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专题 06 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平行四边形中的折叠问题......................................................................................................................1
题型二、矩形中的折叠问题..................................................................................................................................4
题型三、菱形中的折叠问题................................................................................................................................10
题型四、正方形中的折叠问题............................................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行四边形中的折叠问题
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在 中，点 在边 上，将 沿 折叠，点 的对应
点 恰好落在边 上；将 沿 折叠，点 的对应点 恰好落在 上．若 ，则
．（用含 的式子表示）
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片 的 边上一点，以过点P的直线
为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上 处，折痕与 边交于点M；再以过点P的直线为
折痕折叠纸片，使点B恰好落在 边上 处，折痕与 边交于点N．若 ，则
°．
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）在平行四边形 中，点 ， 在 边上，把 沿直线AE
折叠， 沿直线 折叠，使点 ， 落在对角线 上的点 处，若 ，则 的度数为
．4．（2025·山东泰安·二模）如图，将平行四边形 进行折叠，折叠后 恰好经过点C得到 ，若
，则线段 的长度为 ．
题型二、矩形中的折叠问题
5．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，四边形 是矩形，点A的坐标为 ，点C的坐标为
，把矩形 沿 折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使 到 ， 到 ，且
点 恰好在同一条直线上． 均为折痕．若 ，则 的度数为 °．
7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿
边 ， 向点 运动， ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，连接 ．
（1）如图，当 在边 上且 时， 的度数是 ．
（2）当直线 恰好经过点 时， 的长是 ．
8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形 中， ， ．按下列要求折叠，试求
出所要求的结果．(1)如图（1）所示，把长方形 沿对角线 折叠得 ， 交 于点F，求 ：
(2)如图（2）所示，折叠长方形 ，使 落在对角线 上，求折痕 的长；
(3)如图（3）所示，折叠长方形 ，使点D与点B重合，求折痕 的长．
题型三、菱形中的折叠问题
9．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形 中， ，E是 上一点．将 沿 折
叠后得到 ，若 ，则折痕 的长为 ．
10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）数学实验课上，小聪将菱形纸片 沿 折叠，其中点E、F
分别在边 、 上．当点B落在 上的点 处且 时，恰有 ，则 ，
此时 ．
11．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形纸片 中，点E在边 上，将菱形沿 折叠，
点A、B分别落在 ， 处， ，垂足为F．若 ， ，则 ，
．
12．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在上的点 处，折痕为 ，若 ， ， ，则 ，四边形 的面积是
．
题型四、正方形中的折叠问题
13．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点 的坐标是 ，
为边 上一点， ，沿 折叠正方形 ，折叠后，点 落在平面内的点 处，则点
的坐标为 ．
14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片 折叠， 、 为折痕，点B、D
折叠后的对应点分别为点 、 ，若 ，则 的度数为 ．
15．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形 折叠，使顶点 与 边上的点 重合
（ 不与端点 重合），折痕交 于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ，设正方形
的周长为 ， 的周长为 ，则 的值为 ．16．（24-25八年级下·吉林白山·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数
学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片 ，将 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 的内部，得到折痕 ，
点B的对应点为M，连接 ；将 沿过点A的直线折叠，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展
平，连接 ．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则
① ____________°；
②线段 之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C沿 所在直线折叠，使点C落在正方形 的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，
连接 ．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在 边上某一位置时
（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕 上，此时 交 于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 ，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片 的边长为3，当点N落在折痕 上时，直接写出线段 的长．
一、单选题
1．（25-26九年级上·山东·期末）如图，四边形 是正方形， 是 的中点，将正方形折叠，使点
与点 重合，折痕为 ，若正方形的边长为 ，则线段 的长为（ ）A． B． C． D．
