2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：指数函数及其性质
一、选择题（共20小题；）
1. 若指数函数 f (x)=(a+1) x 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围为 ()
A. (−∞,2) B. (2,+∞) C. (−1,0) D. (0,1)
2. 已知函数 f (x)=(x−a)(x−b)（其中 a>b），若 f (x) 的图象如图所示，则函数 g(x)=ax+b
的图象大致为 ()
A. B.
C. D.
3. 若不等式
(1)
x2−2ax
<23x+a2
恒成立，则实数 a 的取值范围是 ()
2
(3 ) ( 3) ( 3)
A. (0,−1) B. ,+∞ C. 0, D. −∞,
4 4 44. 若 a=20.5，b=20.6，c=0.62，则 a，b，c 的大小关系是 ()
A. a<b<c B. c<b<a C. a<c<b D. c<a<b
5. 函数 y=a|x|+1(a>0且a≠1)，x∈[−k,k]，k>0 的图象可能为 ()
A. B.
C. D.
(2) 2 (2) 1 (2) 2
6. 3， 3， 3 的大小关系是 ()
3 3 5
(2) 1 (2) 2 (2) 2 (2) 1 (2) 2 (2) 2
A. 3> 3> 3 B. 3> 3> 3
3 3 5 3 5 3
(2) 2 (2) 1 (2) 2 (2) 2 (2) 1 (2) 2
C. 3> 3> 3 D. 3> 3> 3
5 3 3 3 3 5
7. 已知 0<a<1，b<−1，则函数 y=ax+b 的图象必定不经过 ()
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 已知对于任意实数 a（a>0，且 a≠1），函数 f (x)=7+ax−1 的图象恒过点 P，则点 P 的坐
标是 ()
A. (1,8) B. (1,7) C. (0,8) D. (8,0)
9. 若 2x−2y<3−x−3−y，则 ()
A. ln(y−x+1)>0 B. ln(y−x+1)<0
C. ln∣x−y∣>0 D. ln∣x−y∣<0
10. 若 2x−2y<3−x−3−y，则 ()
A. ln(y−x+1)>0 B. ln(y−x+1)<0
C. ln∣x−y∣>0 D. ln∣x−y∣<0
(1) x
11. 已知函数 f (x)=∣lgx∣− 有两个零点 x ，x ，则有 ()
2 1 2
A. x x <0 B. x x =1 C. x x >1 D. 0<x x <1
1 2 1 2 1 2 1 2
12. 基本再生数 R 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染
0
的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用
指数模型：I(t)=ert 描述累计感染病例数 I(t) 随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长
率 r 与 R ，T 近似满足 R =1+rT．有学者基于已有数据估计出 R =3.28，T=6．据此，
0 0 0
在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ln2≈0.69）()A. 1.2 天 B. 1.8 天 C. 2.5 天 D. 3.5 天
13. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 θ∘C，空气的温度是 θ∘C，经过 t 分钟后
1 0
物体的温度 θ∘C 可由公式 θ=θ +(θ −θ )e−kt 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触
0 1 0
状况而定的大于 0 的常数．现有 80∘C 的物体，放在 20∘C 的空气中冷却，4 分钟以后物体
的温度是 40∘C，则 k 约等于（参考数据：ln3≈1.099）()
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3
14. 已知函数 f (x)=ex+2(x<0) 与 g(x)=ln(x+a)+2 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实
数 a 的取值范围是 ()
A. (−∞,e) B. (0,e) C. (e,+∞) D. (−∞,1)
15. 设 a≠0，若对任意 x∈R，都有 (ax−1)[e(a+1)x−2]≥0，则实数 a 的值为 ()
1 1
A. ln2−1 B. C. e−2 D.
ln2−1 e−2
16. 已知函数 f (x)=2x−x−1，则不等式 f (x)>0 的解集是 ()
A. (−1,1) B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (0,1) D. (−∞,0)∪(1,+∞)
17. 在同一直角坐标系中，函数 y= 1 ，y=log ( x+ 1) （a>0 且 a≠1）的图象可能是 ()
ax a 2
A. B.
C. D.
18. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分
x(e−x+ex)
家万事休．”函数 f (x)= 的部分图象大致为 ()
