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第 6 节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成
自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及
其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，的对数函数的
图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且
a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数.
a
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alog N＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R).
a a
(3)换底公式：log N ＝ (a，b均大于零且不等于1，N>0).
b
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
a
定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象定义域： (0 ，＋ ∞ )
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点 (1 ， 0)
性质
当x>1时，y<0；当0<x<1时，
当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0
y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 y ＝ log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它
a
们的图象关于直线 y ＝ x 对称.
1.换底公式的两个重要结论
(1)log b＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
a
(2)log bn＝log b(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
am a
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数
a
图象只在第一、四象限.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log x2＝2log x.( )
2 2
(2)函数y＝log (x＋1)是对数函数.( )
2
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若log x>log x，则a<b.( )
a b
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 (1)log x2＝2log |x|，故(1)错误.
2 2
(2)形如y＝log x(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.
a
(4)若0<b<1<a，则当x＞1时，log x＞log x，故(4)错误.
a b
2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测
量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数
记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则
其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
解析 由题意知，4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－＝≈≈0.8，所以该
同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
3.(2021·天津卷)设a＝log 0.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(
2
)
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
答案 D
解析 ∵log 0.3＜log 1＝0，∴a＜0.
2 2
∵log0.4＝－log 0.4＝log ＞log 2＝1，
2 2 2
∴b＞1.
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b.
4.(易错题)函数y＝log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
a
答案 (2，2)
解析 当x＝2时，函数y＝log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过
a
定点(2，2).
5.(易错题)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案 4
解析 ∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，
∴即
则x＝4y>0，∴＝4.
6.若函数 y＝log x(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a＝
a
________.
答案 2或
解析 当 0<a<1 时，f(x)＝log x 在[2，4]上单调递减，故 f(x) ＝f(2)，f(x) ＝
a max min
f(4)，则f(2)－f(4)＝log ＝1，解得a＝.
a
当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，此时f(x) ＝f(4)，f(x) ＝f(2)，则f(4)－f(2)
max min＝log 2＝1，解得a＝2.
a
考点一 对数的运算
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog 4＝2，则4－a＝( )
3
A. B. C. D.
答案 B
解析 法一 因为alog 4＝2，所以log 4a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.
3 3
法二 因为 alog 4＝2，所以 a＝＝2log 3＝log 32＝log 9，所以 4－a＝4－log 9＝
3 4 4 4 4
4log 9－1＝9－1＝.
4
2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满
足m －m ＝lg，其中星等为 m 的星的亮度为 E (k＝1，2).已知太阳的星等是－
2 1 k k
26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1
答案 A
解析 依题意，m ＝－26.7，m ＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)
1 2
＝25.25.
所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.
3.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝( )
A.－1 B.lg 7 C.1 D.log 10
7
答案 C
解析 ∵2a＝5b＝10，
∴a＝log 10，b＝log 10，
2 5
∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
4.计算：＝________.
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，
转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝log N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运
a
算中应注意互化.
⇔
考点二 对数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝log |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
a
(2)若方程4x＝log x在上有解，则实数a的取值范围为________.
a
答案 (1)A (2)
解析 (1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y轴对称.设g(x)
＝log |x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y轴对称画出
a
x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得 f(x)的
图象，结合图象知选A.
(2)若方程4x＝log x在上有解，则函数y＝4x和函数y＝log x的图象在上有交点，
a a
由图象知解得0<a≤.
感悟提升 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐
标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合
法求解.
训练1 (1)已知函数y＝log (x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则
a
下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1
C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1
(2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取
值范围是________.
答案 (1)D (2)(1，＋∞)
解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，
∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数 y＝log x的图
a
象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c<1.
(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象
可知a>1.
考点三 解决与对数函数的性质有关的问题
角度1 比较大小
例2 (1)已知a＝2－，b＝log ，c＝log，则( )
2
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若实数a，b，c满足log 2<log 2<log 2<0，则下列关系中正确的是( )
a b c
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<b<a D.a<c<b
(3)(2021·衡水中学检测)已知a＝，b＝log0.2，c＝ab，则a，b，c的大小关系是()
A.a<b<c B.c<a<b
C.a<c<b D.b<c<a
答案 (1)D (2)C (3)B
解析 (1)∵0<a<1，b＝log ＝－log 3<0，c＝log＝log 3>1.∴c>a>b.
2 2 2
(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，
即log c<log b<log a<0，
2 2 2
可得c<b<a<1.故选C.
(3)函数y＝与y＝logx的图象关于直线y＝x对称，则0<<1<log0.2，∴a<b.
又c＝ab＝＝＝0.20.2<＝a，所以b>a>c.
角度2 解对数不等式
例 3 (1)(2022·太原质检)定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝
log x，则不等式f(x)<－1的解集是________.
2
(2)不等式log (a2＋1)<log (2a)<0，则a的取值范围是________.
a a
答案 (1)(－∞，－2)∪ (2)
解析 (1)设x<0，则－x>0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log (－x)，
2
∴f(x)＝
当x>0时，f(x)<－1，即log x<－1＝log ，解得0<x<.
2 2
当x<0时，f(x)<－1，即－log (－x)<－1，
2
则log (－x)>1＝log 2，解得x<－2.
2 2
当x＝0时，f(x)＝0<－1显然不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪.
(2)由题意得a>0且a≠1，
故必有a2＋1>2a.
又log (a2＋1)<log (2a)<0，所以0<a<1，
a a
所以2a>1，即a>.
综上，<a<1.
角度3 对数型函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝log .
2(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范
围.
解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，
则f(0)＝0，
∴log (1＋a)＝0，∴a＝0.
2
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.
所以a＝0.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，
则＋a>0恒成立.
即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).
