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第 01 讲 三角函数的图像与性质
本讲为高考命题热点，分值17-22分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
三角函数的图像与性质，三角恒等变换常考察选择题，填空题，解三角形常考察解答题，
考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R { x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π] 无
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的
距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般
可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增
函数.
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 振幅 周期 频率 相位 初相
0，ω＞0)，x∈[0，＋ A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ φ∞)表示一个振动量时
1.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
3.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ
个单位长度.
高频考点一 三角函数的值域和定义域
【例1】1.函数y＝的定义域为________.
【例2】函数y＝sin x－cos的值域为________.
【方法技巧】
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角
函数线或三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求
值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于t的二次
函数求值域(最值)；
(3)形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
【变式训练】
1.当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
2.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.高频考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例3】 (1)(2021·郑州调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y
＝tan中，最小正周期为π的函数有( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范
围是( )
A.(0，5) B.(0，5]
C.[1，5) D.(1，5]
(3)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)是偶函数，则θ的值为________.
(4)已知函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且∀x∈R 有
f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
【方法技巧】
1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝
Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公
式T＝或T＝求解.
2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝
Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则
φ＝＋kπ(k∈Z).
3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋
φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)，求x即可.
【变式训练】
1.已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函
数g(x)＝sin x＋acos x的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称
【答案】D
【解析】由题意知f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，当x＝时，x＋＝，所以直线x＝为对称轴，点不为对称中心，A错误，C正确；
当x＝时，x＋＝，所以点不为对称中心，B错误；当x＝时，x＋＝，所以直线
x＝不为对称轴，D错误，故选C.
2.函数f(x)＝|tan x|的最小正周期是______.
高频考点三 三角函数的单调性
【例4】 (1)函数f(x)＝cos(x∈[0，π])的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【例5】 已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(
)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
【方法技巧】
1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求
y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把 ωx＋φ看作一个整体代入 y＝sin x的相应
单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω的范围的问题，首先，明确
已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区
间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法
求解更为简捷.
【变式训练】
1.(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝cos－2sincos(x∈R)，现给出下列四个结论，其
中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2C.函数f(x)在上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝
sin 2x
2.若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
高频考点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例6】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且
当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【方法技巧】
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五
点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数 y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象
有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【变式训练】
本例已知条件不变，第(3)问改为：由函数 f(x)图象经过如何变换得到 y＝sin x
的图象？
【迁移2】 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝
cos x的图象经过怎样的变换得到？
高频考点五 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例 7】 (1)函数 f(x)＝2sin (ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω＝
________，φ＝________.第(2)图
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图
象的对称中心为( )
第(2)图
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【方法技巧】
y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【变式训练】
1.某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则
这段曲线的函数解析式可以为( )
A.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
B.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
C.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
D.y＝10sin＋20，x∈[6，14]2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分图如图所示，则
f(x)取最小值时x的取值集合为________.
高频考点六 三角函数图像性质的综合应用
【例8】(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝－cos 2x－sin 2x，将f(x)的图象上
所有点沿x轴平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函
数，当θ最小时，函数h(x)＝2cos(πx－θ)的单调递减区间为________.
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m
的取值范围是________.
【方法技巧】
1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将 ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形
结合思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是
把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【变式训练】
1.为使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小
值为( )
A.98π B.π
C.π D.100π
【答案】B
【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，
所以ω≥π.
2.若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最
小正周期为________.
