D中，M＝R，N＝R，f：x→y＝ ，
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
故选：B．
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足： 的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：A中 ，B中 ，C中 ，
D中
考点：函数关系判断
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝ 的定义域是（ ）
A． B． C． D． ．
【答案】A
【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】依题意 ，
所以 的定义域为 .
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y 的定义域为（ ）
A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）
【答案】B
【分析】
解不等式组 即得解.
【详解】
解：由题意得 ，
解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数 的定义域以及对数的真数为正数、分母不为零可得出关于实数 的不等式组，由此可解得函
数 的定义域.【详解】
已知函数 的定义域为 ，对于函数 ，有 ，即 ，解得 .
因此，函数 的定义域为 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据函数 的定义域为 ，求出 ，再令 即可求求解.
【详解】
因为函数 的定义域为 ，
所以 ，
所以 ，
解得： ，
所以 的定义域为 ，
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
令 ，则 ，代入已知解析式可得 的表达式，再将 换成 即可求解.【详解】
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由当两个函数的定义域相同，对应关系相同时，这两个函数是同一个函数进行分析判断
【详解】
对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不
是同一个函数，所以A错误，
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同
一个函数，所以B错误，
对于C， 两个函数的定义域为 ，而 ，两函数的对应关系不相同，
所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误，
对于D， 两个函数的定义域为 ， ，两函数的对应关系相同，所以这两个函数
是同一个函数，所以D正确，
故选：D
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和【答案】D
【分析】
根据函数的定义域是否相同，定义域相同的情况下取相同值看计算出来的结果是否相同即可.【详解】
A中， 的定义域为 ， 的定义域为 .A错.
B中， 的定义域为 ， 的定义域为 .B错.
C中，函数 与 轴的交点为 ，函数 的零点为 .C错.
D中，函数 ，函数 ，两函数定义域相同值也相同.D正确.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
由 可得 ，得到方程组，可解 ，代入 可求出 .
【详解】
由 ，可得 ，
联立两式可得 ，代入 可得 .
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造
方程组法；（5）特殊值法.
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若实数 满足 ，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D
【分析】
判断 的单调性可得 ，所以 ，求得 的值即可求解.【详解】
由题意可得 的定义域为 ，
在 上单调递增， 在 上单调递增，
若 ，所以 ，可得 ，
由 可得 ，解得： ，
所以 ，
故选：D.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)= ，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63 B．83 C．86 D．91
【答案】C
【分析】
由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】
依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以f(4)+f(-4)=86.
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= 的值域为R，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． ， D．
【答案】C
【分析】运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题．
【详解】
解：根据题意得，（1）若 两段在各自区间上单调递减，则：
；
解得 ；
（2）若 两段在各自区间上单调递增，则：
；
解得 ；
综上得， 的取值范围是 ，
故选 ．
【点睛】
本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法,属于基础题．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，满足对任意x≠x，都有
1 2
0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1) B．a∈[ ,1) C．a∈(0, ] D．a∈[ ,2)
【答案】C
【分析】
根据条件知 在R上单调递减，从而得出 ，求a的范围即可．
【详解】
∵ 满足对任意x≠x，都有 0成立，
1 2∴ 在R上是减函数，
∴ ，解得 ，∴a的取值范围是 ．
故选：C．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ，函数 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别讨论 和 时， ， 与 的大小关系，进而可得 与 的表达式，解方程即可
求解.
【详解】
因为 ，
当 时， ，
此时 等价于 ，
所以 ，解得： ，不满足 ，舍去；
当 时， ，
此时 等价于 ，
所以 ，解得： ，符合题意，
综上可得： ，
故选：A．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B【分析】
根据分段函数的解析式，结合分段条件分 和 两种情况讨论，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
当 时， ，即 ，解得 ；
当 时， ，即 ，此时方程无解，
综上可得，实数 的值为 .
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足 的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据指数函数的单调性得到函数 在 上的单调性，再画出分段函数的图象，利用图象得到不等
式的解集.
【详解】
当 时，函数 单调递减，
则 ，
作出 的大致图象如图所示，
由图象知，要使 ，
须 或 ，
解得 或 ，
即 .故选：D.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则不等式 的解集为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据 在R上单调递增可求解.
