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2023届高考数学三轮冲刺卷：平面与平面垂直关系的判定
一、选择题（共20小题；）
1. 已知直线 l⊥平面β，l⊂平面α，则 ()
A. α⊥β B. α∥β
C. α⊥β 或 α∥β D. α，β 相交但不一定垂直
2. 已知直线 a∥ 直线 b，b⊥ 平面 α，则 ()
A. a∥α B. a⊂α
C. a⊥α D. a 不是 α 的垂线
3. 对于直线 m，n 和平面 α，β 能得出 α⊥β 的一个条件是 ()
A. m⊥n，m∥α，n∥β B. m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C. m∥n，n⊥β，m⊂α D. m∥n，m⊥α，n⊥β
4. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ()
A. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n B. 若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C. 若 m∥α，m⊥β，则 α⊥β D. 若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β
5. 下列命题中正确的是 ()
A. 若直线 a∥平面α，直线 b⊥a，b⊂平面β，则 α⊥β
B. 若直线 a⊥b，a⊥平面α，b⊥平面β，则 α⊥β
C. 过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
D. 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
6. 设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是 ()
A. 若 a⊥b，a⊥α，b⊄α，则 b∥α
B. 若 a⊥b，a⊥α，b⊥β，则 α⊥β
C. 若 a⊥β，α⊥β，则 a∥α 或 a⫋α
D. 若 a∥α，α⊥β，则 a⊥β
7. 已知不同的直线 m，n，不同的平面 α，β，则下列命题正确的是 ()
①若 m∥α，n∥α，则 m∥n．
②若 m∥α，m⊥β，则 α⊥β．
③若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α．
④若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n．
A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①②
8. 如图 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有 ()A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对
9. 若 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β ()
A. 若 l⊥β，则 α⊥β B. 若 α⊥β，则 l⊥m
C. 若 l∥β，则 α∥β D. 若 α∥β，则 l∥m
10. 在三棱锥 A−BCD 中，如果 AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD 是锐角三角形，那么 ()
A. 平面ABD⊥平面ADC B. 平面ABD⊥平面ABC
C. 平面BCD⊥平面ADC D. 平面ABC⊥平面BCD
11. 如图所示，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45∘，∠BAD=90∘．将
△ADB 沿 BD 折起，使 平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥 A−BCD，则在三棱锥
A−BCD 中，下列结论正确的是 ()
A. 平面ABD⊥平面ABC B. 平面ADC⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ADC⊥平面ABC
12. 已知在空间四边形 ABCD 中，AD⊥BC，AD⊥BD，且 △BCD 是锐角三角形，则必有
()
A. 平面ABD⊥平面ADC B. 平面ABD⊥平面ABC
C. 平面ADC⊥平面BDC D. 平面ABC⊥平面BDC
13. 如图，在正方体 ABCD−A B C D 中，E 为 BC 的中点，点 P 在正方体表面上移动，
1 1 1 1
且满足 B P⊥D E，则点 B 和点 P 构成的图形是 ()
1 1 1A. 三角形 B. 四边形 C. 曲边形 D. 五边形
14. 若不同的两点 A，B 到平面 α 的距离相等，则下列命题中一定正确的是 ()
A. A，B 两点在平面 α 的同侧
B. A，B 两点在平面 α 的异侧
C. 过 A，B 两点必有垂直于平面 α 的平面
D. 过 A，B 两点必有平行于平面 α 的平面
15. 在所有棱长都相等的三棱锥 P−ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下列四
个命题：
（1）BC∥平面PDF；
（2）DF∥平面PAE；
（3）平面PDF⊥平面ABC；
（4）平面PDF⊥平面PAE．
其中正确命题的序号为 ()
A. （2）（3） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （1）（4）
16. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45∘，∠BAD=90∘，将
△ABD 沿 BD 折起，使得 平面ABD⊥平面BCD，构成四面体 A−BCD，则在四面体
中，下列说法正确的是 ()
A. 平面ABD⊥平面ABC B. 平面ACD⊥平面BCD
C. 平面ABC⊥平面BCD D. 平面ACD⊥平面ABC
17. 在空间四边形 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，E 为对角线 AC 的中点，下列判断正确的
是 ()
A. 平面ABD⊥平面BDC B. 平面ABC⊥平面ABD
C. 平面ABC⊥平面ADC D. 平面ABC⊥平面BED
18. 在正四面体 P−ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立
的是 ()
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDE⊥平面ABC D. 平面PDF⊥平面PAE
