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2023届高考数学三轮冲刺卷：幂函数及其性质
一、选择题（共20小题；）
1
1. 已知 y=(m2+2m−2)xm2−1 是幂函数，则 m 的值为 ()
A. −3 B. 1 C. −3 或 1 D. 3
2. 幂函数 y=x−1 及直线 y=x，y=1，x=1 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：
1
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数 y=x2 的图象经过的“卦限”是
()
A. ④⑦ B. ④⑧ C. ③⑧ D. ①⑤
3. 如果对任意 x∈(1,+∞)，都有 xα>xβ，则有理数 α，β 间的关系是 ()
A. α>0，β<0 B. α<0，β>0 C. α>β D. |α|>|β|
( 1)
4. 幂函数的图象经过点 2, ，则它的单调递增区间是 ()
4
A. (0,+∞) B. [0,+∞) C. (−∞,0) D. (−∞,+∞)
5. 如果 a>b>0，那么下列不等式一定成立的是 ()
1 1 (1) a (1) b
A. ∣a∣<∣b∣ B. > C. > D. lna>lnb
a b 2 2
6. 下列结论中，正确的是 ()
A. 幂函数的图象都经过点 (0,0)，(1,1)
B. 幂函数的图象可以出现在第四象限
1
C. 当幂指数 a 取 1，3， 时，幂函数 y=xa 是增函数
2
D. 当幂指数 a=−1 时，幂函数 y=xa 是减函数
7. 函数 f (x)=xa 满足 f (2)=4，那么函数 g(x)=∣log (x+1)∣ 的图象大致为 ()
a
A. B.C. D.
8. 设 0n>p B. n>m>p C. n>p>m D. p>n>m
10. 下列函数中，在区间 (−∞,0) 上是严格增函数且其图象关于 y 轴对称的是 ()
4 3 1
A. y=x3 B. y=x2 C. y=x−2 D. y=x − 2
{ 2 1 2 }
11. 设 k∈ −2,−1,− ,0, , ,1,2 ．若 x∈(−1,0)∪(0,1)，均有 xk>∣x∣ 成立，则 k
3 3 3
取值的个数是 ()
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
12. 下列函数中是偶函数，且在 (−∞,0] 上单调递减的是 ()
A. y=x−1 B. y=x2 C. y=x3 D. y=√x
p
13. 已知幂函数 y=xq （p，q∈N∗，q>1，且 p，q 互质）的图象如图所示，则 ()p p
A. p，q 均为奇数，且 >1 B. p 为奇数，q 为偶数，且 >1
q q
p p
C. p 为偶数，q 为奇数，且 >1 D. p 为偶数，q 为奇数，且 0< <1
q q
14. 如果幂函数 y=(m2−3m+3)xm2−m−2 的图象不过原点，则 m 的取值范围为 ()
A. −1≤m≤2 B. m=−1 或 m=2
C. m=1 D. m=1 或 m=2
1 1 1
15. a=1.22 ， b=0.9 − 2 ， c=1.12 的大小关系是 ()
A. c2 的解集为 ()
( 1) ( 1) (1 ) (1 )
A. −∞, B. −∞, C. ,+∞ D. ,+∞
4 2 4 2
( 1) (1)
18. 幂函数 f (x) 的图象经过点 4, ，则 f 的值为 ()
2 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1
19. 函数 y=x3 的图象是 ()
