文档内容
微专题：函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换
【考点梳理】
1、由y＝sinx的图象通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象的方法：
2、注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不
同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
【题型归纳】
题型一：描述正（余）弦型函数图象的变换过程
1．为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2．给出下列几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变． ②向左平移 个单位长度．
③横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变． ④向左平移 个单位长度．
则由函数 的图象得到 的图象，可以实施的变换方案是（ ）
A．①→② B．①→④ C．③→② D．③→④
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．要得到 的图像，只需要将 的图像（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
题型二：求图象变化前（后）的解析式
4．将 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到 的图象，再将
图象向左平移 ，得到 的图象，则 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．把函数 的图像上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原
来的 （纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标压缩到原来的 倍，纵坐标不变，得到
函数 的图象，则 （ ）
A．最小正周期为 B．奇函数
C．偶函数 D．
题型三：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向左平移 个单位长
度后得到函数 的图象，则函数 在区间 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．将函数 的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，
则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的最小正周期是
C．函数 在 单调递减
D．函数 在 的最小值是-3
【双基达标】
10．将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若对 满足 ，有 恒成立，且
在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
11．将函数 的图象向右平移 个单位与函数 的图像重合，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图是函数 ( ， )的部分图象，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．点 是函数 图象的一个对称中心
D．函数 为奇函数
13．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，且直线
和 是函数 图象的两条相邻的对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
14．为了得到函数 图象，只需把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
15．若将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数 的图象，已知函数
. ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A． 在 上的最小值是
B． 是 的一个对称中心
C． 在 上单调递减
D． 的图象关于点 对称
16．若将函数g(x)图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示，则（ ）
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin2x D．g(x)＝sin
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．设函数 在区间 上单调，且 ，当 时，
取到最大值2，若将函数 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
19．若将函数 的图象向右平移 个单位长度后为奇函数，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
20．若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数f(x)＝2cos(3x－ )，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数图像关于(－ ，0)中心对称
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．函数图像关于直线x＝ 对称
D．将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移 ，可得到函数y＝f(x)的图像
22．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列
四个结论：① ；② 在 上有两个零点；③ 的图象关于直线 对称；④ 在区
间 上单调递减，其中所有正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
23．把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长
度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数 ，给出下列四个命题：① 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ；②
的图象关于直线 对称；③ 在区间 上是增函数；④将 的图象向右平移 个单位后，
的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
25．若函数 与 在 上的图象没有交点，其中 ，则 的取值范围是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及图象变换
一、单选题
26．函数 的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上是单调递增的
D．函数 图象的对称中心为
27．将函数 的图象向右平移 个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
28．为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
29．函数 的图像向左平移 个单位长度后对应的函数是奇函数，函数
．若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
30．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则
A． B． C． D．0
31．关于函数 ，有以下四个命题：
①函数 是偶函数；② 的图像关于直线 对称；③要得到函数 的图像只需
将 的图像向右平移 个单位；④ 在区间 内的单调递增区间是 和 ．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线 ，再将 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得
到曲线 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司33．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）.
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
34．已知函数 ，现将 的图向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长
为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．定义：在平面直角坐标系 中，若存在常数 ，使得函数 的图象向右平移 个单位长度后，恰与
函数 的图象重合，则称函数 是 的“原形函数”．下列函数 是 的“原形函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
36．已知函数 ，则（ ）
A． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
B． 在 上单调递增
C． 在 内有2个零点
D． 在 上的最大值为
37．若将函数f(x)=cos(2x+ )的图象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间[0， ]上单调递减
C．x= 是函数g(x)的对称轴 D．g(x)在[﹣ ， ]上的最小值为﹣
38．已知函数 的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． 的振幅为2 B． 为 的对称中心
C． 向右平移 单位后得到的函数为奇函数 D． 在 上的值域为
三、填空题
39．函数 的图象为C，有以下结论：
①图象C关于直线 对称；
②图象C关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④由 的图象向右平移 个单位可以得到图象C．其中正确的结论是____________．（写出所有正确结论
的序号）
40．将函数y=sin(2x+ （0 的图像向左平移 个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则 __________
41．将函数 的图像向左平移 个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则 _________．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司42．函数 的图象可由函数 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数 的图象
而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：①图象上所有点向右平移 个单
位；②图象上所有点向右平移 个单位；③图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；④图象上所
有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）．
请按顺序写出两次变换的代表序号：__________．（只需填写一组）
43．设函数 ，若将 图像向左平移 个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数
图像的对称轴重合，则 _______．
44．将函数 的图像向左平移 ，所得的曲线对应的函数解析式是______．
四、解答题
45．函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)先将函数 图象上所有点向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求函数 的单调递增区间．
46．已知 同时满足下列四个条件中的三个：① ；②
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的图象可以由 的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为 ；
④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线 的对称轴只有一条落在区间 上，求m的取值范围.