19. 如图所示，平面四边形 ABCD 中，AB=AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线 BD
折成四面体 A−BCD，使 平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是 ()
① 平面ACD⊥平面ABD；
② AB⊥AC；
③ 平面ABC⊥平面ACD．A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
20. 关于直线 a，b 以及平面 M，N，下列命题中正确的是 ()
A. 若 a∥M，b∥M，则 a∥b B. 若 a∥M，b⊥a，则 a⊥M
C. 若 b⊂M，a⊥b，则 a⊥M D. 若 a⊂M，a⊥N，则 M⊥N
二、填空题（共5小题；）
21. 平面与平面垂直的判定定理
22. 在三棱锥 P−ABC 中，已知 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥
P−ABC 的四个面中，互相垂直的面有 对．
23. ABCD 是正方形，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面ABCD，则平面 PAB，平面
PBC，平面
PDC，平面 PAD，平面 ABCD 这五个面中，互相垂直的平面有 对．
24. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a，
PB=PD=√2a，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 对．25. 如图，PA⊥圆O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上一点，AE⊥PC，
AF⊥PB， 给 出 下 列 结 论 ： ① AE⊥BC； ② EF⊥PB； ③ AF⊥BC； ④
AE⊥平面PBC，其中正确的命题是 ．（填序号）
三、解答题（共5小题；）
26. 已知 △BCD 中，∠BCD=90∘，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60∘，E，F
AE AF
分别是 AC，AD 上的动点，且 = =λ(0<λ<1)．
AC AD
（1）求证：不论 λ 为何值，总有 平面BEF⊥平面ABC；
（2）当 λ 为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
27. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：
平面PAC⊥平面PBC．28. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M
为 PC 的中点．
（1）求证：平面PCB⊥平面MAB；
（2）求三棱锥 P−ABC 的表面积．
29. 如图，长方体 ABCD−A B C D 中，AB=AD=1，点 P 为 DD 的中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：直线BD ∥平面PAC；
1
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD ．
1
π
30. 在几何体 ABCDE 中，∠BAC= ，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F 是 BC 的
2
中点，AB=AC=BE=2，CD=1．
（1）求证：DC∥平面ABE；
（2）求证：AF⊥平面BCDE；
（3）求证：平面AFD⊥平面AFE．答案
1. A
2. C
3. C 【解析】正方体 ABCD−A B C D 中，连接 AC，A C ，把 AD 看作直线 m，BB
1 1 1 1 1 1 1
看作直线 n，把平面 BB C C 作为平面 α，平面 A A C C 作为平面 β．对于 A 虽满足 m⊥n，
1 1 1 1
m∥α，n∥β，但 α 不垂直于 β，从而否定 A．类似地可否定 B 和 D．
4. C 【解析】由 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，知：
在A中，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若 α⊥γ，β⊥γ，则 α 与 β 相交或平行，故B错误；
在C中，若 m∥α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得 α⊥β，故C正确；
在D中，若 m∥α，α⊥β，则 m 与 β 相交、平行或 m⊂β，故D错误．
5. B
6. A
7. A
8. D
9. A
10. C
11. D 【解析】因为在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45∘，∠BAD=90∘，
所以 BD⊥CD .又 平面ABD⊥平面BCD，且 平面ABD∩平面BCD=BD，故
CD⊥平面ABD，则 CD⊥AB．又 AD⊥AB，AD∩CD=D，故 AB⊥平面ADC，又
AB⊂平面ABC，所以 平面ABC⊥平面ADC．
12. C 【解析】因为 AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD=B，
所以 AD⊥平面BDC，又 AD⊂平面ADC，
所以 平面ADC⊥平面BDC．
13. B 【解析】提示：取 CD 的中点 F，CC 的中点 G，则 FG//AB ，易证
1 1
平面AFGB ⊥ED ，则 B 和点 P 构成的图形是梯形 AFGB ．
1 1 1 1
14. C 【解析】通解 根据面面垂直的判定定理可得，无论 A，B 两点在何处，必有过 A，B 两点
与平面 α 垂直的平面，所以选项C正确．优解 结合立体几何知识，合理作出图形，应用排除法可知 A，B 两点有可能在平面 α 的同侧、异
侧或平面 α 内，所以选项A，B错误；当 A，B 两点在平面 α 的异侧时，就不存在过 A，B 两点
与平面 α 平行的平面，所以选项D错误．
15. C
【解析】（1）因为 D，F 分别为 AB，AC 中点，
所以 DF∥BC，
因为 DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
所以 BC∥平面PDF，（1）正确；
（2）因为 DF∩AE=M，AE⊂平面PAE，
所以 DF∩平面PAE=M，（2）正确；
（3）假设 平面PDF⊥平面ABC，
因为 AC=BC，E 为 BC 中点，
所以 AE⊥BC，又 DF∥BC，
所以 AE⊥DF，
因为 平面PDF∩平面ABC=DF，AE⊂平面ABC，