(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log (1＋
2
a)，最小值是f(1)＝log .
2
由题设得log (1＋a)－log ≥2，
2 2
则log (1＋a)≥log (4a＋2).
2 2
∴解得－<a≤－.
故实数a的取值范围是.
感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如log f(x)>log g(x)的不等式，主要是应用
a a
函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0<a<1两种情况讨论.
2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义
域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数
的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
训练2 (1)(2019·天津卷)已知a＝log 7，b＝log 8，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关
2 3
系为( )
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则 a的取值范围为
________.(3)已知函数f(x)＝log (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
a
则实数a的取值范围是________.
答案 (1)A (2)[1，2) (3)
解析 (1)显然c＝0.30.2∈(0，1).
因为log 3<log 8<log 9，所以1<b<2.
3 3 3
因为log 7>log 4＝2，所以a>2.
2 2
故c<b<a.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，
要使函数在(－∞，1]上递减，
则有即
解得1≤a<2，即a∈[1，2).
(3)当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒
a
成立，
则f(x) ＝f(2)＝log (8－2a)>1，
min a
即8－2a>a，且8－2a>0，解得1<a<.
当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，
由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x) ＝f(1)＝log (8－a)>1，且8－2a>0.
min a
∴8－a<a且8－2a>0，此时解集为∅.
综上可知，实数a的取值范围是.
1.已知b>0，log b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
5
A.d＝ac B.a＝cd
C.c＝ad D.d＝a＋c
答案 B
解析 ∵log b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，10c＝b.
5
又∵5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，
∴a＝cd.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lg 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是(
)
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
答案 D
解析 由题意可知3x＋＋m能取遍所有正实数.
又3x＋＋m≥m＋4，
所以m＋4≤0，即m≤－4.
∴实数m的取值范围为(－∞，－4].
3.若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 A
解析 由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.
又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.
所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log 2，b＝log 3，c＝，则下列判断正确的是( )
5 8
A.c<b<a B.b<a<c
C.a<c<b D.a<b<c
答案 C
解析 a＝log 2<log ＝＝log 2<log 3＝b，即a<c<b.
5 5 8 8
5.在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log (a>0，且a≠1)的图象可能是( )
a
答案 D
解析 若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝log 过定点，C项不符
a合，因此0<a<1.
当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，于是函数y＝的
图象过定点(0，1)，在R上单调递增，函数y＝log 的图象过定点，在(－，＋∞)
a
上单调递减.因此， 选项D中的两个图象符合.
6.已知函数f(x)＝log (1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：
2
①f(x)的图象关于原点对称；
②f(x)的图象关于y轴对称；
③f(x)的最大值为0；
④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.
其中正确的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案 C
解析 f(x)＝log (1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
2
∴①错误，②正确；
根据f(x)的图象(图略)可知④错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log 1＝0，故③正确.
2
7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log (2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点
a
A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.
答案 －7
解析 令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)
中，得2＝32＋b，解得b＝－7.
8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.
9.函数f(x)＝log ·log(2x)的最小值为________.
2
答案 －解析 依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝－≥－，当log x＝－，
2 2 2 2 2
即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
10.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝log (x＋1)(a>0，且
a
a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围.
解 (1)当x<0时，－x>0，
由题意知f(－x)＝log (－x＋1)，
a
又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以当x<0时，f(x)＝log (－x＋1)，
a
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为－1<f(1)<1，所以－1<log 2<1，
a
所以log <log 2<log a.
a a a
①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；
②当0<a<1时，原不等式等价于
解得0<a<.
综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).
11.已知函数f(x)＝log (a为常数)是奇函数.
2
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log (x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.
2
解 (1)因为函数f(x)＝log 是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
2
所以log ＝－log ，
2 2
即log ＝log ，
2 2
所以a＝1，f(x)＝log ，
2
令>0，解得x<－1或x>1，
所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.
(2)f(x)＋log (x－1)＝log (1＋x)，
2 2
当x>1时，x＋1>2，所以log (1＋x)>log 2＝1.
2 2
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log (x－1)>m恒成立，
2
所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].
12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P e－kt，其中P ，k为正
0 0
常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染
物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数
据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)( )
A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h
答案 B
解析 由已知得 1－＝e－10k，方程两边同取自然对数得 ln ＝－10k，所以 k＝
≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则＝e－0.022 3t，方程两边
同取自然对数得ln ＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污
染物减少到最初含量的50%，故选B.
13.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数 a的取值范
围为( )
A.(0，1) B.(0，1]
C.(1，2) D.(0，2]
答案 D
解析 作出函数y＝f(x)的图象(如图)，
方程f(x)－a＝0有两个实数根，
即y＝f(x)与y＝a有两个交点，
由图知，0<a≤2.
14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这
三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f(x)＝log (＋x)(a∈R)满足________.
2
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－，证明：g(x2－x)≤.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 若选择②f(x)－f(－x)＝0，
因为f(x)－f(－x)＝0，
所以log (＋x)－log (－x)＝0，
2 2
所以＋x＝－x，
所以x＝0，a≥0，
此时求不出a的具体值，所以不能选②.
若选择①f(x)＋f(－x)＝0，
(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以log (＋x)＋log (－x)＝0，
2 2
所以log [(＋x)(－x)]＝0，
2
所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1.
若选择③f(－2)＝－f(2)，
(1)因为f(－2)＝－f(2)，
所以log (－2)＝－log (＋2)，
2 2
所以(－2)(＋2)＝1，
所以4＋a－4＝1，所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝log (＋x)，
2
f(－x)＝log (－x)，
2
所以g(x)＝2log2(－x)＋1－
＝－x＋1－＝－x＋1，
所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1
＝－＋≤.
