文档内容
第04讲 函数的图象
【知识点总结】
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
二、函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特
殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向左平移 个单位得到的；
②函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位得到的；
③函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向上平移 个单位得到的；
④函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向下平移 个单位得到的；
（2）对称变换
① 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称翻折
上来得到的
② 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 轴对称得
到函数 左边的图像即函数 是一个偶函数.
三、函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
当 时 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时 ，所以 在区间 上单调递减，排除A，B．
又 ，排除D．
故选：C．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 为 的导函数，则 的大
致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】∵ ，
∴
易知 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B和D，
由 ，排除C，所以A正确.
故选：A.
例3．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注
水时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点 ，水面半径 ，此时水面高度
，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知， ，即 ，则注入水的体积为，
令水匀速注入的速度为 ，则注水时间为t时的水的体积为 ，于是得 ，
而 都是常数，即 是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是 ， ， ，函
数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
例4．（2022·全国·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由图知 ，排除A选项；当 ，且 趋近于0时，由图知 趋近于 ，排除B；
又C选项中 ，其图象关于 轴对称，不符合.
故选：D.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】按 的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论．
【详解】
由题意 ，
∵ ，∴只有C符合．
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象大致形状为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；
【详解】
解：因为 ，所以定义域为 ，且 ，
即 为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除C、D；
当 时， ， ，所以 ，故排除B；
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB
运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，结合图形，分析区间（0， ）和（ ，π）上f（x）的符号，再分析f（x）的对称性，排除
BCD，即可得答案．
【详解】
根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0， ）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（ ，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x+x＝π时，有f（x）＝﹣f（x），f（x）的图象关于点（ ，0）对称，排除D，
1 2 1 2
故选：A
4．（2022·江苏·高三专题练习）设函数 在 上可导，其导函数为 ，若函数 在 处取得
极大值，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】
根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.
【详解】
由函数 在 上可导，其导函数为 ，若函数 在 处取得极大值，
所以当 时， ； 时， ； 时， ；
所以当 时， ，当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
可得选项B符合题意.
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 上的大致图象是（ ）
A． B．C． D．【答案】D
【分析】
通过函数的奇偶性可排除A，B；通过计算 的值可排除C，进而可得结果．
【详解】
由题可知函数 的定义域关于原点对称，
且当 时， ， ，
当 时， ， ，故 为偶函数，排除A，B；
而 ，排除C．
故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+ ，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）有最小值为
n．则在平面直角坐标系中，函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由均值不等式易知m＝3，n＝4，则函数 ，判断函数g（x）的单调性，结合选项即可得解．【详解】
∵函数 ，当且仅当 ，即m＝3时取等号，
∴m＝3，n＝4，
则函数 的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，
观察选项可知，选项A符合．
故选：A．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求解 的定义域并判断奇偶性，然后根据 的值以及 在 上的单调性选择合适图象.
【详解】
定义域为 ， ，
则 ， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
，故排除A；
∵ ，当 时，可得 ，当 时， ， 单调递增，故排除D.
故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝ 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判
定.（也可使用赋值法）
【详解】
由题意，设 ， ，所以函数的奇函数，故排除C;
当 时， ，当 时， ，排除 ,
故选:A.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则下列图象错误的是（ ）A． 的图象：
B． 的图象：
C． 的图象：
D． 的图象：
【答案】C
【分析】作出函数 ，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案.【详解】
先作出 的图象，如图所示，
所以A正确；
对于B， 的图象 是由的图象向右平移一个单位得到，故B正确；
对于C，当 时， 的图象与 的图象相同，且函数 的图象关于 轴对称，故C错
误；
对于D， 的图象与 的图象关于 轴对称而得到，故D正确.
故选：C.
10．（2022·全国·高三专题练习（文））下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
【答案】A
【分析】
根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；
对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；
对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；
故选：A.
11．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注
水时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时间t的函数
关系式即可判断得解.
