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第 01 讲 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．若 在 是增函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数性质，可得 的单调区间， 是 单增区间的子集.
【详解】 ，
根据函数图象和性质， 在 上单调递增，
在 上单调递减.
而 ，所以a的最大值为 .
故选：A.
2．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于 的二次函数，利用换元法可
得值域.
【详解】函数
，
因为 ，所以当 时，函数取得最小值 ，
当 时，函数取得最大值 ，
故函数的值域为 ，故选：A．
3．若函数 在区间 内存在最小值，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由 的范围，得到 的范围，由 在开区间存在最小值，即可列出不等式，
求出 的范围，从而得到结果.
【详解】由 ，得 .
若 在开区间 内存在最小值，则 ，
解得 ，故选:B.
4．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若集合 中只有两个子集，则
B． 的增区间为
C．若 终边上有一点 ，则
D．函数 是周期函数，最小正周期是
【答案】D
【分析】对于A，对方程 中的 是否为0分类讨论.
对于B，先求此复合函数的定义域，再根据同增异减原则求增区间.
对于C，根据点P坐标，求出 ，再利用诱导公式求解.
对于D，画出函数图像即可判断.
【详解】若集合 只有两个子集，则集合 只有一个元素，
若 ，方程 ，得 ，满足一个元素的要求.
若 ，即判别式 ，解得 ，所以 或1，A错误.
由 得 ，所以函数 的定义域为 ，
在 上递增，
根据复合函数同增异减原则，增区间为 ，B错误.
， 所以 ，C错误.
的图像如下图所示：最小正周期T=2π，D正确.故选：D
5．已知函数 在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为
，则 的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数 在 上是单调函数，
则满足 ，可得 ，
结合选项可得， 可能的值为 和 .故选：B.
6．设函数 (其中 的大致图象如图所示， 则
的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象求得 ， ， ，从而即可求 的最小正周期.
【详解】解：根据函数 (其中 的大致图象，可得 ， ，因为 ，
所以 ，所以 ，
结合五点法作图，可得 ，解得 ，所以 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故选：C.
7．已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为3，最小值为1
B． 的最大值为3，最小值为-1
C． 的最大值为 ，最小值为
D． 的最大值为 ，最小值为
【答案】C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数 ，
设 ， ，
则 ，
所以 ， ，
当 时， ；当 时， .
故选：C
二、填空题
8．已知函数 ，若 对任意实数x都成立，则 的
一个取值为____________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】化简 ，由 对任意实数x都成立等价于 ，
由此即可求出 的取值.
【详解】 ，要使 对任意实数x都成立，则 ，
所以 ，解得 ，
故答案为： （答案不唯一）.
9．已知函数 图象的一部分如图所示，则
____________．
【答案】2
【分析】由图可知 ，根据曲线过点（0,1），可得φ= ，再由五点作图法得 ω+
=2π，进而求出 的值，可得函数 的解析式，从而即可求解.
【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上，
所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ= ，因为|φ|< ，所以φ= ，
又 是函数的一个零点，由五点作图法可得 ω+ =2π，
所以ω=2，所以 ，
所以 .故答案为：2.
10．已知 是奇函数，则 的值为______．
【答案】
【分析】首先根据奇函数的性质 ，求得 ，再代入验证.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，解得
，经检验当 时，，不管函数是 还是 ，都是奇函数.
所以 .故答案为：
三、解答题
11．已知函数 ， 为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点
与一个最低点之间的距离为 ．
(1)求 的解析式；
(2)若已知三点坐标 ， ， ．若 ，且
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设最高点为 ，相邻最低点为 ，则 ，由三角函
数的图象及已知可得 ，解得 ，利用周期公式可求 ，由
，结合范围 ，可求 的值，即可得解 的解析式．
（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得 ，进
而利用三角函数恒等变换即可求解 的值．
（1）解：设最高点为 ，相邻最低点为 ，则 ，
由三角函数的图象及已知，可得 ，即 ，解得 ，由
，可得 ，所以 ，
因为函数 ， 为奇函数，
所以 ，得 ， ，
又 ，所以 ，
于是 ，
（2）解：由（1）可得 ，，
三点坐标 ， ， ，
向量 ， ， ，且 ，
，则 ，
， ，
所以 ， ，
．
一、单选题
1．已知 在区间 上的最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 ，再根据 解方程即可.
【详解】因为 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ．
故选：A．
2．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，可得 的值．
【详解】解：将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
则 ，故选C．
3．已知 ，其部分图象如图所示，则 的解析式
为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得 ，再根据五点作图法求得 即可.
【详解】由图可知 ，解得 ；
又因为 ，故可得 ；
由五点作图法可知 ，解得 ，
故 .故选：D.
