文档文本内容
第07讲 比较大小
【知识点总结】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不
相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
， ， ，
根据 在 上是增函数，所以 ，即 .
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有
成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
∵对任意 ， ，均有 成立，∴此时函数为 减函数，
∵ 是偶函数，
∴当 时， 为增函数，，
， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a＝log 3，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
0.5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】A
【详解】
解：∵log 3＜log 1＝0，∴a＜0，
0.5 0.5
∵20.3＞20＝1，∴b＞1，
∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
例4．（2022·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，可得 ，所以 ，所以A不正确；由 ， ，因为 ，可得 ，所以 ，所以B正确；
由函数 为 上的递减函数，因为 ，可得 ，所以C错误；
例如：当 时， ，此时 ，所以D错误.
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ， ，则 ， ， 大小关系正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
；
， ；
．
故选： ．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
， ， ，
所以 ，
故选：C.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，其中 ， ， ，
则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，则 ，同理 ， ，
令 ，则 ，当 ；当 ，∴ 在 上单
调递减， 单调递增，所以 ，即可得 ，又 ， ，
由图的对称性可知， .
故选：C
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则 ， ， 的大小排序为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
方法一：设 .
则 ， ， ，
又 ，所以 ，可得 .
方法二：由 .
得 ，即，
可得 .
故选：D【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ， 试比较 ， ， 的大小为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数和指数函数的单调性将 ､ ､ 与0､1相比较，即可得到结论.
【详解】
解：∵ ，
，
，
∴ ，
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性判断 的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出 、 的大小.
【详解】
因为 ，又因为指数函数的值大于0，所以 ；
因为 在 上单调递增， ，所以 ，
因为 在 上单调递增， ，所以 ，
所以 .故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】
， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的
运算性质，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
对于 ：构造函数 ，由于 ，则函数 在 上为减函数，
又因为 ，则有 ，所以 错误；
对于 ：构造函数 ，由于 ，则函数 在 上为增函数，
又因为 ，则 ，所以B错误；
对于C： ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 正确;
对于D： ，由于 ，所以 ，所以 ，所以 错误；
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习（理））若实数 ， ， 互不相等，且满足 ，则（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
令 ，然后分别求解出 ，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.
【详解】
解：设 ，
则 ， ， ，
根据指数、对数函数图象易得： ， ，
即 ， ，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，b＝log 5，c＝ln3，则（ ）
2
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；
【详解】解： ， ，
所以 ， ， ，所以
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习（理））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由对数函数的性可知 ，再根据三角函数的性质可知 ，由此即可求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
又 ，所以 ，即 .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
运用比差法分别比较 与 ，进而可得结果.
【详解】
因为 ，所以 ；又 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的奇函数 ，当 时， 是增函数，则， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．
【详解】
解： ，
是奇函数，
，
， ，
则 ，
当 时， 是增函数，
，
即 ，
故选：C．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由对数的性质可得 ， ， ，然后利用作差法判断 的大小即可
【详解】
首先 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，所
以 .故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数的单调性得到0<log e<log 3，利用换底公式转化可得到a<b<1，利用指数对数的运算法则将c
2 2
化简得到3为底的幂，可以判定c>1,从而得到a,b,c的大小关系.
【详解】
解：∵0<log e<log 3， ，即ln2>log 2，∴a<b<1，
2 2 3
，
∴a<b<c.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.关于不同底数的对数的大小比较，
常常是利用换底公式转化为同底数的对数进行比较，对于指数，对数式之间的比较大小，常常是利用中间
值，比如常见的1，0等比较大小.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先证明 ,再利用对数函数的运算和单调性求解.
【详解】
因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ．所以 ，因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ，
即 ，故 ，
又因为 ，
所以 ．
故选：C．
【点睛】
方法点睛：实数大小的比较，一般先和0比，再和 比，再和特殊值比较，再利用作差法和作商法比较.
多用到函数的单调性比较.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ， ，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小；
【详解】
解：设 ， ，则 恒成立，∴函数 在 上单调递增，又 ，
， ，∵ ， ，∴ ，
故选：D.
14．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ， ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据指数函数与对数函数的单调比较三个自变量的大小，最后根据函数 的单调性比较三个函
数值的大小即可.
【详解】函数 ， ， ，根据指数函数和对数函数的单调性可得：
， ， ，
因为函数 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 .
故选：B
【点睛】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，
不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数
不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指
数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
15．（2022·全国·高三专题练习（理））设正数 ， ， 满足 ，则下列关系中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，根据指数与对数的关系得到 ， ， ，再根据对数函数的性质判断可得；
【详解】
解：设 ，
所以 ， ， ，
由已知得 ，所以函数 在 上单调递增，
且 ， ， ，
所以 .
故选：D.16．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数与幂函数的图象与性质确定 的范围,对于 需要借助中间数据 进行比较，然后与比较大小即可.