2+cosx
A. B.C. D.
19. 下列命题中，真命题的为 ()
甲：函数 f (x) 在定义域上为增函数的充分条件是它在定义域上为严格增函数；
乙：定义域均为 R 的函数 f (x)=4x 和 g(x)=e2xln2 为同一函数；
丙：如果函数 ℎ(x) 的图象连续不断，ℎ(1)×ℎ(−1)>0，则函数 ℎ(x) 在 (−1,1) 上没有零
点．
A. 甲 B. 丙 C. 甲、乙 D. 甲、丙
20. 设 0<a<1，函数 f (x)=log (a2x−2ax−2)，则使 f (x)<0 的 x 的取值范围是 ()
a
A. (−∞,0) B. (0,+∞) C. (−∞,log 3) D. (log 3,+∞)
a a
二、填空题（共5小题；）
21. 下列函数中是指数函数的有 ．（填序号）
① y=4x；② y=x4；③ y=−4x；④ y=(−4) x；⑤ y=πx；⑥ y=4x2；⑦ y=xx；⑧
1
y=(2a−1) x（a> ，且 a≠1）；⑨ y=a−x（a>0，且 a≠1）．
2
(3) x 2+3a
22. 关于 x 的方程 = 有负数根，则实数 a 的取值范围为 ．
2 5−a
23. 若关于 x 的方程 9x+(4+a)⋅3x+4=0 有解，则实数 a 的取值范围是 ．
24. 方程 9x+3x−2=0 的解是 ．
{(1) x
+1, x≥1
2
25. 已知函数 f (x)= ，若函数 g(x)=f (x)−k 有两不同的零点，则实数 k 的
3x
, 0<x<1
2
取值范围是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 当 x 充分大时，试比较下列各函数：y =10x，y =8x2，y =4x4，y =2×3x，y =5x 值的
1 2 3 4 5
大小．你能从中归纳出一些规律性的结论吗?
ax−1
27. 求函数 y= （a>0 且 a≠1）的值域．
ax+11 λ
28. 已知函数 f (x)= − +4(−1≤x≤2)．
4x 2x−1
3
（1）若 λ= ，求函数 f (x) 的值域．
2
（2）若方程 f (x)=0 有解，求实数 λ 的取值范围．
29. 已知函数 y=a2x+2ax−1（a>0 且 a≠1），当 x≥0 时，求函数 f (x) 的值域．
30. 已知 f (x)=
(m2
)
x
与 g(x)=(4m−m2) x 均为指数函数．
4
（1）若 y=f (x) 在定义域上是严格增函数，求实数 m 的取值范围；
（2）若对于任意 x∈[0,+∞)，都有 f (x)≥g(x)，求实数 m 的取值范围；
{ f (x), x<1
（3）若 ℎ(x)= 是 R 上的严格增函数，求实数 m 的取值范围．
(4m−m2)x, x≥1答案
1. C 【解析】由指数函数的单调性，可知 0<a+1<1，所以 −1<a<0．
2. A 【解析】由题中 f (x)=(x−a)(x−b) 的图象及 a>b，可得 b<−1，0<a<1．
由 0<a<1 可得函数 g(x)=ax+b 是减函数，又由 b<−1 可得其函数图象与 y 轴交点在 x 轴的
下方．
分析选项可得A满足这两点，B，C，D均不满足．
3. B 【解析】因为 y=2x 在 R 上单增，
又因为
(1)
x2−2ax
<23x+a2
恒成立，
2
所以 22ax−x2<23x+a2 恒成立，
所以 2ax−x2<3x+a2 恒成立，
所以 x2+(3−2a)x+a2>0 恒成立，
所以 Δ<0，
3
(3−2a) 2−4a2<0，9−12a<0，a> ．
4
4. D 【解析】因为函数 y=2x 是单调增函数，且 0<0.5<0.6，
所以 1=20<20.5<20.6，即 1<a<b；
又函数 y=0.6x 是单调减函数，且 2>0，
所以 0.62<0.60=1，即 c<1；
所以 c<a<b．
5. C
【解析】由题意易知，函数 y=a|x|+1 为偶函数，且 y>1，排除A，B．当 a>1 时，函数图象在
[0,k] 上单调递增，但图象应该是下凸，排除D．
(2) x (2) x
y= y=
3 5
6. A 【解析】画出 和 的大致图象，如图所示．
(2) 1 (2) 2 (2) 2
由图可知 3> 3> 3．故选A．
3 3 5
7. A
8. A 【解析】在函数 f (x)=7+ax−1（a>0，且 a≠1）中，当 x=1 时，f (1)=7+a0=8，所以函
数 f (x)=7+ax−1（a>0，且 a≠1）的图象恒过定点 P(1,8)．
