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考向 04 函数及其表示
1. 【2022年北京卷第11题】 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；故答案为：
2. 【2022年浙江卷第14题】已知函数 则 ________；若当
时， ，则 的最大值是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，所以 的最大值为 .故答案为： ， .
1.求函数定义域的两种方法
方法 解读 适合题型
构造使解析式有意义的不等式 已知函数的具体表达式，求
直接法
(组)求解 f(x)的定义域
若y＝f(x)的定义域为(a，b)，
已知f(x)的定义域，求f(g(x))
则解不等式a0 （，0]
而 ，所以a≤0，即a的取值范围为 .
10.(2018江苏)函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】要使函数 有意义，则 ，即 ，则函数 的定义域是 ．
C
P
11.（2014卷1，文15）设函数 则使得 成立的l 的取值范围是________.
【答案】 .
【解析】原不等式等价于 或 ，解得 ，故l 的取值范围是 .
x1，x0
1
f(x) f(x) f x 1
2x， x0 2 x
12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数 ，则满足 的 的取
值范围是 ． 1
,
4
【答案】
1 1
x
2x 2 2, x
2
1 1
2x x , 0 x
2 2
1 3
Fx f(x) f x 2x , x0
2 2
【解析】法一：因为
1
1
x Fx22 20 1 2 1
当 2 时， ；
1 3
0 x Fx F0 1
当 2时， 2 ；
3 1
Fx2x 1 x0
当 x0 时，由 2 ，可解得 4
1 1
f(x) f x 1 ,
2 x 4
综上可知满足 的 的取值范围是 ．
x1,x≤0
f x 2x ,x0 f x f x 1 2 1 f x 1 2 1 f x
法二： ， ，即
1
y f x
2 y 1 f x
由图象变换可画出 与 的图象如下：
y
yf(x
1
)
2
1 1
( , )
4 4
1
1 x
2 2
y1f(x)
1 1
由图可知，满足 f x 1 f x 的解为 , ．
2 4 1 1 1 1
x 0 f x f x 1 x1x 11 x0
法三：当 2 且 x0 时，由 2 得 2 ，得 4 ，又
1
f x f x
因 为 f x 是 R上 的 增 函 数 ， 所 以 当 x 增 大 时 ， 2 增 大 ， 所 以 满 足
1 1
f x f x 1 x
2 的 x 的取值范围是 4．
【考点】分段函数；分类讨论的思想
【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段
f
f
a
的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应
自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
