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第 01 讲 三角函数的图像与性质
本讲为高考命题热点，分值17-22分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
三角函数的图像与性质，三角恒等变换常考察选择题，填空题，解三角形常考察解答题，
考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R { x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π] 无
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的
距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般
可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增
函数.
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 振幅 周期 频率 相位 初相
0，ω＞0)，x∈[0，＋ A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ φ∞)表示一个振动量时
1.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
3.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ
个单位长度.
高频考点一 三角函数的值域和定义域
【例1】1.函数y＝的定义域为________.
【答案】 (k∈Z)
【解析】法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐
标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满
足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的
定义域为.
法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).
所以定义域为.
【例2】函数y＝sin x－cos的值域为________.
【答案】[－，]【解析】∵y＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，∴函数y＝
sin x－cos的值域为[－，].
【方法技巧】
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角
函数线或三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求
值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于t的二次
函数求值域(最值)；
(3)形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
【变式训练】
1.当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
【答案】
【解析】因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2＋，
所以当sin x＝时，y ＝，当sin x＝－或sin x＝1时，y ＝2.即函数的值域为.
min max
2.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
【答案】
【解析】设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，y ＝1；当t＝－时，y ＝－.
max min
∴函数的值域为.
高频考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例3】 (1)(2021·郑州调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的函数有( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范
围是( )
A.(0，5) B.(0，5]
C.[1，5) D.(1，5]
(3)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)是偶函数，则θ的值为________.
(4)已知函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且∀x∈R 有
f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
【答案】(1)D (2)C (3) (4)，k∈Z x＝2kπ＋，k∈Z
【解析】(1)①y＝cos|x|＝cos x，最小正周期为2π，错误；②y＝|cos x|，最小正
周期为π，正确；③y＝cos，最小正周期为＝π，正确；④y＝tan最小正周期为，
错误.故选D.
(2)令ωx＋＝kπ＋，x＝，k∈Z，∵ω>0，由题意得解得1≤ω<5.故选C.
(3)∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z).
又θ∈，
∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意.
(4)由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x) ＝f，即×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
max
又∵|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝cos，
令x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋，k∈Z.
【方法技巧】
1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝
Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公
式T＝或T＝求解.
2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝
Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则
φ＝＋kπ(k∈Z).
3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋
φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)，求x即可.
【变式训练】
1.已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函
数g(x)＝sin x＋acos x的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称
【答案】D
【解析】由题意知f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
当x＝时，x＋＝，所以直线x＝为对称轴，点不为对称中心，A错误，C正确；
当x＝时，x＋＝，所以点不为对称中心，B错误；当x＝时，x＋＝，所以直线
x＝不为对称轴，D错误，故选C.
2.函数f(x)＝|tan x|的最小正周期是______.
【答案】π
【解析】y＝|tan x|的图象是y＝tan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部
分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期为π.
高频考点三 三角函数的单调性
【例4】 (1)函数f(x)＝cos(x∈[0，π])的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【答案】(1)C (2)D
【解析】(1)由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z，
∵x∈[0，π]，∴≤x≤π，
∴函数f(x)在[0，π]的单调递增区间为，故选C.
(2)函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递
减区间为(k∈Z).故选D.
【例5】 已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(
)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
【答案】A
【解析】a＝f＝2cos，b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，因为y＝cos x在[0，π]上递减，
又<<，所以a>b>c.
已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
【答案】
【解析】由0得，＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
【方法技巧】
1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求
y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把 ωx＋φ看作一个整体代入 y＝sin x的相应
单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω的范围的问题，首先，明确
已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区
间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法
求解更为简捷.
【变式训练】
1.(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝cos－2sincos(x∈R)，现给出下列四个结论，其
中正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)在上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝
sin 2x
【答案】D
【解析】f(x)＝cos－sin 2＝cos 2xcos ＋sin 2xsin －sin＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝
sin 2x－cos 2x＝sin.函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A不正确；易知函数f(x)
的最大值为1，所以B不正确；当x∈时，2x－∈，令t＝2x－，显然函数y＝sin
t在区间上先减后增，所以C错误；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所
得图象对应的函数解析式为g(x)＝f＝sin＝sin 2x，故D正确.