47．函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的
各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），把得到的曲线向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位，得
到函数 的图象.
（1）求函数 图象的对称中心.
（2）当 时，求 的值域.
（3）当 时，方程 有解，求实数m的取值范围.
48．已知函数 的部分图象如图.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求函数 的解析式;
(2)将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位，得到函
数 的图象，当 时，求 值域.
49．函数 的一段图象如下图所示，
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，求 的最大值，并求此时自变量
x的集合．
（3）求 在 的值域.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据平移变换的原则即可得出答案.
【详解】
解： ，
则将函数函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，
即可得到函数 的图象.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
由三角函数的平移和伸缩变化即可得出答案.
【详解】
的图象得到 的图象，有如下两个方法，
第一种： 向左平移 个单位得到 ，再横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变得到
，即②→③.
第二种， 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变得到 ，再向左平移 个单位长度得到
，即③→④.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
先将函数 化为 ，然后由正弦函数的图像平移可得答案.
【详解】
又
所以将 的图像向右平移 个单位长度， 的图像
第 15 页故选：B
4．A
【解析】
【分析】
根据三角函数图象平移规律可得答案.
【详解】
将 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到 的图象，
再将 图象向左平移 ，得到 的图象，
故选：A.
5．D
【解析】
【分析】
利用三角函数的图像变换的知识进行处理.
【详解】
把函数 的图像上所有的点向左平移 个单位长度，
得 ，再把所得图像上所有点
的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），可得 .
故A，B，C错误.
故选：D.
6．D
【解析】
【分析】
根据平移变换和周期变换的原则求出函数 ，再根据余弦函数的性质及诱导公式逐一判断各个选项即可.
【详解】
解：把函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 ，
再把横坐标压缩到原来的 倍，纵坐标不变，
得 ，即 ，
则最小正周期为 ，故A错误；
第 16 页因为 ，所以函数 是非奇非偶函数，故BC错误；
，故D正确.
故选：D.
7．A
【解析】
【分析】
利用三角函数的性质和三角函数的图象变换，求得函数 ，进而求得函数 在区间 上的
值域.
【详解】
因为 的最小正
周期为 ，
所以 ，即 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 的图象，
当 时， ，
当 时，即 时，函数 取得最大值，最大值为 ；
当 时，即 ，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 .
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
依据平移然后判断可知 ，简单判断可知结果.
【详解】
由已知可得 ，
∴ ，∴ ．
第 17 页∵ ，∴ 的最小值是 ．
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律，得到 的解析式，再利用余弦函数的对称性可判断A;利用周期公式，
判断B;根据余弦函数的单调性，判断C,D.
【详解】
由已知可得 ，
对于A, 由于当 时， 为函数最大值，故函数 的图象不关于点 ， 对称，故 错误；
对于B, 函数 的最小正周期是 ,故B错误；
对于C,当 时， ，此时g（x）单调递减．故C正确；
对于D, 当 时， ，此时g（x）单调递减． ，故D错误，
故选： ．
10．D
【解析】
【分析】
可得 ，根据题意可求出最小正周期，得出 ，求出 的单调递减区间，根据包含关系可求
出.