【详解】
设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点 ，水面半径 ，此时水面高度
，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知， ，即 ，则注入水的体积为
，令水匀速注入的速度为 ，则注水时间为t时的水的体积为 ，于是得 ，
而 都是常数，即 是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是 ， ， ，函
数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，其中 ， 为常数，则下列结论正确的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
由 ，可得 ，由图像可知函数是减函数，则 ，从而可求出 的范围，由
可求出 的取值范围
【详解】
由 ，可得 ，
因为由图像可知函数是减函数，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
故选：A
13．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的奇偶性可求出 ，再由函数图象不连续即可知分母等于零有解，即可排除AC.
【详解】
解：由图象可知，函数的偶函数，即 ，即 ，
则 ，B不正确；由图象可知， 有解，即 ，故AC不正确，
故选:D.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的大致图象如图所示，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令 得到 ，再根据函数图象与x轴的交点和函数的单调性判断.
【详解】
令 得 ，即 ，
解得 ，
由图象知 ，
当 时， ，当 时， ，故排除AD，
当 时，易知 是减函数，
当 时， ， ，故排除C
故选：B
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D【分析】
由 得到 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.
【详解】
因为函数 ，
所以函数 ，
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当 时， ，排除C，
故选：D．
16．（2022·江苏·高三专题练习）为调整某学校路段的车流量问题，对该学校路段 时的车流量进行了
统计，折线图如图，则下列结论错误的是（ ）
A． 时前车流量在逐渐上升 B．车流量的高峰期在 时左右
C．车流量的第二高峰期为 时 D． 时开始车流量逐渐下降
【答案】D
【分析】
根据图象得出车流量的增减性与最值，由此可得出结论.
【详解】
由折线图知， 时前车流量在逐渐增加，选项A正确；
车流量的高峰期在 时左右，选项B正确；
时是车流量的第二高峰期，选项C正确；
时左右车流量又有些回升，所以 时开始车流量逐渐下降错误，选项D错误．
故选：D．17．（2022·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数 且 的图象
可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题通过讨论 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确
结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当 时，函数 过定点 且单调递减，则函数 过定点 且单调递增，函数
过定点 且单调递减，D选项符合；当 时，函数 过定点 且单调递增，则
函数 过定点 且单调递减，函数 过定点 且单调递增，各选项均不符合.综上，
选D.
【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
18．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象向右平移1个单位长度得到函数 的图
象，则 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数图象的变换，求得函数 ，根据当 时，得到 ，可排除A、B；当
时，得到 ，可排除C，进而求解.
【详解】
由题意，可得 ，其定义域为 ，
当 时， ，函数 ，
故排除A、B选项；
当 时，0 ，故函数 ，故排除C选项；
当 时，函数 ，
该函数图象可以看成将函数 的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.
故选：D.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
， f(1)≠0，A不正确；
是奇函数，不满足题意，B不正确；
，当x∈(0，1)时， ，不满足题意，D不正确.
【详解】
由函数f(x)的图像知函数f(x)是偶函数，且当x=1时，f(1)=0.
是偶函数，但是f(1)≠0，A不正确；
是奇函数，不满足题意，B不正确；
是偶函数，f(1)=0，但当x∈(0，1)时， ，不满足题意，D不正确.
