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第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性
【知识点总结】
一、函数奇偶性
定义
设 为关于原点对称的区间），如果对于任意的 ，都有 ，则称函数
为偶函数；如果对于任意的 ，都有 ，则称函数 为奇函数.
性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个
区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，
如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
二、函数的单调性
定义
一般地，设函数 的定义域为 D，区间 ，若对于任意的 ，当 时，都有
（或 ），则称函数 在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间 M为
函数 的一个增（减）区间.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设 且 ，则 在 上是增函数 过单调递增函数图象上任
意不同两点的割线的斜率恒大于零 .
在 上是减函数 .
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
若 为增函数，且 或 ），则 为减函数.若 为减函数，且 或 ），则 为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增
（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函
数.
三、函数的周期性
定义
设函数 ，如存在非零常数T，使得对任何 ，且 ，则函数
为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正
周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个 ，都满足 ；若
是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若 的周期为T，则 也是函数 的周期，并且有 .
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数 有两条对称轴 ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，当 时，
恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 为奇函数，且 ，
当 时， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 的图象关于 对称C．
D．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．（1）确定函数 的解析式；
（2）用定义法证明 在 上是增函数；
（3）解关于x的不等式 ．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-
1 2 1 2 1
f(x)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
2
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有
成立，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）
A．是奇函数， 单调递增 B．是奇函数， 单调递减
C．是偶函数， 单调递减 D．是偶函数， 单调递增
4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 在区间 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）A． B．
C． D．
5．（2022·上海·高三专题练习）函数 ，若满足 恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的增函数，则满足 的实
数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数 ，若 ，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足 的x取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式
≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)
C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]
10．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则
有（ ）
A．f
