考向04函数及其表示（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 04 函数及其表示
1. 【2022年北京卷第11题】 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；故答案为：
2. 【2022年浙江卷第14题】已知函数 则 ________；若当
时， ，则 的最大值是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，所以 的最大值为 .故答案为： ， .
1.求函数定义域的两种方法
方法 解读 适合题型
构造使解析式有意义的不等式 已知函数的具体表达式，求
直接法
(组)求解 f(x)的定义域
若y＝f(x)的定义域为(a，b)，
已知f(x)的定义域，求f(g(x))
则解不等式a<g(x)<b即可求
的定义域
出y＝f(g(x))的定义域
转移法
若y＝f(g(x))的定义域为(a，
已知f(g(x))的定义域，求f(x)
b)，则求出g(x)在(a，b)上的
的定义域
值域即得f(x)的定义域
2.求函数解析式的4种方法
3.已知函数值或函数值的取值范围，求自变量的值或自变量的取值范围
方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
易错点1：函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量
的取值范围．
易错点2：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并
集，值域是各段值域的并集．
1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为( )
A．(2，＋∞) B．(1，2) C．(0，2) D．[1，2]
【答案】B
【解析】选B.要使函数有意义，则解得1<x<2.
所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．
2．若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为( )
A．(0，3) B．[1，3)∪(3，8] C．[1，3) D．[0，3)
【答案】D
【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数的
定义域为[0，3)．
3.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0)
【答案】D【解析】方法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，
解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.
方法二：因为f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜ f(2x)转化为
x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D.
4.已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________________．
【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)
【解析】 (1)方法一(换元法)：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
5．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
【答案】f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
【解析】方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
(t−1)
所以f(t)＝4 －6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
2
方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2
－5x＋9(x∈R)．
方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋
b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
((2))
6．已知函数f(x)＝若f ＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________．
3
【答案】－5，－6.
(2)
【解析】由题意得，f ＝3×＋1＝3，
3((2))
所以f ＝f(3)＝9＋3a＝－6，
3
所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.
一、单选题
1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
B．若正三角形 的边长为 ，则
C．已知函数 ，则函数 的零点为
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】对于A选项，若函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则有 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，A错；
对于B选项，若正三角形 的边长为 ，则 ，B错；
对于C选项，已知函数 ，令 ，解得 ，
所以，函数 的零点为 ，C错；
对于D选项，若 ，则 、 无意义，即“ ” “ ”；
若 ，可取 ， ，则 ，即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，D对.
故选：D.2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）
① ② ③ ④
A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③①
【答案】A
【解析】 ， 的定义域为 ， ， 的定义域为
在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②
当 时，则
，令 ，则
在 上单调递增，在 上单调递减，则
①对应的为第三个函数
故选：A．
3．（2021·上海杨浦·一模）已知非空集合A，B满足： ， ，函数 ，
对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对 ，使得 为偶函数；②存在无穷多非空集合对 ，
使得方程 无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①､②都正确 D．①､②都错误
【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系画出 与 的图象如下所示：
由 ，解得 ，由函数图象可知当 或
时 为偶函数，故①错误；
令 ，解得 ，令 ，解得 ，因为 ， ， ，
所以当 ， 时满足 无解，故存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解，故
②正确；故选：B
4．（2021·陕西宝鸡·三模（文））切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 对任意的 ，
函数 的最大值为E，即 ，把使E取得最小值时的直线 叫
切比雪夫直线，已知 ，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数 ，在这个前提下，
b的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】当 时，令 ，则 ，所以 ，而 的最大值必然在端点处取得，
故 ，
当 得 时， 的最大值为 ，此时使E取得最小值时 ，当
得 时， 的最大值为 ，而 ，综上， .故选：C.
二、多选题
5．（2021·重庆·三模） 是定义在 上周期为4的函数，且 ，则下列说法中
正确的是（ ）
A． 的值域为
B．当 时，
C． 图象的对称轴为直线
D．方程 恰有5个实数解
【答案】ABD
【解析】根据周期性，画出 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；
根据周期为 ，当 时， ，故B正确.
故选：ABD.6．（2022·山东威海·三模）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的定义域为
B．当 时，函数 的值域为
C．当 时，函数 在 上单调递减
D．当 时，关于x的方程 有两个解
【答案】BCD
【解析】A. 当 时， ，由 ，解得 或 ，所以函数 的定义
域为 ，故错误；
B.当 时， ，定义域为R，当 时， ，当 时， ，所以函数 的
值域为 ，故正确；
C.当 时， ，当 时， ，在 上递减，当
时， ，在 上递减，又 ，所以函数 在 上单调递减，故正确；
D. 易知 ， ，即为 ，设 ，则 ，即
，若方程 有两个解则 ，故正确.故选：BCD
三、填空题
7．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知 ，函数 ，若 ，
则 ________.
【答案】
【解析】由已知可得 ，故 .故答案为： .
8．（2022·甘肃·二模（文））函数 其中常数 ，且 ，若
，则实数 ___________.
【答案】
【解析】由题意， ，
，
即 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
故 .
故答案为：
9．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））若函数 同时满足：（i） 为偶函数；（ii）对
任意 且 ，总有 ；（iii）定义域为 ，值域为 ，则称函
数 具有性质 ，现有 个函数：① ，② ，③ ，④ ，其中具有性
质 的是___________（填上所有满足条件的序号）.
【答案】① ③【解析】对于④， ， ，故函数为奇函数，不合题意；
由（ii）可知 在 上单调递增，
对于②， ，在 上是减函数，故不合题意；
对于①， 是偶函数，
在 上是增函数，定义域为 ， ，
，具有性质 ；
对于③，该函数为偶函数，令 ，
可得函数在 上是增函数， ，
均满足题干中的三点要求，故具有性质 ；
故答案为：①③
10．（2022·北京·一模）已知函数 若 ，则不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】当 时， 则不等式 可转化为 或
解得 或 ，所以 ，则不等式 的解集为 ；
1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学案）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【详解】试题分析:因函数 的定义域和值域分别为 ,故应选D．
1
f(x)=
√ (log x) 2 −1
2.(2014山东)函数 2 的定义域为（ ）
1 1 1
(0， ) (0， )∪(2,+∞) (0， ]∪[2，+∞)
2 (2，+∞) 2 2
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，解得 ．
lg(x1)
f(x)
3.(2013广东)函数 x1 的定义域是（ ）
(1,) [1,) (1,1) (1,) [1,1) (1,)
A． B． C．  D． 
【答案】C
【解析】由题知 ，∴ ，故选C，
4．2015新课标2，理5）设函数 , ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】1.由已知得 ，又 ，所以 ，故
，故选C．5.(2015新课标1，文10)已知函数 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴当 时， ，则 ，此等式显然不成立，当
时， ，解得 ，∴ = ，故选A．
6.(2014浙江)已知函数 ，且 ，则
EFPQ PQMN λ a,b
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得 ，解得 ，又 ，所以
，故选C.
f(x)ax32x (1,4) a
7（2015新课标2，文13）已知函数 的图象过点 ，则 ．
【答案】-2
【解析】由题意可知 在函数图象上，即 ，∴ ．
8．（2020北京11）函数 的定义域是__________．
【答案】
【解析】要使得函数 有意义，则 ，即 ，∴定义域为 ．
y  76xx2
9.（2019江苏4）函数 的定义域是 .（，0]
【答案】
（f x）ex aex （f x） （f x）（f x）
【解析】①根据题意，函数 ， 若 为奇函数，则 ，即
a+1 ex ex 0
ex aex=（ex aex） xR ex ex 0
，所以 对 恒成立.又 ，所以
a10,a 1
.
（f x）ex aex f（ x）ex aex
②函数 ，导数 .
若
f x
是R上的增函数，则
f x
的导数
f（ x）ex aex 0
在R上恒成立，即
ae2x
恒成立，
e2x>0 （，0]
而 ，所以a≤0，即a的取值范围为 .
10.(2018江苏)函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】要使函数 有意义，则 ，即 ，则函数 的定义域是 ．
C
P
11.（2014卷1，文15）设函数 则使得 成立的l 的取值范围是________.
【答案】 .
【解析】原不等式等价于 或 ，解得 ，故l 的取值范围是 .
x1，x0
 1
f(x) f(x) f x 1
 
