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专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的
应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显
著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。
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模型1.“手拉手”模型（旋转模型）................................................................................................................2
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【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型（旋转模型）
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样
的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， ；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； ；∠BFC=∠BAC.
证明：∵ ，∴ ，∵∠BAC=∠DAE= ，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE= ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵ ，∴△ABD∽△ACE，∴ ，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE= ，
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， ， ；
结论：△AOC∽△BOD； ，AC⊥BD， .
证明：∵ ，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵ ，∴△AOC∽△BOD，∴ ，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ .3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）
:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF； .
条件
证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴ ，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴ ，
条件: ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°； .
△
证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴ ，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴ ，∠ACE=∠ABD=90°
例1．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在 中， ，D、E分别时 、 边上
的点， ．将 绕点A旋转．
（一）发现问题（1）如图①， 、 、 满足的数量关系为________；
（二）探究问题（2）如图②， ， 相交于点M，连接 ，求证： 平分 ；
（三）拓展应用（3）如图③，在四边形 中， ， ， ，
求 的度数．例2．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，点 在边 上，
，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧
作等腰直角三角形 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系．
(2)当 时．①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
例3．（2022·河南信阳·九年级期末）如图1，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分
别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，△设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的
交点为点P．(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3) CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最
大值△．例4．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出 的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
＝ ＝ ．连接BD，CE．①求 的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的
值．例5．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O
顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，
当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明
理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
例6．（2023·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形 和
等腰 按如图 所示的位置摆放（点 、 、 在同一条直线上），其中 ．小组同学进
行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图 ，将等腰 绕点 按顺时针方向旋转，连接
， ．请直接写出 与 的关系；（2）如图 ，将（1）中的正方形 和等腰 分别改
成菱形 和等腰 ，其中 ， ，其他条件不变，求证： ；
深入探究：（3）如图 ，将（1）中的正方形 和等腰 分别改成矩形 和 ，其
中 且 ，其它条件不变．①探索线段 与 的关系，说明理由；
②连接 ， 若 ， ，直接写出 ________．例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角 中， ，D为 上一点，E为 延长
线上一点，且 ， ，则 ．
1.（2024·重庆·模拟预测）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接
BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．❑√5：2 D．2：❑√3
2．（2023·广西·校考一模）如图，在 中， ，将 绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点 落在CA的延长线上，得到 ，连接 ，交 于点O．下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023春·四川眉山·九年级专题练习）如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以
为对角线作正方形 ，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．以下四个结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（2024·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形 绕点 逆时针旋转到菱形 的位置，使
点 落在 上， 与 交于点 ．若 ，则 的长为 ．
5．（2024·河北石家庄·三模）已知 和 都为等腰三角形， ， ，
．（1）当 时，如图2，当点D不在 上时，判断线段 与 的数量关系为 ；
（2）当 时，若 ， ， 时， 的长为 ．
6．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在 中， ，其中 ，若点
M是 边上的动点，连接 ，以 为斜边作等腰直角 ，连接 ，则 面积的最大值是
．
7．（2024•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
8．（2024·广东·中考真题）【知识技能】（1）如图1，在 中， 是 的中位线．连接 ，
将 绕点D按逆时针方向旋转，得到 ．当点E的对应点 与点A重合时，求证： ．
【数学理解】（2）如图2，在 中 ， 是 的中位线．连接 ，将 绕点D按
逆时针方向旋转，得到 ，连接 ， ，作 的中线 ．求证： ．【拓展探索】（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ．过点D作 ，垂足为
E， ， ．在四边形 内是否存在点G，使得 ？若存在，请给出证
明；若不存在，请说明理由．
9．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，
连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说
明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
10．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接
BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点
A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ ，求BD的长．
11．（2023·湖北·九年级专题练习）在 和 中， ， ，且 ，
点E在 的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且 ．
【观察猜想】（1）如图①，当 时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的
数量关系为__________．
【探究证明】（2）如图②，当 时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，
请说明理由；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若 ，请直接写出 的面积．
12．（2023·广西一模）如图， 和 均为等腰直角三角形，．现将 绕点C旋转．
（1）如图1，若 三点共线， ，求点B到直线 的距离；
（2）如图2，连接 ，点F为线段 的中点，连接 ，求证： ；
（3）如图3，若点G在线段 上，且 ，在 内部有一点O，请直接写出
的最小值．
13．（2023·广西·九年级课时练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边 中，点 是边 上任意一点，连接 ，以 为边作等边 ，
连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰 中， ，点 是边 上任意一点，以 为腰作等腰 ，
使 ， ，连接 ，判断 和 的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形 中，点 是边 上一点，以 为边作正方形 ， 是正方
形 的中心，连接 ．若正方形 的边长为5， ，求正方形 的边长．
14．（2024·河南·九年级专题练习）规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做
“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．
（1）问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针
旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为
_____；
（2）类比探究：如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中
的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转
角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．15．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）类比探究
【问题背景】已知D、E分别是 的 边和 边上的点，且 ，则 把
绕着A逆时针方向旋转，连接 和 ．
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________②若 ， ， ，则 __________．
【迁移应用】在 中， ， ，D、E、M分别是 、 、 中点，连接
和 ．①如图3，写出 和 的数量关系__________；②如图4，把 绕着点A逆时针方向旋
转，当D落在 上时，连接 和 ，取 中点N，连接 ，若 ，求 的长．
【创新应用】如图5： ， ， 是直角三角形， ， ，
将 绕着点A旋转，连接 ，F是 上一点，且 ，连接 ，请直接写出 的取值范围．16．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）（1）如图1，正方形 和正方形 （其中
，连接 ， 交于点 ，请直接写出线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）如图2，矩形 和矩形 ， ， ， ，将矩形 绕点 逆
时针旋转 ，连接 ， 交于点 ，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；
若不成立，请写出线段 ， 的数量关系和位置关系，并说明理由．
17．（2024·广东深圳·九年级校联考期中）【模型发现】如图 1， ，求证： ．
【深入探究】如图2，等边 中， ， 是 上的动点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，当点 从 运动到 时，求点 的运动路径长．
【应用拓展】如图3，等腰 中， ， 于 ， 是 上的一点，连接 ，将绕着点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的值为_______．
18．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形 中， ， ．
点 ， 分别在 ， 上， ．
(1)操作发现：将图（1）中的 绕点 逆时针旋转，当点 落在 边上时， 交 于点 ，如图
（2）．发现： ．请证明这个结论．
(2)实践探究：将图（1）中的 绕点 顺时针旋转（ ），当 ， ， 三点在同一条直线
上时，连接 ，如图（3）．请解答以下问题：
①求证： ；②探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