【详解】
由题可得 ，
若满足 ，则 和 必然一个极大值点，一个极小值点，
又 ，则 ，即 ，所以 ，
令 ，可得 ，
即 的单调递减区间为 ，
因为 在区间 上单调递减，所以 ，
则 ，解得 ，
第 18 页因为 ，所以可得 .
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
由题意可知平移后的解析式为 ，而 ，由于两函数图像重合，所以
，从而可求出 的值
【详解】
解析：由题可知， ，
而 ，
所以 ，
从而 ，取 ，知 ，
故选： .
12．C
【解析】
【分析】
由图象先求得 由相邻的最高点与零点的横坐标的差为四分之一周期，求得周期，得到角速度ω的值，由最高点
的横坐标求得φ的值，然后逐项判定即得.
【详解】
由题意可知，根据图像得到， ， ，则选项A错误；
，
又 ，
解得 ， ，则 ， ，
即 ， ，
所以直线 不是函数 图象的一条对称轴，则选项B错误；
，
第 19 页所以点 是函数 图象的一个对称中心，
选项C正确；
不是奇函数，
所以选项D错误.
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
由相邻对称轴得函数周期，从而可得 ，再利用 的对称轴求得 ，得解析式．
【详解】
解析：由题意可知， ，
由 和 是函数 图象的两条相邻的对称轴，得 ，解得 ，
于是 ，解得 ，
所以 .
由题意，得 ， ，解得 ， ，结合 ，得 .
故 .
故选：C．
14．C
【解析】
【分析】
逆用两角差的正弦公式将 化为一个角的三角函数，再根据平移法则判断即可.
【详解】
，
故将其向左平移 个长度单位可得
故选：C
【点睛】
方法点睛：解决此类问题的方法是将原函数化为与目标函数同名的一个角的三角函数，再根据三角函数图象的变
换法则求解.
15．C
第 20 页【解析】
【分析】
根据函数的图形，求得 ，利用三角函数的图象变换得到 ，结合三角函数的性质，结
合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
由函数 ， ）的部分图象，
可得 且 ，解得 ，所以 ，
又由 时， ，即 ，解得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
对于A中，当 时，可得 ，
当 时，即 时，函数取得最小值 ，所以A正确；
对于B中，当 时，可得 ，
所以点点 是 的一个对称中心，所以B正确；
对于C中，当 时，可得 ，
此时 为先减后增的函数，所以C不正确；
对于D中，当 时，可得 ，
所以 是函数 的对称中心，所以D正确.
故选：C.
.
16．C
【解析】
【分析】
由函数 的部分图象求出 、 、 和 的值，写出 的解析式，再得出 的解析式．
【详解】
由函数 ， ， 的部分图象知，
第 21 页，且 ，
解答 ，所以 ；
又 ， ， ，
所以 ， ；
由 知， ；
所以 ；
所以 ．
故选：C．
17．A
【解析】
首先设函数 ，由条件确定周期和 的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求 ，代
入 求 ，利用伸缩变换求 ，最后解不等式.
【详解】
函数的最大值为2， ，
在区间 上单调，所以 ，即 ，
，即 ，
， 是函数的对称轴，
， 是函数的对称中心，
和 是函数相邻的对称轴和对称中心， ，得 ，
当 时， 取到最大值2， ， ，
当 时， ，
，根据题意可知 ，
，
第 22 页，解得： ， .
的解集是 .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是对称性和周期性的灵活应用，关键由条件 确定相邻的对称轴
和对称中心.
18．B
【解析】
【分析】
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.
19．C
【解析】
【分析】
先由平移公式得出平移后的函数为 ，由该函数为奇函数可得答案.