9. A 【解析】由 2x−2y<3−x−3−y 得：2x−3−x<2y−3−y，令 f (t)=2t−3−t．因为 y=2x 为 R 上的增函数，y=3−x 为 R 上的减函数，
所以 f (t) 为 R 上的增函数，所以 x<y．
因为 y−x>0，所以 y−x+1>1，所以 ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；
因为 ∣x−y∣ 与 1 的大小不确定，故C，D无法确定．
10. A
【解析】由 2x−2y<3−x−3−y 得：2x−3−x<2y−3−y，令 f (t)=2t−3−t．
因为 y=2x 为 R 上的增函数，y=3−x 为 R 上的减函数，
所以 f (t) 为 R 上的增函数，所以 x<y．
因为 y−x>0，所以 y−x+1>1，所以 ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；
因为 ∣x−y∣ 与 1 的大小不确定，故C，D无法确定．
11. D 【解析】根据分析，不妨设 0<x <1，x >1，根据函数零点的概念则有
1 2
(1) x 1 (1) x 2 (1) x 1 (1) x 2
∣lgx ∣− =0，∣lgx ∣− =0，即 −lgx = ，lgx = ，后面的方程减去前面
1 2 2 2 1 2 2 2
(1) x 2 (1) x 1 (1) x 2 (1) x 1
的方程得 lg(x x )= − ，由于 x >x ，根据指数函数的性质， − <0，所以
1 2 2 2 2 1 2 2
lg(x x )<0，即 0<x x <1．
1 2 1 2
12. B 【解析】因为 R =3.28，T=6，R =1+rT，
0 0
3.28−1
所以 r= =0.38，所以 I(t)=ert=e0.38t．
6
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t 天，
1
则 e0.38(t+t 1 )=2e0.38t，所以 e0.38t 1=2，所以 0.38t =ln2，
1
ln2 0.69
所以 t = ≈ ≈1.8 天．
1 0.38 0.38
13. D
14. A 【解析】由题意知，方程 f (−x)−g(x)=0 在 (0,+∞) 上有解，
即 e−x−ln(x+a)=0 在 (0,+∞) 上有解，
即函数 y=e−x 与 y=ln(x+a) 的图象在 (0,+∞) 上有交点，
则 ln(x+a)<1，
即 x+a<e，a<e−x
则 a 的取值范围是：(−∞,e)．
15. B
【解析】(ax−1)[e(a+1)x−2]≥0 等价于 ax−1 与 e(a+1)x−2 同号．
令 f (x)=ax−1，g(x)=e(a+1)x−2，
则 f (x) 和 g(x) 都是 R 上的单调函数，且都过定点 (0,−1)，
因此当且仅当 f (x) 和 g(x) 有相同的零点时同号（如图），1 a+1
由 f (x)=ax−1=0 得 x= a ，代入 g(x) 得 e a −2=0 ，
1
解得 a= ．
ln2−1
16. D 【解析】因为 f (x)=2x−x−1，所以 f (x)>0 等价于 2x>x+1，
在同一直角坐标系中作出 y=2x 和 y=x+1 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 (0,1)，(1,2)，
不等式 2x>x+1 的解为 x<0 或 x>1．
所以不等式 f (x)>0 的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞)．
17. D
−x(ex+e−x)
18. C 【解析】f (−x)= =−f (x)，图象关于原点对称，B，
2+cos(−x)
当 x>0 时，f (x)>7．
19. C 【解析】甲：若函数是严格增函数 ⇒ 函数为增函数，甲对；
乙：g(x)=e2xln2=4x，x∈R，
f (x)=4x，x∈R，
解析式相同，定义域相同，乙对；
丙：反例：ℎ(x)=∣x∣，
ℎ(−1)=1，ℎ(1)=1，
ℎ(−1)⋅ℎ(1)=1>0，
x=0 时 ℎ(0)=0，
故 ℎ(x) 在 (−1,1) 不一定没有零点，丙错．
20. C【解析】由 f (x)<0，得
log (a2x−2ax−2)<log 1,
a a
因为 0<a<1，所以原不等式化为
a2x−2ax−2>1,
结合 ax>0，解得
ax>3,
所以
x<log 3.