A. B.
C. D.
1
20. 函数 y=(x−5) 0+(x−2) − 2 的定义域是 ()
A. {x∣x≠2,且x≠5¿¿ B. {x∣x>2¿¿
C. {x∣x>5¿¿ D. {x∣25¿¿
二、填空题（共5小题；）21. 若幂函数 f (x) 的图象过点 (3,√4 27)，则 f (x) 的解析式是 ．
22. 幂函数 y=xs 与 y=xt 的图象在第一象限都通过定点 ，若它们在第一象限
的部分关于直线 y=x 对称，则 s，t 应满足的条件是 ．
1
23. 已知幂函数 f (x)=x − 2，若 f (a+1)∣x∣ 恒成立，则在
a∈{−2,−1,0,1,2} 的条件下，α 可以取值的个数是 ．
25. 已知方程
(1) x
=x3
1
的解 x ∈
( 1
,
1)
，则正整数 n= ．
2 0 n+1 n
三、解答题（共5小题；）
26. 已知函数 f (x)=(m2+2m)⋅xm2+m−1，m 为何值时，函数 f (x) 是：
（1）正比例函数；
（2）反比例函数；
（3）幂函数．
27. 已知函数 f (x)=x 3 2 +k− 1 2 k2 (k∈Z) ．
（1）若 f (x) 为偶函数，且在 (0,+∞) 上单调递增，求 f (x) 的解析式；
（2）若 f (x) 在 (0,+∞) 上单调递减，求 k 的取值范围．
28. 已知幂函数 f (x)=(k2+k−1)x(2−k)(1+k) 在 (0,+∞) 上单调递增．
（1）求实数 k 的值，并写出相应的函数 f (x) 的解析式；
（ 2 ） 对 于 （ 1） 中 的 函 数 f (x)， 试 判 断 是 否 存 在 正 数 m， 使 函 数
g(x)=1−mf (x)+(2m−1)x，在区间 [0,1] 上的最大值为 5，若存在，求出 m 的值；若
不存在，请说明理由．
29. 如图，幂函数 y=x3m−7(m∈N) 的图象关于 y 轴对称，且与 x 轴，y 轴均无交点，求此函
数的解析式及不等式 f (x+2)<16 的解集．
(2)− 1 (3) 1 2 (2) 1 (3) 2 (5) 0
30. 将下列一组数从小到大排列起来，并说明理由．
3
2，
5
2， 33 ，
5
2，
2
3，
6
，
(−2) 3，
(5)−
3
1
．
3答案
{m2+2m−2=1,
1. A 【解析】由题意得 1 解得 m=−3．
m2−1≠0,
1
2. D 【解析】幂函数 y=x2 的图象形状是上凸形，在 (0,1) 内图象在 y=x 上方，而在 (1,+∞)
1
内图象在 y=x 下方，故可知 y=x2 过①⑤“卦限”．
3. C
4. C
5. D
6. C 【解析】由幂函数的图象与性质知C正确．
7. C
8. C
9. B
10. C
11. A
12. B 【解析】由五个具体幂函数的性质可知，A，C中的函数为奇函数，D中的函数为非奇非偶函
数，B中的函数是偶函数，且在 (−∞,0] 上单调递减，故选B．
13. D 【解析】因为图象关于 y 轴对称，
所以函数为偶函数，
所以 p 为偶数，q 为奇函数．
p
由图象在第一象限内缓慢递增，知 0< <1．
q
故选D．
14. D 【解析】依据幂函数为 y=xα 形式，知 m2−3m+3=1．又其图象不过原点，则指数
{m2−3m+3=1,
m2−m−2≤0．由
m2−m−2≤0,
{(m−1)(m−2)=0, {m=1或m=2,
得 解得
(m+1)(m−2)≤0, −1≤m≤2.
故 m=1 或 m=2．
15. D
1
【解析】因为 y=x2 是增函数，
所以 1.2 1 2> ( 1 ) 1 2>1.1 1 2，
0.9
即 a>b>c．
16. B 【解析】幂函数 f (x)=xm2−2m−3(m∈Z) 在 (0,+∞) 上单调递减，
所以 m2−2m−3<0，解得 −1x ；
1
当 x>1 时， x32，且 x≠5．
x−2>0,
3
21. f (x)=x4(x≥0)
22. (1,1)，st=1
23. (3,5)
1
− 1
【解析】因为 f (x)=x 2= ，易知 f (x) 在定义域 (0,+∞) 上是减函数，又 f (a+1)0, {a>−1,
所以 10−2a>0, 解得 a<5,
a+1>10−2a, a>3.