【详解】
函数 的图象向右平移 个单位长度后可得
由题意 为奇函数，则
所以 ，
对照分析答案，当 时，
故选：C
20．A
【解析】
第 23 页【分析】
写出平移后的解析式，代入对称点坐标可求得 ．
【详解】
由题意平移后函数式为 ，
又新函数图象关于点 对称，所以 ，而 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A．
21．C
【解析】
【分析】
A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为 ；
B：f(x)的对称中心处函数值为零；
C：f(x)的对称轴过函数图像最高点或最低点；
D：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断﹒
【详解】
A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为 ，∴f(x)的最小正周期T＝ ，A正确；
B：f(－ )＝2cos[3×(－ )－ ]＝0，所以(－ ，0)是f(x)的中心对称，B正确；
C：f( )＝0，所以f(x)关于( ，0)中心对称，C错误；
D：将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移 变为y＝2cos3(x－ )＝2cos(3x－ )，D正确﹒
故选：C．
22．C
【解析】
【分析】
设将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，先根据题目所给部
分图像确定出 及 的值，得出 的解析式，然后根据 的性质分析所给结论是否正确.
【详解】
的图象向左平移 个单位长度后得：
，
第 24 页由图象知 的周期T满足 ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，即 .
又 ，∴ ，∴ ，
对于①， ，故①正确；
对于②，令 ，则 ，又 ，
所以 ，则 或 ，即 或 ，
故 在 上有两个零点，所以②正确
对于③，令 ，解得 ，
∴ 的图象不关于直线 对称，故③错误；
对于④，令 ，解得 ，即 的单调递减区间为
，令 ，得 在区间 上单调递减，
综上所述，①②④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查由三角函数图象确定三角函数的解析式，考查三角函数的性质的运用.确定函数
中参数的步骤如下：
（1）先根据函数的最大值 和最小值 确定 和 ， ， ；
（2）格据图象的周期确定 ，其中 ；
（3）根据图象上的点的坐标或者根据五点法确定 的值.
23．B
【解析】
【分析】
解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得
，再利用换元思想求得 的解析表达式；
第 25 页解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达式.
【详解】
解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再把所得
曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
24．C
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性， 的图像变换规律，得出结论.
【详解】
函数 的周期 ，两个相邻的对称轴之间的距离为 ，故①错误；
令 ，可得 ，因此 的图象关于直线 对称，故②正确；
当 时， ，可知 为增函数，故③正确；
将 的图象向右平移 个单位后，可得到 的图像不关于 轴对称，故④错误.
故选： .
【点睛】
本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
25．A
第 26 页【解析】
【分析】
利用三角函数图象的平移即可求解.
【详解】
解： 是周期为 的正弦函数，
， 是由 向左平移 个单位得到
①当 时，如下图所示，
此时函数 与 在 上有交点，不符合题意
②当 时，如下图所示
此时函数 与 在 上无交点，符合题意
③当 ，如下图所示
此时函数 与 在 上无交点，符合题意
第 27 页综上所述， ，
故 的取值范围是
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.
26．D
【解析】
根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
【详解】
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且 ，
∴ ，
∴f（x）＝2sin（ωx ），
∵f（ ）＝0且为单调递减时的零点，
∴ ，k∈Z，
∴ ，k∈Z，
由图象知 ，
∴ω ，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x ），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移 个单位得，
∴A错，
令2x ，k∈Z，对称轴为x ，则B错，
令2x ,则x ，则C错，
令2x kπ，k∈Z，则x＝ ，则D对，
故选：D．
第 28 页【点睛】
本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
27．D
【解析】
【分析】
将各选项所给函数按条件平移，判断平移后的函数奇偶性，即得出结果.
【详解】
A选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，函数
显然不是奇函数，故A错；
B选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，函数 显
然是偶函数，故B错；
C选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，函数
显然是偶函数，故C错；
D选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，函数
显然是奇函数，故D正确.
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
根据三角函数的伸缩变换得到答案.
【详解】
为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点纵坐标伸长到原来的 倍，横坐
标不变.
故选：C
29．D
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得 ，即
， ，从而得到 ，进而得到的值.
【详解】
第 29 页函数 的图像向左平移 个单位长度后，可得 的图象.
由条件 为奇函数，则 ，即
又 ，所以 ，即
关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，
即 在 内有两个不同的解 ，
即 在 内有两个不同的解 ，
即 ，其中( 为锐角) 在 内有两个不同的解 ，
即方程即 在 内有两个不同的解 ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以
则 ，即 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数 的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和
值域，属于中档题．
30．C
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，可得 的值．
【详解】
解：将函数 的图象向右平移 个单位，
得到函数 的图象，
则 ，
故选C．
【点睛】
第 30 页本题主要考查诱导公式的应用，函数 的图象变换规律，属于基础题．
31．B
【解析】
【分析】
代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断
③；根据单调区间可判断④.