【详解】
函数 在R上是减函数，
，
又 幂函数 在 上单调递增， ，
，所以 ，
而函数 是R上增函数，
，
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先判断 ，然后判断 ，由此确定正确选项.
【详解】
由 ， ，可得 ， ，则有 ，所以 ；
，则 .
故选:C
18．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ， ， ，则 ， ， ，
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数判定 在 上单调递减，所以 ，整理可得
；根据幂函数的单调性可得 ， ，从而得到答案．
【详解】构造函数 ，则 ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
因为 在 上单调递增，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
即 .
故选B.
【点睛】
本题考查比较大小问题，涉及利用导数研究函数的单调性和对数函数，幂函数的单调性及其应用，属中档
题.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的大小关系正确的为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.
【详解】
解： ，
，指数函数 在 上单调递减，，即 ，
又幂函数 在 上单调递增，
，即 ，
，
故选：B.
20．（2021·河南·模拟预测（理））已知 ，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
由 ，得 ， ，所以 ，
整理得 ，故A正确；
由 ，得 ，又 ，所以 ，故B正确.
因为 ， ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 时，等号成立，又 ，
所以 ，D错误．
故选：D
21．（2021·全国·贵阳一中一模（文））已知 ，则 的大小关系为（ ）A． B．
C． D．【答案】A
【分析】
通过构造函数 ， 同除以6可变形得 ，利用导数研究 增减性，即可判断
大小.
【详解】
， ， ，令 ，则 ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减， ，
， ， ，∴ ，
故选：A．
22．（2021·全国全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别用 和 可得 和 ，结合 放缩可比大小，将“ ”化对数，
即可比较a，b，c的大小关系.
【详解】
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，
故选：B．
23．（2021·广东茂名·高三阶段练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（
）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
由于 ， ，故分别对其取以 为底的对数和以 为底的对数，进而比较大小.
【详解】解：因为 ，所以 ，即
因为 ，所以 ，即
所以 ，即 .
故选：A
24．（2021·四川资阳·一模（理））设 ， ， ，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质，比较 的大小即可.
【详解】
由 ，即 ，
又 ，可得 ，即 ，
∴ .
故选：D.
25．（2021·重庆·高三阶段练习）设 ， ， 均为正数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，再根据指数与对数的关系及换底公式得到 ， ， ，然
后进行求解即可．
【详解】
解：因为 、 、 为正数，令 ， ，
则 ， ， ，所以 ， ， ， ， ， ， ，
，，
，
故选：D
二、多选题
26．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
由题知 ，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
由 ，得 ，
则 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 ，故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
27．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用换底公式结合作商法可判断AD选项的正误；利用作商法结合指数函数的单调性可判断B选项的正误；
利用幂函数的单调性可判断C选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为 ， ，则 ， ， ，，所以， ，A对；
对于B选项， ，则 ，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，所以， ，D错.
故选：AC.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
利用幂指对函数的性质比较大小即可.
【详解】
∵ .
∴
即 ，
故 项正确， 选项不正确；
∵
∴ ，
故 选项正确.
故选：AC
29．（2022·全国·高三专题练习）若实数x，y满足 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【分析】
对于A：利用反比例函数的单调性可判断；对于B：由于不能判断 的大小关系，所以不能比较 的大小关系，由此可判断；
对于C：假设 成立，两边平方化简整理得完全平方式，可判断；
对于D：令函数 ，求导，分析其导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可判断.
【详解】
对于A：因为 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以不能判断 的大小关系，所以不能比较 的大小关系，故B
不正确；
对于C：假设 成立，则 ，化简得 在
恒成立，故C正确；
对于D：令函数 ，则 ，又 ，所以 ，所以函数 在 上单
调递增，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：比较代数式的大小关系可运用：1、不等式的性质；2、作差比较法；3、假设不等式成立，运
用分析法得出恒成立的不等式；4、构造合适的函数，运用导函数分析函数的单调性可得出大小关系.
30．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．【答案】ACD
【分析】
由已知，A选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B选项，利用幂函数单调性可判断；C选
项，利用对数函数单调性可判断；D选项，利用反比例函数单调性可判断.
【详解】对于A选项： 在(0,+∞)上单调递增， ，则 ，即 ，
A正确；
对于B选项：函数y=x3在R上递增，则 ，B错误；
对于C选项： ，则ab>1，a+b>2， ，
有 成立，即C正确；
对于D选项： ，而函数 在(0,+∞)上递减，则有 ，即D正确.
故选：ACD
31．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.
【详解】
A选项： 为单调减函数，所以 ；
B选项： 与 ，当 时 ，当 时 ，所以
；
C选项： 在 时 ，而 在 时 ，所以 ；
D选项： 在 上单调递增，所以 ；
故选：BC.