2.若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
【答案】A
【解析】f(x)＝cos x－sin x＝cos，由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，
所以解得00，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且
当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【解析】(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝
sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝
2sin的图象.
【方法技巧】
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五
点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数 y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象
有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【变式训练】
本例已知条件不变，第(3)问改为：由函数 f(x)图象经过如何变换得到 y＝sin x
的图象？
【解析】将f(x)＝2sin所有点的纵坐标缩短为原来的(横坐标不变)，得到y＝sin
的图象，再将y＝sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin 2x的
图象，再将y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，
得到y＝sin x的图象.【迁移2】 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝
cos x的图象经过怎样的变换得到？
【解析】因为f(x)＝2sin＝2cos＝2cos，将y＝cos x的图象上的所有点向右平移
个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos的图象上所有的点横坐标缩
短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos上所有点的纵
坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象，即为f(x)＝2sin的图象.
高频考点五 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例 7】 (1)函数 f(x)＝2sin (ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω＝
________，φ＝________.
第(2)图
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图
象的对称中心为( )
第(2)图
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【答案】(1)2 － (2)C
【解析】(1)设f(x)的最小正周期为T，
由题中图象可知T＝－得T＝π，
则ω＝＝＝2，又图象过点，
则f＝2，即2sin＝2，则sin＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<，∴＋φ＝，∴φ＝－.
(2)法一 T＝2＝π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ).由五点作图法知A是“第二点”，得2×＋φ＝，
所以φ＝－.
∴f(x)＝sin.
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
法二 T＝2＝π，由题图知，A，B的中点为f(x)图象的一个对称中心，从而f(x)
图象对称中心的横坐标为＋＝＋＝＋(k，m∈Z).所以 f(x)图象的对称中心为
(k∈Z).
【方法技巧】
y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【变式训练】
1.某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则
这段曲线的函数解析式可以为( )
A.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
B.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
C.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
D.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
【答案】A
【解析】令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周
期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.
又知该函数图象经过(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<π，∴φ＝π.
故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14].
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分图如图所示，则
f(x)取最小值时x的取值集合为________.
【答案】
【解析】(1)令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值 M为30，最小值m为10，
周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，
∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.
又知该函数图象经过(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<π，∴φ＝π.
故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14].
(2)由图象知A＝2，
又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝.
又×ω＋＝2π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin，令2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋kπ(k∈Z)，故f(x)取最小值时x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}.
高频考点六 三角函数图像性质的综合应用
【例8】(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝－cos 2x－sin 2x，将f(x)的图象上
所有点沿x轴平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函
数，当θ最小时，函数h(x)＝2cos(πx－θ)的单调递减区间为________.
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m
的取值范围是________.
【答案】(1)(k∈Z) (2)(－2，－1)
【解析】(1)f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝2cos.
由“五点法”作出f(x)＝2cos的部分图象，如图，要使g(x)为偶函数，只需将
f(x)的图象向左平移(k ∈N)个单位长度或者向右平移(k ∈N)个单位长度.显然θ
0 1
的最小值为.
所以函数h(x)＝2cos，
由2kπ≤πx－≤2kπ＋π，k∈Z，
解得2k＋≤x≤2k＋，k∈Z，
故函数h(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同
的实数根.所以y ＝和y ＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
1 2
由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1).
【方法技巧】
1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将 ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是
把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【变式训练】
1.为使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小
值为( )
A.98π B.π
C.π D.100π
【答案】B
【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，
所以ω≥π.
2.若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最
小正周期为________.
【答案】π
【解析】因为f(0)＝f，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋
＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z).又f(x)在上有且只有一
个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，
所以k＝0，所以T＝π.