【详解】
对于①，因为函数 ，
所以
，函数不是偶函数，故①不正确；
对于②， 时， ，
所以函数图像关于 对称，故②正确；
对于③，将 的图像向右平移 个单位，
得到
，故③不正确；
对于④， ，
由 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在区间 内的单调递增区间是 和 ，故④正确.
所以②④正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.
32．A
第 31 页【解析】
【分析】
直接利用函数 的图象平移变换与放缩规律，即可得出结论．
【详解】
将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线 的图象；
再将 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线 的图象，
故选： ．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后
相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
33．C
【解析】
【分析】
根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可.
【详解】
将 向左移动 个单位长度有 ，
∴只需将函数 的图象向左平移 个单位长度，即可得 的图象.
故选：C
34．C
【解析】
【分析】
根据题意，利用三角函数图象平移可得 ，进而求出 .
【详解】
将 的图向左平移 个单位长度 ，再将 图象上各点
的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 ，所以
.
故选：C.
35．ABD
【解析】
【分析】
根据“原形函数”的定义逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】
第 32 页解：由 知，将 的图象向右移动1个单位可得到 的图象，故选项A正确；
由 知，将 的图象向右移动 个单位可得到 的图象，故选项B正确；
由 知，将 的图象向下移动 个单位可得到 的图象，故选项C不正确；
由 知，将 的图象向右移动 个单位可得到 的图
象，故选项D正确．
故选ABD．
36．BC
【解析】
【分析】
A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；
【详解】
由题得 ，
由 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，所以选项A错误；
令 ，
得其增区间为 ，
所以 在 上单调递增，所以选项B正确；
令 得 ，
得 ，又 ．
所以 可取 ，即有2个零点，所以选项 正确；
由 得 ，
所以 ，所以选项D错误．
故选：BC．
37．AD
【解析】
第 33 页函数f(x)=cos(2x+ )的图象向左平移 个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等.
【详解】
函数f(x)=cos(2x+ )的图象向左平移 个单位长度后得 ，最小正周期为
π，A正确；
为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为 ，故B错；
令 ，得 ，故C错；
[﹣ ， ]， ， ，故 D对
故选：AD
38．ABC
【解析】
【分析】
根据所给图象，求出函数的解析式，再逐一验证各选项判断作答.
【详解】
观察图象得：A=2，周期T，则 ，
由 得 ，而 ，则 ，
所以有 ，显然A正确； ，B正确；
向右平移 得 是奇函数，C正确；
时， ， ， ，D错误.
故选：ABC
【点睛】
思路点睛：由 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x，
0
则令ωx＋φ=0(或ωx＋φ=π)，即可求出φ.
0 0
39．①②③
【解析】
【分析】
对于①②，将自变量的值代入函数解析式，即可判断；对于③根据 的取值范围，求出 的范围，再根据正
弦函数的性质判断可得；对于④根据三角函数的平移变换规则计算即可判断；
第 34 页【详解】
解：因为
把 代入 得， ，即 ，所以图象C关于直线 对称，故①
正确；
把 代入 得， ，即 ，所以图象C关于点 对称，故②正确；
当 时，则 ，所以函数 在区间 内是增函数，故③正确；
由 的图象向右平移 得到 ，故④不正确．
故答案为：①②③．
40． ##
【解析】
【分析】
由题设知 是一个偶函数，进而可得 ，结合已知即可求 .
【详解】
由题意， 是一个偶函数，
∴ 则 ，又 ,
∴
故答案为：
41．
【解析】
先根据函数平移变换得平移后的解析式为 ，再根据其图象关于原点中心对称得
，进而计算得 .
【详解】
解：根据题意得函数 的图像向左平移 个单位后得到的函数解析式为： ，
由函数 图象关于原点中心对称，
第 35 页故 ，即
所以 .