所以 AE⊥平面PDF，
因为 PF⊂平面PDF，
所以 PF⊥AE，
因为 PA=PC，F 为 AC 中点，
所以 PF⊥AC，
所以 AE∥AC，显然不成立，故假设错误，（3）错误；
（4）因为三棱锥所有棱长都相等所以 PF=PD，
又 DM∥BC，M 为 DF 中点，
所以 DM⊥PM，DM⊥AM，
因为 AM,PM⊂平面PAE，AM∩PM=M，
所以 DM⊥平面PAE，
又 DM⊂平面PDF，
所以 平面PDF⊥平面PAE，（4）正确．
16. D
17. D 【解析】由已知条件得 AC⊥DE，AC⊥BE，又 BE∩DE=E，于是有
AC⊥平面BED．又 AC⊂平面ABC，所以 平面ABC⊥平面BED．
18. C 【解析】因为在正四面体 P−ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
所以 DF∥BC，因为 DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
所以 BC∥平面PDF，故A正确；
因为 AB=AB=PB=PC，E 是 BC 中点，
所以 AE⊥BC，PE⊥BC，
因为 AE∩PE=E，
所以 BC⊥平面PAE，
因为 DF∥BC，
所以 DF⊥平面PAE，故B正确；
因为 DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，
所以 平面PAE⊥平面ABC，
因为 平面PAE∩平面PDE=PE，且 PE 与平面 ABC 不垂直，
所以平面 PDE 与平面 ABC 不垂直，故C错误；
因为 DF⊥平面PAE，且 DF⊂平面PDF，
所以 平面PDF⊥平面PAE，故D正确．
19. D
20. D
21. 垂线，l⊂β
22. 3
【解析】因为 PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，
所以 PA⊥平面PBC，
因为 PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，
所以 平面PAB⊥平面PBC，平面 PAC⊥平面PBC．
同理可证：平面 PAB⊥平面PAC．
23. 5
【解析】如图，可得 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，共 5 对．24. 5
【解析】平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，
平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PCD，共有 5 对．
25. ①②④
【解析】① AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；
② AE⊥PC，AE⊥BC⇒AE⊥平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB⇒PB⊥平面AEF，
EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；
③ AF⊥PB，若 AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则 AF∥AE，与已知矛盾，故③错误；由①可
知④正确．
26. （1） 因为 AB⊥平面BCD，
所以 AB⊥CD，
因为 CD⊥BC 且 AB∩BC=B，
所以 CD⊥平面ABC．
AE AF
又因为 = =λ(0<λ<1)，
AC AD
所以不论 λ 为何值，恒有 EF∥CD，
所以 EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，
所以不论 λ 为何值，恒有 平面BEF⊥平面ABC．
（2） 由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又 平面BEF⊥平面ACD，
所以 BE⊥平面ACD，
所以 BE⊥AC．
因为 BC=CD=1，∠BCD=90∘，∠ADB=60∘，
所以 BD=√2，AB=√2tan60∘=√6，
所以 AC=√AB2+BC2=√7，
6
由 AB2=AE⋅AC 得 AE= ，
√7
AE 6
所以 λ= = ，
AC 7
6
故当 λ= 时，平面BEF⊥平面ACD．
7
27. 因为 平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且 AB⊥BC，
所以 BC⊥平面PAB，所以 AP⊥BC．
又 AP⊥PB，
所以 AP⊥平面PBC．
又 AP⊂平面PAC．
所以 平面PAC⊥平面PBC．
28. （1） 因为 PA⊥PB，AB⊥AC，
所以 AB⊥平面PAC，故 AB⊥PC．
因为 PA=AC=2，M 为 PC 的中点，
所以 MA⊥PC，
所以 PC⊥平面MAB，
又 PC⊂平面PCB，
所以 平面PCB⊥平面MAB．
1
（2） Rt△PAB 的面积 S = PA⋅AB=1，
1 2
1
Rt△PAC 的面积 S = PA⋅AC=2，
2 2
Rt△ABC 的面积 S =S =1，
3 1
因为 △PAB≌△CAB，
所以 PB=CB，
1 1
所以 △PCB 的面积 S = PC⋅MB= ×2√2×√3=√6．
4 2 2
所以三棱锥 P−ABC 的表面积为 S=S +S +S +S =4+√6．
1 2 3 4
29. （1） 设 AC 和 BD 交于点 O，连 PO，
因为 P，O 分别是 DD ，BD 的中点，故 PO∥BD ，
1 1
因为 PO⊂平面PAC，BD ⊄平面PAC，
1
所以 直线BD ∥平面PAC．
1
（2） 长方体 ABCD−A B C D 中，AB=AD=1，
1 1 1 1
底面 ABCD 是正方形，则 AC⊥BD，
又 DD ⊥面ABCD，则 DD ⊥AC，因为 BD∩DD =D，
1 1 1
所以 AC⊥面BDD ，
1
又 AC⊂平面PAC，
则 平面PAC⊥平面BDD ．
130. （1） 因为 DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
所以 DC∥EB，
又因为 DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，
所以 DC∥平面ABE．
（2） 因为 DC⊥平面ABC，
所以 DC⊥AF，
因为 AB=AC，且 F 是 BC 中点，
所以 AF⊥BC，
又因为 BC∩DC=C，
所以 AF⊥平面BCDE．
（3） 由（2）知 AF⊥平面BCDE，
所以 AF⊥EF，
在三角形 DEF 中，由计算知 DF⊥EF，AF∩DF=F，
所以 EF⊥平面AFD，
又 EF⊂平面AFE，
所以 平面AFD⊥平面AFE．
