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专题 06 函数 y＝Asin(ωx＋φ)
目录
题型一：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换....................................................................................3
题型二：已知函数图象求解析式....................................................................................................5
题型三：三角函数图象变换与性质的综合....................................................................................9
题型四：三角函数模型及其应用..................................................................................................16
知识点总结
知识点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度
0
H与时间t的函数关系式为 H ＝ r sin( ωt ＋ φ ) ＋ h .
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下
表.
ωx＋φ 0 π 2 π
xy＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描点．在同一平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
知识点二、三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中
A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ φ
例题精讲
题型一：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【要点讲解】(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;( π) ( π)
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos α− ,cos α=sin α+ 将不同名函
2 2
数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不
是ωx变为ωx±|φ|.
【例1】（2023春•樟树市校级期中）将函数 的图象上各点向右平移
个单位长度得函数 的图象，则 的单调递增区间为
A． B．
C． D． ，
【解答】解：将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 ，即 的图象，
令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2022秋•上城区校级期末）已知曲线 ， ，
则下面结论正确的是
A．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线
B．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线
D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线
【解答】解：把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
平移 个单位长度，得到曲线 ．
故选： ．
【变式训练2】（2022秋•上城区校级期末）将函数 的图象向左平移 个单位，再将
所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象．已知
，则
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 2倍，
得到 的图象，再将函数的图象向右平移 个单位，得到 的图象；
故选： ．
（2023•昌平区二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增
B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增
D．在区间 上单调递减
【解答】解：函数 ，即 ，将其图象向右平移 个单位长度，
所得图象对应的函数是 ，
当 时， ，
因为余弦函数 在 上不单调，
因此函数 在 上不单调， 错误；
当 时， ，
因为余弦函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减， 错误， 正确．
故选： ．
题型二：已知函数图象求解析式
【要点讲解】 确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法
M−m M+m
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,b= ;
2 2
2π
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω= ;
T
(3)求φ:常用的方法有:① 代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求
解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
② 五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
【例2】（2023春•驻马店月考）已知函数 ， 的部分图
象如图所示，则
A．0 B． C． D．
【解答】解：由函数 的部分图象知， ，
解得 ，所以 ，
又因为 ，解得 ， ，
所以 ， ；
由 ，得 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】（2021•宝鸡模拟）已知函数 的部分图象如
图所示，则关于函数 下列说法正确的是A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 在区间 上是增函数
D．将 的图象向右平移 个单位长度可以得到 的图象
【解答】解：由函数 ， 的部分图象得，
，由五点法画图知 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
对于 ， ，所以 的图象不关于直线 对称， 错误；
对于 ， ，所以 的图象不关于点 ， 对称， 错误；
对于 ， ， 时， ， ，所以 在区间 ， 上是增函
数， 正确；
对于 ，把 向右平移 个单位，得 ，得不到
的图象， 错误．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•谯城区校级期中）已知函数 ， ，的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 的图象关于点
中心对称，则下列判断正确的是
A．要得到函数 的图象只需将 的图象向右平移 个单位
B．函数 的图象关于直线 对称
C．当 时，函数 的最大值为
D．函数 在 上单调递减
【解答】解：由函数的最大值可知 ，
因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以周期 ，则 ，解得： ，
又函数关于点 对称，则 ，
解得： ， ，因为 ，所以 ，
所以函数 ，
对于 ， 向右平移 个单位后得到 ，
，所以 正确；
对于 ，当 时， ，所以 不是函数的对称轴，所以 不正确；
对于 ，当 时， ，所以 ，
所以 ，故 错误；对于 ，若 ，则 ，
所以函数 在 上不具有单调性，故 错误．
故选： ．
【变式训练3】（2023 春•南阳期中）已知函数 ， ，
的部分图象如图，则
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知 ，即周期 ，即 ，得 ，
则 ，
， ，即 ， ，
， 当 时， ，
则 ，
，即 ，
则 ，
．故选： ．
题型三：三角函数图象变换与性质的综合
【要点讲解】(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)= · a ·sin x+ · b ·cos x;
√a2+b2 √a2+b2
√a2+b2 √a2+b2
(3)和角公式逆用,得f(x)= sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
√a2+b2
(4)利用f(x)= sin(x+φ)研究三角函数的性质.