【详解】
易得函数 在R上单调递增，
则由 可得 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故选：A．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，若 ，则 的取值范围是（
）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
分别在 和 的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.【详解】
当 时， ， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：A.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】
根据分段函数的定义得出 时函数类似于周期性，这样可把自变量的值变化到 上来，从而求得
函数值．
【详解】
由题意 ．
故选：D．
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，请根据函数定义，下列四个对
应法则能构成从 到 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据函数的概念逐一判断即可.
【详解】
A，集合 中 在集合 中没有对应元素，故A不选.
B，由函数的定义集合 中的每一个元素在集合 中都有唯一元素与之对应，故B可选；C，集合 中 、 在集合 中没有对应元素，故C不选.D，由函数的定义集合 中的每一个元素在集合 中都有唯一元素与之对应，故D可选；
故选：BD
22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数 在区间 上有意义，则实数 可能的取值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
该题可等价于 在区间 上恒成立，分离参数即可求得.
【详解】
函数 在区间 上有意义，
等价于 在区间 上恒成立，
由 得 在区间 上恒成立，所以 ，
故选：AB．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可
能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
设 ，代入 列方程组求解即可.
【详解】
设 ，由题意可知 ，
所以 ，解得 或 ，所以 或 .
故选：AD.
三、双空题
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若 ，则 ________，若方程
有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.
【答案】 或
【分析】
第一空结合分段函数分 和 ，解方程即可求出结果；第二空将方程 有三个不同的实根
转化为函数 与直线 有三个交点，作出函数图象数形结合即可求出结果.
【详解】
若 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，解得 ，
故 或 ；
当 时， 且单调递增，
当 时， ，在 单调递减，在 单调递增，所以f(x)的最小值是 ，
作出函数 的图象，如图所示：若方程 有三个不同的实根，
有3个交点，故
故答案为： 或 ； .
25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若 ，则 ______；若关于 的方
程 有两个不同零点，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
第一空，将 等价于 或 ，解之即可；第二空，作函数 及 图象，根
据图象求实数 的取值范围即可．
【详解】
解方程 ，得 ① ②解①无解，解②得 .
关于 的方程 有两个不同零点等价于 的图象与直线 有两个不同交点．观察图象可知：当 时， 的图象与直线 有两个不同交点，即 ．
故答案为： ； ．
四、填空题
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 ______.
【答案】
【分析】
利用换元法可求 的解析式，将 代入即可求 的值.
【详解】
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：求函数解析式的方法
（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数 的表达式求 的解析式的问题，令 ，解出
，然后代入 中即可求得 ，从而求得 ，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将 右端的代数式配凑成关于 的形式，进而求出 的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的
变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对于任意的实数 ， 满足 ，且
恒大于 ，若 ，则 ____．
【答案】
【分析】
利用赋值法，先令 可得 ，再令 ， ，即可求出 的值．
【详解】
令 ，则 ，解得 或 (舍去).
令 ， ，则 ，因为 ，所以 .
故答案为： ．
28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 ， 分别由下表给出
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1则 的值为________________；满足 的 的值是______________．
【答案】1，2
【详解】
= ；
当x=1时， ，不满足条件，
当x=2时， ，满足条件，
当x=3时， ，不满足条件，
∴ 只有x=2时，符合条件．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 ________．
【答案】-7
【详解】
分析：首先利用题的条件 ，将其代入解析式，得到 ，从而得到 ，从
而求得 ，得到答案.
详解：根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，
需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
_________．
【答案】
【分析】
由函数 的定义域是 ，可求 的值域，即函数 的定义域，再由 ，即可求得
的定义域.【详解】
的定义域是 ，则 ，即函数 的定义域为 ，
令 ，即 ，解得
则函数 的定义域为 .故答案为： .
【点睛】
方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：
（1）已知 的定义域为 ，求 的定义域：求不等式 的解x的范围，即为
的定义域；
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域：由 确定 的取值范围，即为 的定义
域.
（3）已知 的定义域，求 的定义域：先由 的定义域，求得 的定义域，再由
的定义域，求得 的定义域.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 是一次函数，且满足 ，求
_____．
【答案】
【分析】
设 ，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出 和 的值即可求解.
【详解】
因为 是一次函数，设 ，
因为 ，
所以 ，
整理可得 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，故答案为： .
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为_______
【答案】【分析】
令 ，则 ，且 ，将已知条件转化为关于 的表达式，再将 换成 即可求解.
【详解】
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
33．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f( )＝3x，则f(x)＝
_________.
【答案】
【分析】
令 代入等式，解方程组可得答案.
