文档内容
第01讲 集合
【知识点总结】
一、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其
他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如 ．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集 或 一正整数集 C一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作 )和不属于(记作 )两种．
空集：不含有任何元素的集合，记作 ．
2．集合与集合之间的关系
（1）包含关系．
子集：如果对任意 ，则集合 是集合 的子集，记为 或 ，显然 ．规
定： ．
（2）相等关系．
对于两个集合 与 ，如果 ，同时 ，那么集合 与 相等，记作 ．
（3）真子集关系．
对于两个集合 与 ，若 ，且存在 ，但 ，则集合 是集合 的真子集，记作
或 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表 所示．
表
交 A B
集并
A B
集I
补
集 A
1．交集
由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合，叫做 与 的交集，记作 ，即
．
2．并集
由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，叫做 与 的并集，记作 ，即
．
3．补集
已知全集 ，集合 ，由 中所有不属于 的元素组成的集合，叫做集合 相对于全集 的补集，记
作 ，即 ．
四、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
， ， ， ， ．
（2）并集的运算性质．
， ， ， ， ．
（3）补集的运算性质．
， ， ， ．
补充性质： ．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．
2．由 个元素组成的集合 的子集个数
的子集有 个，非空子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
3． ．
【典型例题】例1．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，集合 ，
或 ，
结合集合的交集的概念及运算，可得 .
故选：B.
例2．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题可得 ，因为 ，
所以 .
故选：C.
例3．（2021·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 （
）
A．－1 B．－1或0 C．±1 D．0或±1
【答案】A
【详解】
依题意， ．
由 ，可知： ，又 ，则 .故选：A．
例4．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】
集合 ， ，
又 ∴ 或 ，解得 或 或 ，
当 时， ， ， ，符合题意
当 时， ， ， ，不符合题意
当 时， ， ，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数 的取值的集合为 .
故选：D.
例5．（百校联盟2022届高三上学期12月联考数学（理科）试题）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由 ，即 ， ，
所以 ，由 解得 ，所以 ，所以 .
故选：A
例6．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则集合 可以为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，
A项中， ，不符合；
B项中， ，符合；
C项中， ，不符合；
D项中， ，不符合.
故选：B.
例7．（2021·全国全国·模拟预测）已知全集 ， ， ，则Venn图中
阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题知 ， ，故Venn图中阴影部分所表示的集合 .
故选：C.
例8．（2021·全国·高一课时练习）若 、 、 且 、 ，集合 ，则用列举法可
表示为______.
【答案】
【详解】当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以用列举法可表示为 .
故答案为： .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·北京育才学校高三阶段练习）已知全集 ，集合 ，则 （
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题知 ，再根据集合并集运算求解即可.
【详解】
解：因为 ，
所以
故选：C
2．（2021·广东·华南师大附中模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算可得选项.
【详解】
解：因为集合 ，所以 ，故选：B.
3．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解方程化简集合A，再利用集合间的关系即可判断各个选项.
【详解】
因为集合 ， ，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于CD， ，故C错误，D正确．
故选：D
4．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据集合中元素的特征求得集合 ，再求并集及补集.
【详解】
由题得：
，
， ，因此 ，所以 ，
故选：D.
5．（2021·全国全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由交集与补集的定义求解即可
【详解】
由题可知，集合B中的元素表示直线 上除点 外的点，
因此 中的元素表示直线 以外的点及点 ，
所以 ，
故选：C.
6．（2021·江苏·高三阶段练习）集合 ， }，则 （ ）
A．(－∞，3] B．[1，2) C．[1，2] D．(－∞，1]
【答案】C
【分析】
解一元二次不等式化简集合A，求函数定义域化简集合B，再利用交集的定义直接计算作答.
【详解】
解不等式 得： ，则有 ，
函数 有意义得： ，解得 ，则有 ，
所以 .
故选：C
7．（2021·全国·高三阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】
求出集合 、 ，利用交集的定义可求得结果.【详解】
因为 或 ，
，
因此， .
故选：B.
8．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知集合 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简集合A,B，根据交集、补集运算即可求解.