2．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，将 纸片折叠(折痕为 )，使点A落在 上，记作①；
展平后再将 折叠(折痕为 )，使点D落在 上，记作②；展平后继续折叠 ，使 落在
直线 上，记作③；重新展平，记作④．若 ，则图④中线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，把一张矩形纸片 按如下方法进行两次折叠：第一次将
边折叠到 边上得到 ，折痕为 ，连接 ，第二次将 沿着 折叠， 边恰
好落在 边上．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2025·浙江·模拟预测）将边长为a的菱形 分别沿着 和 折叠（E，F，G，H分别在边 ，
上），使点A和点C在折叠后均落在 边上的点M处．若
于点F，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形 中， ，将 沿 所在直线
折叠，使点A落在E处，则 ．
6．（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，若
，则 的度数是 ．
7．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，正方形 中，将边 折叠至 ，连接 、 ，若
， ，则 的长为 ．
8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片 折叠，折痕为 ，折叠后，点
的对应点为点 ， 交 于点 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
三、解答题
9．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片 ， ，折叠该纸片，使得点A， 均与
点 重合，折痕分别为 ， ，设两条折痕的延长线交于点 ．
(1)请在图②中将图形补充完整，并求 的度数；(2)四边形 是菱形吗？请说明理由．
10．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸
张 ， ， ，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
小组 探究内容 图形
第一 把 沿 折叠，与 重叠部分记为
小组 ．
步骤1：把矩形 沿 折叠，使得 与 重
第二 合，点 ， 分别为 ， 上的点．
小组 步骤2： 为边 上动点（与点B，C不重合），
沿 折叠得到 ．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
(1)根据第一小组探究内容，求证： 是等腰三角形．
(2)根据第二小组探究内容，当 ， ， 三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度．
11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行
四边形纸片 中，已知 ， ， 的面积为120．点 为 边上任意一点，将
沿 折叠，点 的对应点为 ．
(1)如图1，若点 恰好落在 上时，求证：四边形 为平行四边形．
(2)如图2，若 时，连接 ，并延长交 于点 ．求线段 的长．
(3)改变 点的位置，将 沿 折叠，连接 ，当 为直角三角形时，求 的长度．
12．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图：
(1)【课本再现】
第一步：如图①，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，把纸片展平；第二步：在 上选一点P，沿 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，根据以上
操作，当点M在 上时，如图①，连接 ，判断 的形状并证明．
(2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为 正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片
按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点Q，连接 ，当点M在 上时，求 与
的数量关系是 （用数学式子表示）；
(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 折叠纸片，
如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，并延长 交 于点Q，连接 ．当
时，请求出 的长．
13．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折
叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．
(1)操作与证明：
①如图①所示，小华将矩形 沿 折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若 ，
则 _______ ， _______ ；
②如图②所示，张三将矩形 沿对角线 折叠后，使得点C与点E重合， 与 交于点F，过点
D作 交BC于点G，求证：四边形 是菱形；
(2)迁移应用：
如图③所示，李四将矩形 沿对角线 折叠后，使得点C与点E重合， 与 交于点F，连接
，若 ， ，求 的长．
14．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)操作一：如图1，正方形纸片 ，将 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 的内部，得到折痕 ，
点B的对应点为M，连接 ；将 沿过点A的直线折叠，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展
平，连接 ．
根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段 ， ， 之间的数量关系为 ．
(2)【深入探究】
操作二：
如图2、将 沿 所在直线折叠，使点C落在正方形 的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，
连接 、 ．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在 边上某一位置时
（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕 上，此时 交 于点P，如图3所示．
①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 ，请证明该结论是否成立，并说明理由．
②【拓展应用】若正方形纸片 的边长为3，当点N落在折痕 上时，求出线段 的长．
15．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片 ，
要求同学们在对角线 上取一点 ，连接 ，将 沿 折叠，得到 ．
(1)同学甲发现 （图 ），通过探索发现点 落在线段 上，从而可证明 ．
请你完整证明： ；
(2)同学乙取 ，折叠后发现 （图 ），通过探索可得出 为常数，请求出 的值；
(3)同学丙通过折叠发现 ，测得 ， ，连接 ，发现 的长度可求，求出此时
的长度．
