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第 7 节 函数的图象
考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列
表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决
方程解的个数与不等式解的问题.
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、
单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小
值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( x )的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( － x ) 的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( － x )的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――→
y＝log x(a>0，且a≠1)的图象.
a
(3)伸缩变换
y＝f(x)―――――――――――――――――――――→y＝f(ax).
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝Af(x).
(4)翻折变换y＝f(x)的图象――――――――――――――――→y＝ | f ( x ) |的图象；
y＝f(x)的图象――――――――――――――――――→y＝ f ( | x |) 的图象.
1.函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－
⇔
x)＝f(2a＋x)；
⇔ ⇔
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关
于直线x＝对称.
2.函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数 y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－
⇔
x) f(－x)＝－f(2a＋x)；
⇔
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－
⇔
f(2a－x).
⇔
3.两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴
方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.( )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(
)
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标
伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.
(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.
2.下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
解析 其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.
3.(2021·昆明质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应
的函数为( )
A.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|)
C.y＝|f(x)| D.y＝－|f(x)|
答案 B
解析 观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴
左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式
为y＝f(－|x|).
4.(2021·天津卷)函数y＝的图象大致为( )答案 B
解析 设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；
当x∈(0，1)时，ln|x|＜0，x2＋1＞0，
所以f(x)＜0，排除D.
5.(易错题)设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象
由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________.
答案 －log (x－1)
2
解析 与f(x)的图象关于y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log x，再将其
2
图象右移1个单位得到h(x)＝－log (x－1)的图象.
2
6.(2022·西安调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝logf(x)的定义域是
________.
答案 (2，8]
解析 当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，
x∈(2，8].
考点一 作函数的图象例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝2|x|＋1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解 (1)将y＝2x的图象关于y轴作对称图象，取y≥1的部分得y＝2|x|的图象，再
将所得图象向上平移1个单位长度，得到y＝2|x|＋1的图象，如图①所示(实线部
分).
(2)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)
的图象，再把所得图象在 x轴下方的部分翻折到 x轴上方，即得所求函数 y＝|
lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分).
(3)y＝x2－|x|－2＝函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对
称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示.
感悟提升 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数
时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，
可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式
的影响.
训练1 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|x2－5x＋4|；(2)y＝.
解 (1)令y＝x2－5x＋4＝0，解出两根为1，4，得到y＝x2－5x＋4的图象.将x轴
以下的部分关于x轴作对称图形，得到y＝|x2－5x＋4|的图象，如图①所示(实线
部分).(2)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个
单位得到，如图②所示.
考点二 函数图象的辨识
1.函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.
当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.
2.已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是( )
答案 D
解析 法一 当x>0时，－x<0，
所以g(x)＝－f(－x)＝，
当x≤0时，－x≥0，g(x)＝－x2，
从而根据函数的取值正负情况可知D正确.
法二 也可先画出f(x)的图象，再关于原点对称得g(x)的图象.
3.已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )答案 D
解析 法一 先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数
f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝
f(1－x)的图象(图略)，故选D.
法二 由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数过点(0，3)，排除A；
过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.
4.(2022·成都诊断)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)可以为( )
A.f(x)＝－
B.f(x)＝
C.f(x)＝－x
D.f(x)＝
答案 A
解析 根据图象可知，函数 f(x)为奇函数，以及函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且有一个零点，首先对 4个选项进行奇偶性判断，可知 f(x)＝为偶函数不符合题
意，排除B；
其次在剩下的 3个选项中，对其在(0，＋∞)上的零点个数进行判断，f(x)＝在
(0，＋∞)上无零点，排除D；
f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，排除C.故选A.
感悟提升 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右
位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的
变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象
的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
考点三 函数图象的应用
角度1 研究函数的性质
例2 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故
函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.
角度2 在不等式中的应用
例3 (1)若函数f(x)＝log (x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________.
2
(2)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式<0 的解集为
________.
答案 (1)>>
(2)(－1，0)∪(0，1)
解析 (1)由题意可得，，，分别看作函数 f(x)＝log (x＋1)图象上的点(a，f(a))，
2
(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.
结合图象可知，当a>b>c>0时，
<<.
(2)因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，
即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，
所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1).
角度3 求参数的取值范围
例4 (1)(2022·洛阳模拟)已知f(x)＝若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实数根，
则实数a的取值范围是( )
A.∪[1，2) B.∪[1，2)
C.(1，2) D.[1，2)
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，
则实数a的取值范围为________.
答案 (1)B (2)(0，1)∪(9，＋∞)
解析 (1)关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即f(x)的图象与直线y＝a恰
有两个不同的交点，作出f(x)的图象如图所示.
由图象可得a的取值范围为∪[1，2).
(2)设y ＝f(x)＝|x2＋3x|，y ＝a|x－1|.
1 2
在同一直角坐标系中作出y ＝|x2＋3x|，
1
y ＝a|x－1|的图象如图所示.
2
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y ＝|x2＋3x|与y ＝a|x－1|的
1 2图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，
所以①(－3<x<0)有两组不同解.
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，该方程有两个不等实根x ，x ，
1 2
∴
∴0<a<1.
②(x>1)有两组不同解.
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两不等实根x ，x ，
3 4
∴Δ＝a2－10a＋9>0，
又∵x ＋x ＝a－3>2，x x ＝a>1，
3 4 3 4
∴a>9.
综上可知，0<a<1或a>9.
感悟提升 1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期
性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应
关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)＝g(x)的根就是
函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于
g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.