【详解】
因为集合 ， 或 ，
所以 ，
则 ，
故选：D
9．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]
【答案】C
【分析】
根据对数函数定义域和分式不等式得 ，再解绝对值不等式得 ，最后根
据集合运算求解即可.
【详解】解：集合 ，
，
所以 .故选：C．
10．（2021·福建·厦门一中高三阶段练习）设 ，已知两个非空集合 ， 满足 则（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用Venn图，结合集合的交并补运算求解.
【详解】
如图所示P，Q，
满足 ＝R，
即P Q
故选：B
11．（2021·四川南充·一模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分析可知 ，即可得解.
【详解】
因为 ， ，则 ，因此， .
故选：B.12．（2021·北京·北大附中高三阶段练习）已知集合 ， ．若 ，则a的值可以
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D
【分析】
根据集合的包含关系即可求出答案.
【详解】
∵ ， ，∴当 时，a＞2.
故选：D.
13．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知集合 ， ，则 ，
的关系可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据集合中的元素判断．
【详解】
集合 中只有一个元素，是一对有序数对（或理解为点的坐标），属于点集，而集合 是实数集，两者交
集为空集，
故选：C．
14．（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））设集合 ，若 ，则
实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简 得 ，由 再结合集合的互异性即可求解.
【详解】
，又 ， ，则实数a的取值集合为 ， 时不满足集合的
互异性.
故选：C15．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）已知集合 且 ，定义集合，若 ，给出下列说法：① ；② ；
③ ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】
由集合的新定义结合 ，可得 ，由此即可求解
【详解】
因为集合 且 ，
若 ，
则 中也包含四个元素，即 ，
剩下的 ，
对于①：由 得 ，故①正确；
对于②：由 得 ，故②正确；
对于③：由 得 ，故③正确；
故选：D
二、多选题
16．（2021·重庆·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则关于 的表达方式正确的有（
）
A． B．
C． D．【答案】AB
【分析】
根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】
由题意得， ，
所以 ，故AB正确，CD错误，
故选：AB.
17．（2021·全国·高三专题练习）设全集 ，集合 ， ，则（
）
A． B．
C． D． 或
【答案】BD
【分析】
先通过一元二次不等式的计算可得 ， ，再根据集合的运算逐项计算即可
得解.
【详解】
由题知 ， ，
或 ，
所以 ，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
或 ，故D正确.
故选：BD．
18．（2021·江苏省天一中学高三阶段练习）已知集合 ，集合 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．(0，0)∈B B．A B={0，1} C．B=[0，+∞) D．B A
【答案】CD
【分析】求出函数y=x和函数y= 的值域分别得集合A和集合B，再逐一验证各选项判断作答.
【详解】
依题意， ， ，对于A， ，而 ，A不正确；
对于B， ，B不正确；
对于C，因 ，则C正确；
对于D，因 ，即B A，D正确.
故选：CD
19．（2021·重庆市第七中学校高三阶段练习）已知集合 ，集合 ，集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可
【详解】
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 且 ，得 或 ，所以 或 ，
由 ，得 ，所以 ，
对于A， ，所以A错误，
对于B， ，所以B正确，
对于C，因为 或 ，所以 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，因为 或 ，所以 ，所以D正
确，
故选：BCD20．（2021·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）设 ， ，若
，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．2【答案】ABC
【分析】
根据题意可以得到 ，进而讨论 和 两种情况，最后得到答案.
【详解】
由题意， ，因为 ，所以 ，
若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，因为 ，所以 或 ，则 或 .
综上： 或 或 .
故选：ABC.
21．（2021·江苏省南菁高级中学高三阶段练习）已知 ､ 均为实数集 的子集，且 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
由题可知 ，利用包含关系即可判断.
【详解】
∵
∴ ，
若 是 的真子集，则 ，故A错误；
由 可得 ，故B正确；
由 可得 ，故C错误，D正确.
故选：BD.22．（2021·广东·高三阶段练习）已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则
a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD
【分析】
根据条件可知集合 中仅有一个元素，由此分析方程 为一元一次方程、一元二次方程的情
况，从而求解出 的值.
