文档文本内容
第 3 讲 指数函数与对数函数
1. 本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，类比幂函数的研究方法，学习指
数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。
2. 通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问
题的变化规律。
考点一 指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：( )n＝a(a 使 有意义)；当 n 为奇数时， ＝a，当 n 为偶数时， ＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意
义是 ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 没有 意义 .
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r + s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象定义域 R
值域 ( 0 ，＋∞ )
过定点 ( 0 ， 1 )，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，y>1；
性质
当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
4.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， .
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
考点二 对数与对数函数
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logN，其中a叫做对数的底数，N叫
a
做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②logab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log(MN)＝logM＋logN；
a a a
②log ＝logM－logN；
a a a
③logMn＝nlogM(n∈R)；
a a
④log m Mn＝ logM(m，n∈R，且m≠0).
a a
(3)换底公式：logN＝ (a，b均大于零且不等于1).
b
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
a
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
性质
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x
a
对称.
5.常用结论
①.换底公式的两个重要结论
(1)logb＝ ；(2)log m bn＝ logb.
a a a
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
③.对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， ，函数图象只在第一、
a
四象限.
考点三 函数的应用（二）
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝
f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x 0) (x 0) 无
2, 1,
零点个数 2 1 0
3．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogx＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
a
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋ (a>0)
4.三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝logx(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大，逐渐表 随x的增大，逐渐表 随n值变化而各有不
图象的变化
现为与y轴平行 现为与x轴平行 同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有logx<xn<ax
0 0 a
高频考点一 指数与指数函数
例1、计算下列各式的值：
(1)(2 )0＋22· － ；
(2) log 3·(log 2＋log 2)＋( )2＋ln －lg1.
2 3 9
【答案】(1) ；
(2) .【解析】
（1）解：原式= .
（2）解：原式= .
例2、已知函数 ，若 的值域是 ，求 的值．
【答案】0
【解析】
令 ，则 ，
因为 的值域是 ，即 的值域是 ，
所以 的值域为 ，
若 ，则 为二次函数，其值域不可能为 ，
若 ，则 ，其值域为 ，
所以
【变式训练】
1、计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）解： = = = =
= ；（2）解： = = .
2、已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵ 是减函数， ，所以 ，
又 ，
∴ ．
故选：C．
高频考点二 对数与对数函数
例1、化简 ___________.
【答案】
【解析】
原式 .
故答案为： .
例2、已知图中曲线 分别是函数 ， ， ， 的图像，
则 的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由对数的性质 有： ， ， ，
结合图像有：
，故A，C，D错误.
故选：B.
【变式训练】
1、若函数 是奇函数，当 时， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
解：因为 为奇函数，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ；
故选：A.2、关于函数 的单调性的说法正确的是（ ）
A．在 上是增函数 B．在 上是减函数
C．在区间 上是增函数 D．在区间 上是减函数
【答案】C
【解析】
由函数 的解析式知定义域为 ，
设 ，
显然 在 上是增函数， 在 上是增函数，
由复合函数的单调性可知 在 上是增函数，
故选：C
高频考点三 函数的零点与方程的解
例1、设 依次表示函数 的零点，则 的大小
关系为______．
【答案】
【解析】
函数 的零点，
即为方程 的解，
在坐标系中分别画出函数 与 的图象，
如图所示，结合图象，可得 .
故答案为： .【变式训练】
1、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c且不等式f（x）<2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有
恒成立.
(1)求f（x）的解析式；
(2)若 恰有两个零点，求m的值.
【答案】(1)
(2) 或
【解析】
（1）由 得 ，又 的解集为 ， 所以
①，因为对任意的 都有 恒成立，所以 ，将①代入解得 ， ，所以 ；
（2）由 得 ，
，由 得 ，由 得 或 ；所以 在
上单调递减，在 ， 上单调递增；所以 有极小值 ， 有极大值
，若 恰有两个零点，只需 或 ；解得 或 .
四 函数模型的应用
高频考点
例1、叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收
纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，
叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是 ，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为
多少个单位（ ）
A．2 B． C．160 D．6
【答案】C
【解析】
由题意有： ，
所以
所以 ，
所以 ，
故选：C
【变式训练】
1、某厂准备投资100万元生产A､B两种新产品，据测算，投产后的年收益：A产品是投资额的 ，B产品
是其投资额的开平方后的2倍.(1)若投资x万元生产B产品，分别求出A产品､B产品的年利润f（x）､g（x）与x的函数关系式；
(2)当B产品的投资额为多少时，两种产品的年总收益h（x）最大？
【答案】(1)
(2)25万
【解析】
（1）由条件得 ； ，
（2）由题意知总收益 ， 设 ，则0≤t≤10
.∵0≤t≤10∴当t=5时，即x=25时， 取得最大值25（万元）.故当B产品的投资额为25
万元时，两种产品的总收益取最大值25万元