【详解】
因为 ，可得 ，
由 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为：
1.待定系数法，适应于已知函数类型；
2.代入法，适用于已知 的解析式，求 的解析式；3.换元法，适用于已知 的解析式，求 的解析式；
4.方程组法，适用于已知 和 的方程，或 和 的方程.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的解析式是________．【答案】 .
【分析】
将等式 中的 换为 ，建立二元一次方程组求解即可得出 的解析式.
【详解】
将等式 中的 换为 得到：
故有 解得：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求抽象函数的解析式，属于基础题.
35．（2022·全国·高三专题练习）设 是定义在 上的函数，且满足对任意 等式
恒成立，则 的解析式为_____________．
【答案】
【分析】
由题意，把等式中的 替换成 即可求出 ．
【详解】
是定义在 上的函数，且对任意 ， 恒成立，
令 ，得
，
即 ，
，
．
故答案为【点睛】
本题考查函数解析式的求解及常用方法，属于基础题，准确理解恒等式的含义是解决本题的关键．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的值为_________．【答案】3
【分析】
用换元法，令 ，求出 代入后可得 ，然后解 即可．．
【详解】
令 ，则 ，所以 ，
．
故答案为：3．
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
_______________.
【答案】
【详解】
试题分析：当 时， ，∴ ，∴ ；当 时， ，∴ ，∴ ，
综上，使得 成立的 的取值范围是 ．故答案为 ．
考点：分段函数不等式及其解法.
【方法点晴】本题考查不等式的解法，在分段函数中结合指数函数不等式与幂函数不等式，考查学生的计
算能力，属于基础题．利用分段函数，结合 分为两段当 时，根据单调性，解指数函数不等式，
取交集；当 时，解幂函数不等式，取交集，综合取上述两者的并集，即可求出使得 成立的
的取值范围．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的减函数，那么a的取值范
围是___.
【答案】
【分析】
利用函数在 上是减函数，可列出不等式组 ，由此求得a的取值范围.
【详解】由于 是定义在R上的减函数，∴ ，
求得 ，
故答案为： .
五、解答题
39．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 且 ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） .
【分析】
（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；
（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；
（4）变形得 ，即可得解；
（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；（6）令 ，则 ，将函数变形为 ，利用二次函数的性质计算可得；
（7）求出函数定义域， 平方后利用二次函数的性质求值域即可；
（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（10）先进行换元 ，再利用对勾函数单调性求解值域即可.
【详解】
解：（1）分式函数 ，
定义域为 ，故 ，所有 ，
故值域为 ；
（2）函数 中，分母 ，
则 ，故值域为 ；
（3）函数 中，令 得 ，
易见函数 和 都是减函数，
故函数 在 时是递减的，故 时 ，
故值域为 ；
（4） ，
故值域为 且 ；
（5） ，
而 ， ，
， ，即 ，故值域为 ；
（6）函数 ，定义域为 ，令 ，
所以 ，所以 ，对称轴方程为 ，所以 时，函数 ，故值域为 ；
（7）由题意得 ，解得 ，
则 ，
故 ， ， ，
由y的非负性知， ，故函数的值域为 ；
（8）函数 ，定义域为 ， ，故
，即值域为 ；
（9）函数 ，定义域为 ，
故 ，所有 ，故值域为 ；
（10）函数 ，
令 ，则由 知， ， ，
根据对勾函数 在 递减，在 递增,
可知 时， ，故值域为 .
【点睛】
方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾
函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，
判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.
40．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 是二次函数且 ， ，求 ；
（2）已知 ，求 .【答案】（1） ；（2） .
【分析】
(1) 设该二次函数的解析式，然后，利用待定系数法求解其解析式（2）在等式的两边同时以 代x，构造
一个新的等式，然后，求解f（x）即可；
【详解】
（1）∵f（x）为二次函数，
∴f（x）＝ax2+bx+c （a≠0），∵f（0）＝c＝2，
∵f（x+1）﹣f（x）＝x﹣1，∴2ax+a+b＝x﹣1，∴a ，b ，
∴f（x） x2 x+2．
（2）∵ ，①，
∴f（ ）+2f（x） ，②
①-②×2得：﹣3f（x）＝x ，
∴
【点睛】
方法点睛：求解函数解析式的基本方法：待定系数法，换元法和构造方程组，是基础题型．
