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第07讲 比较大小
【知识点总结】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不
相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
， ， ，
根据 在 上是增函数，所以 ，即 .
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有
成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
∵对任意 ， ，均有 成立，∴此时函数为 减函数，
∵ 是偶函数，
∴当 时， 为增函数，，
， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a＝log 3，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
0.5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】A
【详解】
解：∵log 3＜log 1＝0，∴a＜0，
0.5 0.5
∵20.3＞20＝1，∴b＞1，
∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
例4．（2022·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，可得 ，所以 ，所以A不正确；由 ， ，因为 ，可得 ，所以 ，所以B正确；
由函数 为 上的递减函数，因为 ，可得 ，所以C错误；
例如：当 时， ，此时 ，所以D错误.
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ， ，则 ， ， 大小关系正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
；
， ；
．
故选： ．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
， ， ，
所以 ，
故选：C.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，其中 ， ， ，
则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，则 ，同理 ， ，
令 ，则 ，当 ；当 ，∴ 在 上单
调递减， 单调递增，所以 ，即可得 ，又 ， ，
由图的对称性可知， .
故选：C
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则 ， ， 的大小排序为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
方法一：设 .
则 ， ， ，
又 ，所以 ，可得 .
方法二：由 .
得 ，即，
可得 .
故选：D【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ， 试比较 ， ， 的大小为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数和指数函数的单调性将 ､ ､ 与0､1相比较，即可得到结论.
【详解】
解：∵ ，
，
，
∴ ，
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性判断 的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出 、 的大小.
【详解】
因为 ，又因为指数函数的值大于0，所以 ；
因为 在 上单调递增， ，所以 ，
因为 在 上单调递增， ，所以 ，
所以 .故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】
， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的
运算性质，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
对于 ：构造函数 ，由于 ，则函数 在 上为减函数，
又因为 ，则有 ，所以 错误；
对于 ：构造函数 ，由于 ，则函数 在 上为增函数，
又因为 ，则 ，所以B错误；
对于C： ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 正确;
对于D： ，由于 ，所以 ，所以 ，所以 错误；
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习（理））若实数 ， ， 互不相等，且满足 ，则（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
令 ，然后分别求解出 ，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.
【详解】
解：设 ，
则 ， ， ，
根据指数、对数函数图象易得： ， ，
即 ， ，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，b＝log 5，c＝ln3，则（ ）
2
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；
【详解】解： ， ，
所以 ， ， ，所以
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习（理））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由对数函数的性可知 ，再根据三角函数的性质可知 ，由此即可求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
又 ，所以 ，即 .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
运用比差法分别比较 与 ，进而可得结果.
【详解】
因为 ，所以 ；又 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的奇函数 ，当 时， 是增函数，则， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．
【详解】
解： ，
是奇函数，
，
， ，
则 ，
当 时， 是增函数，
，
即 ，
故选：C．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由对数的性质可得 ， ， ，然后利用作差法判断 的大小即可
【详解】
首先 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，所
以 .故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数的单调性得到01,从而得到a,b,c的大小关系.
【详解】
解：∵0log 2，∴a1，a+b>2， ，
有 成立，即C正确；
对于D选项： ，而函数 在(0,+∞)上递减，则有 ，即D正确.
故选：ACD
31．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.
【详解】
A选项： 为单调减函数，所以 ；
B选项： 与 ，当 时 ，当 时 ，所以
；
C选项： 在 时 ，而 在 时 ，所以 ；
D选项： 在 上单调递增，所以 ；
故选：BC.