【详解】
因为集合 仅有 个子集，所以集合 中仅有一个元素，
当 时， ，所以 ，所以 ，满足要求；
当 时，因为集合 中仅有一个元素，所以 ，所以 ，此时 或 ，满足
要求，
故选：BCD.
23．（2022·全国·高三专题练习）给出下列关系，其中正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据元素与集合的关系，空集是任何集合的子集即可判断各选项的正误
【详解】
显然 不是集合 的元素，所以A不正确；
，所以B正确；
，满足元素与集合的关系，所以C正确；
，满足集合与集合的包含关系，所以D正确；
故选：BCD．
24．（2021·重庆市开州中学高三阶段练习）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】BD【分析】
根据集合相等的概念对选项逐个分析判断即可．
【详解】
对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；
对于B，因为 ，所以 ，正确；
对于C，
，
显然 ，故C错误；
对于D，因为
故 ，故D正确.
故选：BD．
25．（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
先化简集合 ，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.
【详解】
因为 ，解不等式得 ，又因为 .
对于A，由题意得 ，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，故D错误；
故选:BC三、填空题26．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）设集合A {a|a2–a–2＜0，a∈Z}，则A的真子
=
集共有_________个．
【答案】3
【分析】
求得集合 元素的个数，由此求得 的真子集的个数.
【详解】
，
由于 ，所以 ，
集合 有 个元素，其真子集的个数为 个.
故答案为：
27．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知集合 ，则集合 的
非空真子集个数为______．
【答案】
【分析】
解不等式 ，确定集合 中的元素个数，利用子集个数公式可得结果.
【详解】
，
故集合 的非空真子集个数为 .
故答案为： .
28．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】解不等式求出集合 ， ，由 可得 ，再结合包含关系即可求解.
【详解】
因为 ，，
由 可得 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
29．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则
___________.
【答案】0
【分析】
根据集合元素的互异性和确定性，以及集合相等的概念，即可求出结果.
【详解】
由题意可知 ，∴ ，
又
∴ ，∴ .
故答案为： .
30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则
___________；
【答案】2
【分析】
结合已知条件，分别讨论 和 时，集合 和集合 是否满足 即可求解.
【详解】
由 ，结合已知条件由下列两种情况：
①若 ，则 ，
此时 ， ，满足 ；
②若 ，则 ，
(i)当 时， ， ，不满足 ；(ii)当 时， ， ，不满足 ，综上所述， .
故答案为：2.
31．（2020·上海市松江二中高三阶段练习）已知集合 ， ，且 ，则实
数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
根据子集定义即可求解.
【详解】
∵集合 ， ，且
∴
故答案为： .
32．（2022·上海·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，则实数
m的取值构成的集合为___________.
【答案】
【分析】
先化简集合M，然后再根据N M，求出m的值，即可求解．
【详解】 ⊆
∵集合 ，
∴集合 ，
∵ ， ，
∴ ，或 ，或 三种情况，
当 时，可得 ；
当 时，∵ ，∴ ，∴ ；
当 ， ，∴ ；∴实数m的取值构成的集合为 ，故答案为：
33．（2021·上海闵行·一模）已知集合 ，若 ，则 ___________.
【答案】{3,4,5}.
【分析】
根据 求出m，进而求出A,B，最后求出并集.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，则 ，于是 .
故答案为： .
34．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）某班有 名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参
加一个兴趣小组的同学有 人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有 人，同时参加数学和英语兴趣小
组的同学有 人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有 人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人
___________.
【答案】
【分析】
以集合 、 、 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，作出图形，设同时参加这三个兴趣小
组的同学有 人，根据已知条件可得出关于 的方程，解出 的值即可.
【详解】
以集合 、 、 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有 人，由图可得 ，解得.故答案为： .
35．（2021·上海市七宝中学高三期中）已知集合 ， ，则 _______
【答案】
【分析】
求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 .
【详解】
因为 ， ，则 ，
因此， .
故答案为： .
36．（2020·江苏南通·模拟预测）已知集合 ， ，则集合 的子集的个数为
________．
【答案】
【分析】
先化简集合 ，再求出交集，即可得出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
因此其子集个数为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查集合子集的个数，考查交集的概念，以及指数不等式的解法，属于基础题型.
