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第 6 节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成
自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及
其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，的对数函数的
图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且
a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数.
a
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alog N＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R).
a a
(3)换底公式：log N ＝ (a，b均大于零且不等于1，N>0).
b
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
a
定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01时，y<0；当01时，y>0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 y ＝ log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它
a
们的图象关于直线 y ＝ x 对称.
1.换底公式的两个重要结论
(1)log b＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
a
(2)log bn＝log b(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
am a
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数
a
图象只在第一、四象限.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log x2＝2log x.( )
2 2
(2)函数y＝log (x＋1)是对数函数.( )
2
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若log x>log x，则a0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
a
答案 (2，2)
解析 当x＝2时，函数y＝log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过
a
定点(2，2).
5.(易错题)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案 4
解析 ∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，
∴即
则x＝4y>0，∴＝4.
6.若函数 y＝log x(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a＝
a
________.
答案 2或
解析 当 01时，f(x)在[2，4]上单调递增，此时f(x) ＝f(4)，f(x) ＝f(2)，则f(4)－f(2)
max min＝log 2＝1，解得a＝2.
a
考点一 对数的运算
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog 4＝2，则4－a＝( )
3
A. B. C. D.
答案 B
解析 法一 因为alog 4＝2，所以log 4a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.
3 3
法二 因为 alog 4＝2，所以 a＝＝2log 3＝log 32＝log 9，所以 4－a＝4－log 9＝
3 4 4 4 4
4log 9－1＝9－1＝.
4
2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满
足m －m ＝lg，其中星等为 m 的星的亮度为 E (k＝1，2).已知太阳的星等是－
2 1 k k
26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1
答案 A
解析 依题意，m ＝－26.7，m ＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)
1 2
＝25.25.
所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.
3.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝( )
A.－1 B.lg 7 C.1 D.log 10
7
答案 C
解析 ∵2a＝5b＝10，
∴a＝log 10，b＝log 10，
2 5
∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
4.计算：＝________.
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，
转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝log N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运
a
算中应注意互化.
⇔
考点二 对数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝log |x|＋1(00 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y轴对称画出
a
x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得 f(x)的
图象，结合图象知选A.
(2)若方程4x＝log x在上有解，则函数y＝4x和函数y＝log x的图象在上有交点，
a a
由图象知解得00，a≠1)的图象如图，则
a
下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.01.
考点三 解决与对数函数的性质有关的问题
角度1 比较大小
例2 (1)已知a＝2－，b＝log ，c＝log，则( )
2
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若实数a，b，c满足log 21.∴c>a>b.
2 2 2
(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，
即log ca>c.
角度2 解对数不等式
例 3 (1)(2022·太原质检)定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝
log x，则不等式f(x)<－1的解集是________.
2
(2)不等式log (a2＋1)0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log (－x)，
2
∴f(x)＝
当x>0时，f(x)<－1，即log x<－1＝log ，解得01＝log 2，解得x<－2.
2 2
当x＝0时，f(x)＝0<－1显然不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪.
(2)由题意得a>0且a≠1，
故必有a2＋1>2a.
又log (a2＋1)1，即a>.
综上，0恒成立.
即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).
(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log (1＋
2
a)，最小值是f(1)＝log .
2
由题设得log (1＋a)－log ≥2，
2 2
则log (1＋a)≥log (4a＋2).
2 2
∴解得－log g(x)的不等式，主要是应用
a a
函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与00，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
a
则实数a的取值范围是________.
答案 (1)A (2)[1，2) (3)
解析 (1)显然c＝0.30.2∈(0，1).
因为log 3log 4＝2，所以a>2.
2 2
故c1时，f(x)＝log (8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒
a
成立，
则f(x) ＝f(2)＝log (8－2a)>1，
min a
即8－2a>a，且8－2a>0，解得11在区间[1，2]上恒成立，
知f(x) ＝f(1)＝log (8－a)>1，且8－2a>0.
min a
∴8－a0，此时解集为∅.
综上可知，实数a的取值范围是.
1.已知b>0，log b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
5
A.d＝ac B.a＝cd
C.c＝ad D.d＝a＋c
答案 B
解析 ∵log b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，10c＝b.
5
又∵5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，
∴a＝cd.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lg 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是(
)
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
答案 D
解析 由题意可知3x＋＋m能取遍所有正实数.
又3x＋＋m≥m＋4，
所以m＋4≤0，即m≤－4.
∴实数m的取值范围为(－∞，－4].
3.若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 A
解析 由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.
又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.
所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log 2，b＝log 3，c＝，则下列判断正确的是( )
5 8
A.c0，且a≠1)的图象可能是( )
a
答案 D
解析 若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝log 过定点，C项不符
a合，因此00且a≠1)的图象恒过定点
a
A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.
答案 －7
解析 令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)
中，得2＝32＋b，解得b＝－7.
8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.
9.函数f(x)＝log ·log(2x)的最小值为________.
2
答案 －解析 依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝－≥－，当log x＝－，
2 2 2 2 2
即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
10.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝log (x＋1)(a>0，且
a
a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－10，
由题意知f(－x)＝log (－x＋1)，
a
又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以当x<0时，f(x)＝log (－x＋1)，
a
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为－11时，原不等式等价于解得a>2；
②当0m恒成立，求实数m的取值范围.
2
解 (1)因为函数f(x)＝log 是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
2
所以log ＝－log ，
2 2
即log ＝log ，
2 2
所以a＝1，f(x)＝log ，
2
令>0，解得x<－1或x>1，
所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.
(2)f(x)＋log (x－1)＝log (1＋x)，
2 2
当x>1时，x＋1>2，所以log (1＋x)>log 2＝1.
2 2
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log (x－1)>m恒成立，
2
所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].
12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P e－kt，其中P ，k为正
0 0
常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染
物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数
据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)( )
A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h
答案 B
解析 由已知得 1－＝e－10k，方程两边同取自然对数得 ln ＝－10k，所以 k＝
≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则＝e－0.022 3t，方程两边
同取自然对数得ln ＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污
染物减少到最初含量的50%，故选B.
13.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数 a的取值范
围为( )
A.(0，1) B.(0，1]
C.(1，2) D.(0，2]
答案 D
解析 作出函数y＝f(x)的图象(如图)，
方程f(x)－a＝0有两个实数根，
即y＝f(x)与y＝a有两个交点，
由图知，0