a
21. ①⑤⑧⑨
【解析】②不是指数函数，自变量不在指数上；③是 −1 与 4x 的乘积，不是指数函数；④中底数
−4<0，故不是指数函数；⑥中指数不是自变量 x，而是 x 的函数 x2，故不是指数函数；⑦中底数
x 不是常数，故不是指数函数．故正确答案是①⑤⑧⑨．
2 3
22. − <a<
3 4
【解析】由 x<0，得
(2) x
0< <1,
3
2+3a
则有 0< <1，解之即得．
5−a
23. {a∣a≤−8¿¿
【解析】令 3x=t>0，则关于 x 的方程 9x+(4+a)⋅3x+4=0 即 t2+(4+a)t+4=0 有正实数解．
t2+4t+4 ( 4)
故 a= =−4− t+ ，
−t t
4 4 ( 4)
由基本不等式可得 t+ ≥4，当且仅当 t= 时，等号成立，故 − t+ ≤−4，故
t t t
( 4)
−4− t+ ≤−8，
t
即 a≤−8．
24. x=0
【解析】因为 9x+3x−2=0，
即 (3x) 2 +3x−2=0，
所以 (3x+2)(3x−1)=0，
解得 3x=−2（舍去）或 3x=1，
所以 x=0．( 3)
25. 1,
2
【解析】在同一坐标中作出函数 y=f (x) 与直线 y=k 的图象，如图所示，
若函数 g(x)=f (x)−k 有两个不同的零点，则函数 y=f (x) 的图象与直线 y=k 有两个交点，
( 3)
由图可知，实数 k 的取值范围是 1, ．
2
26. 当 x 充分大时，n 越大，y=axn(n>1,a>0) 的值递增得越快，c 越大，y=bcx(b>0,c>0)
的值递增得越快．当 x 充分大时，各函数值由大到小依次是 y ，y ，y ，y ，y ．
5 4 3 2 1
ax−1 2
27. y= =1− ，因为 ax>0，所以 ax+1>1，
ax+1 ax+1
2 2 2
所以
0< <2，所以 −2<− <0，所以 −1<1− <1，
ax+1 ax+1 ax+1
所以函数的值域为 (−1,1)．
1 λ (1) 2x (1) x
28. （1） f (x)= − +4= −2λ⋅ +4(−1≤x≤2)．
4x 2x−1 2 2
设 t= (1) x ，得 g(t)=t2−2λt+4 (1 ≤t≤2 ) ．
2 4
当 λ= 3 时，g(t)=t2−3t+4= ( t− 3) 2 + 7(1 ≤t≤2 ) ．
2 2 4 4
(1) 53 (3) 7
所以 g(t) =g = ，g(t) =g = ．
max 4 16 min 2 4
53 7
所以 f (x) = ，f (x) = ．
max 16 min 4
[7 53]
故函数 f (x) 的值域为 , ．
4 16
1 1
（2） 方程 f (x)=0 有解可转化为 λ=2⋅2x+ ⋅ (−1≤x≤2)，
2 2x
设
φ(x)=2⋅2x+ 1 (1 ≤2x≤4 )
，
2⋅2x 21
当 2x= ，即 x=−1 时，φ(x) =2；
2 min
65
当 2x=4，即 x=2 时，φ(x) = ．
max 8
[ 65]
所以函数 φ(x) 的值域为 2, ．
8
[ 65]
故实数 λ 的取值范围是 2, ．
8
29. 因为 y=a2x+2ax−1，令 t=ax，
所以 y=g(t)=t2+2t−1=(t+1) 2−2．
当 a>1 时，
因为 x≥0，
所以 t≥1，
所以当 a>1 时，y≥2，
当 0<a<1 时，
因为 x≥0，
所以 0<t≤1，
因为 g(0)=−1，g(1)=2，
所以当 0<a<1 时，−1<y≤2．
综上所述，当 a>1 时，函数的值域是 [2,+∞)；
当 0<a<1 时，函数的值域是 (−1,2]．
m2
30. （1） 由题意，可知 >1，解得 m<−2 或 m>2，
4
即 m 的取值范围为 (−∞,−2)∪(2,+∞)．
{
m2
（2） 由 f (x)= (m2 ) x ，g(x)=(4m−m2) x 都是指数函数，可得 0< 4 ≠1,
4
0<4m−m2≠1,
解得 0<m<4 且 m≠2±√3，m≠2．
当 x=0 时，f (0)=g(0)=1，f (x)≥g(x) 成立；
当 x∈(0,+∞) 时，幂函数 l(t)=tx 在区间 (0,+∞) 上是增函数，
所以由 f (x)≥g(x)，可得 (m2 ) x ≥(4m−m2) x ，则 m2 ≥4m−m2，解得 m≤0 或 m≥ 16 ．
4 4 5
[16 )
综上所述，实数 m 的取值范围是 ,2+√3 ∪(2+√3,4)．
5
{ f (x), x<1
（3） 因为函数 ℎ(x)= 是 R 上的严格增函数，
(4m−m2)x, x≥1m2
{ >1,
4
所以 4m−m2>0,
m2
≤4m−m2,
4
{
m<−2或m>2,
0<m<4, 16
解得 得 2<m≤ ．
16 5
0≤m≤ ,
5
( 16]
因此，实数 m 的取值范围是 2, ．
5