故答案为：
【点睛】
三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌
握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.
函数 是奇函数 ；
函数 是偶函数 ；
函数 是奇函数 ；
函数 是偶函数 .
42．④①或②④
【解析】
【分析】
可以先平移（相位）变换，再进行周期变换，也可以是周期变换再平移变换．
【详解】
把 图象先向右平移 ，得 ，然后其图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 可得
的图象，即②④；
把 图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 可得 的图象，再向右平移 ，得
，即 的图象，即④①．
故答案为：④①或②④．
43． ##1.25
【解析】
【分析】
求出平移后的解析式，根据平移后的解析式图象与原函数图像的对称轴重合得到 ，利用 得到
的取值范围，进而求出 ， .
【详解】
平移后的解析式为 ，因为 与原函数图像的对称轴重合，所以 ， .所
第 36 页以 ，k∈Z，因为 ，所以 ，解得： ，因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
结合已知条件利用函数的平移变换即可求解.
【详解】
由函数的平移变换可知，
函数 的图像向左平移 后的解析式为 ，
故所求解析式为： .
故答案为： .
45．(1)
(2) 和
【解析】
【分析】
（1）根据图像计算 周期 ，代入点 解得 ，得到函数解析式.
（2）根据函数平移得到 ，取 ，解得答案.
(1)
由函数图象知 ， ， ， ，
， ， ，又 ， ， ．
(2)
，故 ，
由 ， ，得 ， ．
， 的单调递增区间为 和 ．
46．（1）①③④，理由见解析；（2） .
第 37 页【解析】
【分析】
（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；
（2）先根据（1）求解出 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出 的对称轴方程，然后对 进行赋值，
确定出在区间 上仅有一条对称轴时 的取值范围.
【详解】
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为 ，所以 ；
若满足③：因为 ，所以 ，所以 ，
若满足④： ，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知： ，
由①知： ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 或 ，
所以 或 ，
所以 ，所以 ，
不妨令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以若要 的对称轴只有一条落在区间 上，只需 ,
所以 的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛：已知函数 ，
若求函数 图象的对称轴，则令 ， ；
若求函数 图象的对称中心或零点，则令 ， ．
47．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
第 38 页【分析】
（1）观察图象，由函数最值求出 ，由周期求出 ，再将 代入得出 ，即可求出函数 的解析式，
进而得出函数 的解析式以及对称中心；
（2）由 的范围结合余弦函数的性质可得 的值域；
（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围．
【详解】
（1）根据图象可知 ， ，
∴ ，∴ ， ，
将 代入得， ，即 ，解得 ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ .
函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），可得 ，曲线再向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位得
令 ，解得
∴此函数图象的对称中心为 .
（2）当 时， ，
，即 的值域为 .
（3） ，
令 ，由（2）知 ， ，
因此m的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是
将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计
算能力，属于中档题．
第 39 页48．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据图象由函数最值求得 ，由函数周期求得 ，由特殊点求得 ，即可求得解析式；
（2）根据三角函数图象的变换求得 的解析式，再利用整体法求函数值域即可.
(1)
由图象可知， 的最大值为 ，最小值为 ，又 ，故 ，
周期 ， ， ，则 ，
从而 ，代入点 ，得 ，
则 ， ，即 ， ，
又 ，则 .
.
(2)
将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
故可得 ；
再将所得图象向左平移 个单位，得到函数 的图象
故可得 ；
， ，
， .
49．（1） ；（2） ； ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据图象先求 ，再根据周期求 ，最后找点带入求 ；
（2）根据图象的平移变化求出函数 的解析式，从而求最大值及 的取值集合；
第 40 页（3）由 得出 ，从而求出函数 的值域.
【详解】
（1）由函数的图象可知： ， ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为点 在函数 的图象上，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）由题意知 ，
所以 的最大值为 ，此时 ，即 ，
即 的最大值为 ，此时 的取值集合为 .
（3）因为 ，所以 ，
所以当 时，即 时， 取最大值为 ；
当 时，即 时， 取最小值为 ，
所以 在 的值域为 .
第 41 页第 42 页