训练2 (1)(2021·唐山模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f(x)>g(x)恒成立，
则实数k的取值范围是________.
(2)已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，函数g(x)＝log (x＋1)，则不
2
等式f(x)≥g(x)的解集是( )
A.{x|－1<x≤0} B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1<x≤1} D.{x|－1<x≤2}
(3)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是______.
答案 (1) (2)C (3)5解析 (1)如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k<时，g(x)的图象恒在f(x)下方.
(2)作出函数g(x)图象如图所示，
由题可知，BC所在的直线方程为x＋y＝2，
由解得
所以结合图象知不等式f(x)≥g(x)的解集为{x|－1<x≤1}.
(3)方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.
作出y＝f(x)的图象，由图象知y＝f(x)与y＝有2个交点，y＝f(x)与y＝1有3个交
点，故零点的个数为5.
1.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈
线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量
Q随时间t变化的图象是( )答案 B
解析 依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数
衰减，图象B适合.
2.(2022·河南名校联考)函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(x)＝，
所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D；
又当x∈时，f(x)>0，所以排除B.选A.
3.若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log (|x|－1)的图
a
象可能是( )
答案 D
解析 由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.
又y＝log (|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
a∴当x>1时，y＝log (x－1)的图象由y＝log x的图象向右平移一个单位得到.因此
a a
D正确.
4.下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
答案 B
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对
称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所
以y＝ln(2－x).
法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图
象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
5.(2021·郑州模拟)已知函数f(x)＝－x＋1＋log x，则不等式f(x)<0的解集是( )
2
A.(0，2)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(1，2)
D.(0，1)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 函数 f(x)＝－x＋1＋log x 的定义域为(0，＋∞)，且 f(1)＝f(2)＝0，由
2
f(x)<0可得log x<x－1，作出函数y＝log x与函数y＝x－1的图象如图所示.
2 2
则函数y＝log x与函数y＝x－1图象的两个交点的坐标为(1，0)，(2，1)，由图象
2
可知，不等式log x<x－1的解集为(0，1)∪(2，＋∞).故选D.
2
6.(2022·大庆模拟)我们从某公司的商标 中抽象出一个图象，如图所示.其对应
的函数解析式可能是( )A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案 D
解析 由题图可知，f(x)为偶函数，故C错误；
又f(x)>0恒成立，对于A，f(x)＝>0不恒成立，故A错误；
由图知f(x)在x＝－1和x＝1处无定义，故B错误.故选D.
7.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2.当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)
＝－g(x)，则h(x)( )
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两
点.
由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；
在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.
8.若函数 y＝f(x)的图象恒过点(2，2)，则函数 y＝f(5－x)的图象一定经过点
________.
答案 (3，2)
解析 ∵f(5－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移5个
单位长度得到，点(2，2)关于y轴对称的点(－2，2)，再将此点向右平移5个单位长度为(3，2)，∴y＝f(5－x)的图象一定过点(3，2).
9.已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________.
答案 {－1}∪(0，＋∞)
解析 在同一平面直角坐标系内作出函数 y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知
当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数
f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点.
10.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解
集为(－1，2)，则实数t的值为________.
答案 1
解析 由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，
即f(3)<f(x＋t)<f(0).
又y＝f(x)在R上单调递减，
∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).
依题意，得t＝1.
11.(2021·兰州质检)设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝x对称，且f(3)
＋f＝4，则实数a＝________.
答案 －2
解析 设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝的图象上，
所以x＝，则y＝logx－a.
因此f(x)＝logx－a.
由f(3)＋f＝4，得－1＋1－2a＝4，
所以a＝－2.
12.(2022·哈尔滨模拟)若函数 f(x)＝的值域是(a，＋∞)，则 a 的取值范围是________.
答案
解析 画出函数f(x)＝的图象，如图所示.
f(x)＝x2＋1(x<1)的值域是[1，＋∞)，
f(x)＝a＋(x≥1)的值域是，
要使函数f(x)的值域是(a，＋∞)，
则解得≤a<1，
所以a的取值范围是.
13.若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关
于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)
可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，
看它与函数 y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即
f(x)的“和谐点对”有2个.
14.(2021·上海卷)已知函数y＝f(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件
的是( )
A.f(x)为偶函数且图象关于点(1，1)对称
B.f(x)为偶函数且图象关于直线x＝1对称C.f(x)为奇函数且图象关于点(1，1)对称
D.f(x)为奇函数且图象关于直线x＝1对称
答案 C
解析 选项A，B，D的反例如图1，2，3所示，故选项A，B，D错误；
对于选项C，∵f(x)为奇函数且图象关于点(1，1)对称，
∴f(x)＋f(－x)＝0，f(2＋x)＋f(－x)＝2，∴f(2＋x)－f(x)＝2，
∴f(2k＋x)＝f(x)＋2k，k∈Z，
又f(0)＝0，∴f(2k)＝2k，k∈Z，当k→＋∞时，f(2k)＝2k→＋∞，∴函数f(x)无
最大值，故选C.
15.已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取
值范围是________.
答案 (2，2 023)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a<b<c，
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 022，所以2<a＋b＋c<2 023.
16.已知函数g(x)＝－，h(x)＝cos πx，当x∈(－2，4)时，函数g(x)与h(x)的交点
横坐标分别记为x(i＝1，2，…，n)，则∑x 等于________.
i i
答案 7
解析 易知g(x)＝－的图象关于直线 x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于直线x
＝1对称.作出两个函数的图象，如图所示.根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关
于直线x＝1对称，因此∑x＝3×2＋1＝7.
i