4．函数 的图像向左平移 个单位长度后对应的函数是奇函数，
函数 ．若关于 的方程 在 内有两个不同的解
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数 的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，
可得 ，即 ， ，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数 的图像向左平移 个单位长度后，可得
的图象.
由条件 为奇函数，则 ，即
又 ，所以 ，即
关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，
即 在 内有两个不同的解 ，
即 在 内有两个不同的解 ，
即 ，其中( 为锐角) 在 内有两个不同的
解 ，
即方程即 在 内有两个不同的解 ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以
则 ，即 ，
所以 ， 故选：D
5．如果函数 的图像关于点 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的对称性，带值计算即可.
【详解】根据题意， ，即 ，解得 ；当 时， 取得最小值 .故选：B.
6．函数 图像上一点 向右平移 个单位，得
到的点 也在 图像上，线段 与函数 的图像有5个交点，且满足
， ，若 ， 与 有两个交点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先根据已知条件分析出 ，可得 ，再由 可得
对称轴为 ，利用 可以求出符合题意的一个 的值，进而得出
的解析式，再由数形结合的方法求 的取值范围即可.
【详解】
如图假设 ，线段 与函数 的图像有5个交点，则 ，
所以由分析可得 ，所以 ，
可得 ，
因为 所以 ，即 ，
所以 是 的对称轴，
所以 ，即 ，
，
所以 ，可令 得 ，
所以 ，当 时，令 ，则 ，
作 图象如图所示：
当 即 时 ，当 即 时， ，
由图知若 ， 与 有两个交点，则 的取值范围为 ，
故选：A
7．三个数 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】 ， ．
∵ ， ， ，
∴ ．
又∵ 在 上是增函数，
∴ ．故选：C．
二、填空题8．函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则下列函数 的结
论：①一条对称轴方程为 ；②点 是对称中心；③在区间 上为单调增函
数；④函数 在区间 上的最小值为 .其中所有正确的结论为______.（写出正
确结论的序号）
【答案】②③④
【解析】先求得 ，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位得到函数 ，
，所以①错误.
，所以②正确.
由 ，解得 ， .
令 得 ，所以 在区间 上为单调增函数，即③正确.
由 得 ，所以当 时， 有最小值为
，所以④正确.故答案为：②③④
9．已知平面向量 ， ，若函数 在 上是单调递增
函数，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意得 ，求出函数 的一个增区间为 ，利用子
集关系得到m的范围，进而求函数的值域即可.
【详解】由题意可得 ，
令 ，即
当 时，函数 的一个增区间为
又函数 在 上是单调递增函数，∴ ∴
， ，
∴ 故答案为
10．已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角
不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合
题意，可得 的最小正整数为2.
故答案为：2.
三、解答题
11．已知函数 的最小正周期为 ，且 .
（1）求 和 的值.
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度(纵坐标不变)，得到函数 的图象，
①求函数 的单调递增区间；
②求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ， ；（2）① ；②最大值为 .
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到 的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1） 的最小正周期为 ，
所以 ，
即 .
又因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）由（1）可知 ，
函数 的图象向右平移 个单位长度(纵坐标不变)，所以 .
①由 ，
得函数 的单调递增区间为 .
②因为 ，
所以 .
当 ，
即 时，
函数 取得最大值，最大值为 .
12．已知向量 ,设函数
（1）求 的最小正周期．
（2）求函数 的单调递减区间．
（3）求 在 上的最大值和最小值．
【答案】(1) ；(2) ．(3) 最大值为1,最小值为 ．
【分析】先由题意得到 ；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到 ，求解，即可得出结
果；
（3）先由题意得到 ，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
,
（1） 的最小正周期 ；（2）由 ,可得 ,
的单调递减区间为 ．
（3） , ,
,
的最大值为1,最小值为 ．
一、单选题
1．（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正
确；因为 ， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象
向右平移 个单位长度得到，④不正确．故选：A．2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、
两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，
解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所
示：则 ，解得 ，即 ．故选：C．
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个
单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求
出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对
称，则 ，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .故选：C.
5．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度即可得到函数 的图象．故选：D.
6．（2021·全国·高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，即得 ，再利用换元思想求得 的解析
表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
的解析表达式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到
的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，即为 的图象，所以 .故选：B.
7．（2020·天津·高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.故选：B.
8．（2019·天津·高考真题（文））已知函数 是奇函
数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对
应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出 值即可．
【详解】因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又 ∴ ， 故选C．
二、多选题
9．（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中
心对称，则（ ）A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在
上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1
个极值点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．故选：AD．
三、填空题10．（2020·江苏·高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平
移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】 ##
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当 时 ，故答案为：