所以 3∣x∣ 显然是不恒成立的；
当 α=0 时，f (x)=1>∣x∣；
当 α=2 时，f (x)=x2=∣x∣ 2<∣x∣；
当 a=−2 时，f (x)=x−2=∣x∣ −2>1>∣x∣．
综上，α 可以取值为 0 或 −2，共 2 个．25. 2
(1) x 1 (1) 1 (1) 1
【解析】函数 y=
2
与函数 y=x3 在 (0,+∞) 上有一个交点，当 n=2 时，
2
2−
2
3>0，
(1) 1 (1) 1
2− 3<0，所以正整数 n=2．
2 2
26. （1） 若函数 f (x) 为正比例函数，
{m2+m−1=1,
则
m2+2m≠0,
所以 m=1．
（2） 若函数 f (x) 为反比例函数，
{m2+m−1=−1,
则
m2+2m≠0,
所以 m=−1．
（3） 若函数 f (x) 为幂函数，则 m2+2m=1，
所以 m=−1±√2．
3 1
27. （1） 因为 f (x) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以 +k− k2>0，解得 −13(k∈Z)，即 k 的取值范围为 {k∣k<−1或k>3,且k∈Z¿¿．
28. （1） 因为幂函数 f (x)=(k2+k−1)x(2−k)(1+k) 在 (0,+∞) 上单调递增，
所以 (2−k)(1+k)>0⇒−10，
2m−1 1
所以 g(x) 开口方向向下，对称轴 x= =1− <1．
2m 2m
2m−1 1
①当 ≤0，m>0 时，得 00 时，得 m> ，则 g(x) 在 x= 处取得最大值．
2m 2 2m
( 1 ) 5±2√6 1
g 1− =5，解得 m= ，且 m> ．
2m 2 2
5
所以 m= +√6．
27
29. 由题意，得 3m−7<0，所以 m< ．
3
因为 m∈N，
所以 m=0,1或2．
因为幂函数的图象关于 y 轴对称，
所以 3m−7 为偶数，
因为 m=0 时，3m−7=−7，m=1 时，3m−7=−4，m=2 时，3m−7=−1，
故当 m=1 时，y=x−4 符合题意，即 y=x−4，
所以不等式 f (x+2)<16 可化为 (x+2) −4<16，即 −2<(x+2) −1<2，
3 5
解得 x>− 或 x<− ，
2 2
( 5) ( 3 )
所以该不等式的解集为 −∞,− ∪ − ,+∞ ．
2 2
(5) 0
30. 因为 =1，
6
所以可先将其余的数分成三类；
① 负数：(−2) 3；
(3) 1 (2) 1 (5)− 1 (3) 1
② 大于 0 小于 1 的数： 2， 2， 3= 3；
5 5 3 5
(2)− 1 (3) 1 2 (3) 2
③ 大于 1 的数：
3
2=
2
2， 33，
2
3．
(3) 1 (2) 1 (3 5) 1
然后在各类中比较大小：在 ② 中， 2÷ 2= × 2>1，
5 5 5 2
(3) 1 (2) 1
所以 2> 2（或用幂函数的单调性进行比较）；
5 5
3 1 1
因为 0< <1， < ，
5 3 2
(3) 1 (3) 1
所以 3> 2．
5 5
(2) 1 (3) 1 (3) 1
故在 ② 中，有 2< 2< 3．
5 5 5
在 ③ 中，
(2)− 1
2=
(3) 1
2<
(3)
3
2
<33
2
．
3 2 2
由此可得：
(−2) 3<
(2) 1
2<
(3) 1
2<
(3)
3
1
=
(5)−
3
1
<
(5) 0
<
(2)− 1
2<
(3)
3
2
<3
3
2．
5 5 5 3 6 3 2