故选：C.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是
（ ）A．f（x）＝（4x﹣4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log |x|
2
C．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x）log |x|
2
【答案】D
【分析】根据题意，用排除法分析：利用函数的奇偶性可排除A、B，由区间（0，1）上，函数值的符号排除C，
即可得答案．
【详解】
根据题意，用排除法分析：
对于A，f（x）＝（4x﹣4﹣x）|x|，其定义域为R，有f（﹣x）＝（4﹣x﹣4x）|x|＝﹣f（x），则函数f（x）为
奇函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝（4x﹣4﹣x）log |x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（4﹣x﹣4x）log |x|＝﹣f（x），则函
2 2
数f（x）为奇函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝（4x+4﹣x）|x|，在区间（0，1）上，f（x）＞0，不符合题意；
对于D， f（﹣x）＝（4x+4﹣x）log |x|＝f（x）为偶函数，且在区间（0，1）上，f（x） 0，符合题意
2
故选：D
21．（2022·全国·高三专题练习）已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据特殊值排除A、C，再判断函数的奇偶性即可排除B；
【详解】
解：对于A： ， ，故A错误；
对于B： ，则 ，故 为
奇函数，故B错误；对于C： ，则 ，故C错误；对于D： ， ，且 ，即
为偶函数，满足条件；
故选：D
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论．
【详解】
图象关于原点对称，为奇函数，选项BCD中定义域都是 ，不合，排除，
选项A是奇函数．
故选：A．
【点睛】
思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.23．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的大致图象如下，下列选项中 为自然对数的底数，则函
数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项.
【详解】
由图可知，函数 为奇函数.
对于A选项，函数 的定义域为 ， ，
函数 不是奇函数，排除A选项；
对于B选项，函数 的定义域为 ， ，
函数 不是奇函数，排除B选项；
对于C选项，由 可得 ，即函数 的定义域为 ，
，函数 为奇函数， ，
C选项不满足要求；
对于D选项，由 可得 ，即函数 的定义域为 ，
，函数 为奇函数，当 时， ，满足题意.
故选：D.【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、多选题
24．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据题意，分 、 以及 三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．
【详解】
解：根据题意，
当 时， ， ，其图象与选项 对应，
当 时， ，在区间 上， ，其图象在第一象限先减后增，在区间
上， 为减函数，其图象与选项 对应，当 时， ，在区间 上， 为增函数，在区间 上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项 对应，
故选： ．
25．（2022·全国·高三专题练习）已知 （k为常数），那么函数 的图象不可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当 时， 为偶函数，当 时，
为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．
当 时， 为偶函数，
当 时， 且单调递增，而 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，故选项C正确，D错误；
当 时， 为奇函数，当 时， 且单调递增，而 在 上单调递减，
故函数 在 上单调递减，故选项B正确，A错误.
故选:AD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知 或 ，再判
断函数的单调性.26．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器项部一个孔中以相同的速
度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 和时间 之间的关系，其中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据几何体的形状判断每增加一个高度需要的水是越多那么增加的比较平缓，每增加一个高度需要的水越
少，那么增加的比较快，比较图象判断选项.
【详解】
对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此A不正确；
对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平稳，所以B
正确；
对于第三幅图，开始是下面窄，上面宽，增加同一个高度需要的水越多，因此趋势愈加平稳，过了一半以
后，越往上面越窄，增加同一个高度需要的水越少，因此趋势越快，所以C正确；
对于第四幅图，开始下面宽，上面窄，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越少，因此
趋势越快，过了一半以后，越往上面越宽，增加同一个高度，需要的水水越多，因此趋势越平稳，所以D
正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查根据实际问题判断函数的图象，重点考查理解能力，属于中档题型.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数f
（x）解析式的是（ ）A．y＝x2cosx B．y＝xcosx C．y＝x2sinx D．y＝xsinx
【答案】ABCD
【分析】
根据图象判断函数为奇函数，且当x＞0，f（x）＞0，利用排除法进行判断即可．
【详解】
由图象知函数为奇函数，则排除A，D，两个函数为偶函数，
当x＞0时，f（x）＞0，排除B，C，
故ABCD都不成立，
故选：ABCD．
三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个
交点，则a的值为________.
【答案】
【分析】
在同一平面直角坐标系内，作出函数图象，找出符合题意的临界条件，求出 的值，
【详解】
在同一平面直角坐标系内，作出函数y=2a与y=|x-a|-1的大致图象，如图所示.由题意，可知2a=-1，则a= .
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的图象，考查学生数形结合思想，属于基础题．
