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第 2 讲 复合函数与幂函数
本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，主要通过对函数定义的理解解决抽象
函数相关的问题，包括定义域和值域的一系列题型思想，对学生的逻辑思维能力包括对函数的理解需要透
彻。此外增加一个基本初等函数中的幂函数，也是高中需要学习的函数之一。
考点一复合函数
1.复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为
函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函
数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.
2.函数的复合单调性的变化:
f(x)+g(x)=h(x) f(x)-g(x)=h(x)
增+增=增 增-增
增+减 增-减=增
减+减=减 减-减
减+增 减-增=减
注意：加同不变，减异随前。
3.复合函数的单调性变化
y=f [g(x)]
u=g(x) y=f (u) y=f [g(x)]
内函数 外函数
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。考点二 幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2.5个常见幂函数的图象与性质
1
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y=x2 y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
非奇非偶
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
函数
在(－∞，0)
在(－∞，0)
在R上单调递 上单调递减， 在R上单调递 在(0，＋∞)
单调性 和(0，＋∞)
增 在(0，＋∞) 增 上单调递增
上单调递减
上单调递增
图象
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
高频考点一 已知f(x)定义域，求f(g(x))的定义域
例1、已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ 的定义域为 ，∴ ，由 ，得 ，则函数 的定义域为
故选：A.
【变式训练】1、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
的定义域为
即 的定义域为
故答案为：
【基本规律】
1、抽象函数求解解析式：
2、求解定义域就是求解x的取值范围；
3、f( )相同(对应法则相同条件)下“（ ）”内取值范围相同。
注意：抽象函数求解定义域问题时要考虑定义域范围内的单调性问题。
高频考点二 已知f(g(x))定义域，求f(x)的定义域
例2、已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（ ）
A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]
【答案】B
【解析】
∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，
∴-2≤x≤3，
∴-1≤x+1≤4，
∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].
故选：B
【变式训练】
1、已知 的定义域为 ，则 的定义域为 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
因为 的定义域为 ，所以 ，所以 ，所以 的定义域为 ．
故选：C
高频考点三 已知f(g(x))定义域，求f(h(x))的定义域
例3、已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
依题意函数 的定义域为 ，
，
所以 ，
解得 或 ，
所以 的定义域为 .
故选：B
【变式训练】
1、已知函数 定义域为 ，则函数 的定义域为_______.
【答案】
【解析】
因 的定义域为 ，则当 时， ，
即 的定义域为 ，于是 中有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .故答案为：
四 复合函数定义域
高频考点
例4、已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：由题意得： ，解得 ，
由 解得 ，
故函数的定义域是 .
故选：D
【变式训练】
1、已知函数 的定义域为 ，若 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得： ，即 ，又 ，
∴ ．
故选：B
五 抽象函数的值域
高频考点
例5： 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，若函数 的值域为 ，则的值域为_____________．
【答案】
【解析】
解：由 是 上的奇函数， 是 上的偶函数
得到 ，
因为函数 的值域为
即
所以
又 ，
得
所以 的值域为： .
故答案为： .
【变式训练】
1. 已知定义在R上的函数 满足对任意实数x，都有 ，且 ，则
________．
【答案】2021
【解析】
由题意，函数 满足对任意实数x，都有 ，且 ，
当 且 时，可得 ，
则 ，
所以 ．故答案为： .
六 复合函数的值域
高频考点
例6、已知定义在R上的函数 满足 ，若函数 在区间 上的值域为 ，
则 在区间 上的值域为__________.
【答案】
【解析】
因为 ，
故对任意的整数 ，
当 时， ，
而 且 ，
故 ，
故 在区间 上的值域为：
，
即为 .
故答案为： .
【变式训练】
1. 若函数 的值域是 ，则函数 的值域为 __．
【答案】
【解析】
因为函数 的值域是 ，所以函数 的值域为 ，
则 的值域为 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： ．
高频考点七 幂函数
例7、现有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
幂函数满足 形式，故 ， 满足条件，共2个
故选：B
【变式训练】
幂函数 在 上单调递减，则 的值为______．
【答案】2
【解析】
解：因为函数 是幂函数，
则有 ，解得 或 ，
当 时，函数 在 上单调递增，不符合题意，
当 时，函数 在 上单调递减，符合题意.
所以 的值为
故答案为：