2x， x0  2 x
12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数 ，则满足 的 的取
值范围是 ． 1 
 ,
 
 4 
【答案】
 1 1
x

2x 2 2, x
2

 1 1
2x x , 0 x
2 2

 1  3
Fx f(x) f  x   2x , x0
 2  2
【解析】法一：因为
1
1
x Fx22 20 1 2 1
当 2 时， ；
1 3
0 x Fx F0 1
当 2时， 2 ；
3 1
Fx2x 1   x0
当 x0 时，由 2 ，可解得 4
 1  1 
f(x) f x 1  ,
   
 2 x  4 
综上可知满足 的 的取值范围是 ．
x1,x≤0
 f x 2x ,x0 f x f    x 1 2    1 f    x 1 2    1 f x
法二： ， ，即
 1
y  f x
  2   y 1 f x
由图象变换可画出 与 的图象如下：
y
yf(x
1
)
2
1 1
( , )
4 4 

1

1 x

2 2
y1f(x)
 1  1 
由图可知，满足 f  x  1 f x 的解为  , ．
 2  4 1  1 1 1
x 0 f x f  x  1 x1x 11   x0
法三：当 2 且 x0 时，由  2 得 2 ，得 4 ，又
 1
f x f x
因 为 f x 是 R上 的 增 函 数 ， 所 以 当 x 增 大 时 ，   2   增 大 ， 所 以 满 足
 1 1
f x f  x  1 x
 2 的 x 的取值范围是 4．
【考点】分段函数；分类讨论的思想
【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段
f

f
a
的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应
自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．