√a2+b2
【例3】（2023春•丽水期末）已知函数 ， ．
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象，求 ， 的值域．
【解答】解：（1）由题 ，周期 ，
令 ，
得 ，
所以 的单调递增区间是 ．
（2）由已知可得， ．
因为 ，所以 ．
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， ，所以 ，所以 ，
所以所求值域为 ．
【变式训练1】（2023春•焦作期末）已知函数 的图象
与 轴的相邻两个交点之间的距离为 ，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数
的单调递减区间．
【解答】解：（1）由已知得 的最小正周期 ，所以 ，
从而 ，又 ， ，所以 ，
所以 ．
（2）由已知得 ．
故 ，
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， ．
【变式训练2】（2023春•成都期末）已知函数 ， 的部分
图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围．【解答】解：（1）由函数 的部分图象知，
，所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ， ，解得 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
即 的取值范围是 ， ．
【变式训练3】（2023春•朝阳区校级月考）函数 的部分图
像如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）若 ， ，求 的取值范围．【解答】解：（1）由图像可知 ，即 ，
解得： ，
由图知函数 过点 ，
，即 ，
，解得 ，
又 ， ，
所以 的解析式为： ；
（2） ， ，
利用余弦函数的图像与性质知： ，
即 ，
令 ，则由题可知 恒成立，
令 ， ，对称轴为 ，开口向上，
①当 时，二次函数 在 上单调递增，
（1） ，
解得 ，此时无解；
②当 时，二次函数 在 上单调递减，在 上单调递减，，
解得： ；
③当 时，二次函数 在 上单调递减，
，
解得： ，此时无解；
综上可知， 的取值范围是 ．
【例4】（2023春•河南期中）如图为函数 ， 的图象，则函
数 的图象与直线 在区间 ， 上交点的个数为
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【解答】解：由五点对应法得 ，得 ， ，
即 ，
由 得 或 ， ，
得 或 ， ，
由 或 ，得 或 ，
由 得 ，1，2，3共4个，
由 得 ，1，2共3个，合计 个．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•河南期中）如图为函数 ， 的图象，
则函数 的图象与直线 在区间 ， 上交点的个数为
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【解答】解：由题图得 ，所以 ，因为 ，
所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
， ，令 ，
或 ， ，由于 ， ，
则 ， ， ， ， ， ， ，有7个值，
故 的图象与直线 在此区间上有7个交点．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•柯桥区期末）已知函数 的部分图象如图所示， ， 是 的两个零点，若 ，则下列为定值的量是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 ， 的周期为 ，
令 ，可得 ， ，
所以 ，即 ， ，
又 ，
所以 ， ， ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•郑州模拟）已知函数 （其中 ，
的图象如图所示，且满足 ，则A． B． C． D．
【解答】解：设 的最小正周期为 ，根据 及函数图象的对称性知，
，
所以 ，得 ．由 ，得 ，即 ，
因为 ，结合图知 ，故 ．
由 ，得 ，即 ，
由图象易知 ，得 ．
故选： ．
【变式训练4】（2023•鲤城区校级模拟）已知函数 在区间
内没有零点，但有极值点，则 的取值范围
A． B． C． D．
【解答】解： ，其中 （取 为锐角），
，其中 （取 为锐角），
设 ，由 ，可得 ．
在 区 间 内 没 有 零 点 ， 但 有 极 值 点 时 ， ， 可 得
．
所以 ．
因为 ， ，所以 ．所以 ，
所 以 在 上 的 最 大 值 在 取 得 ， 故
．
又
，
，
所以 的取值范围是 ．
故选： ．
题型四：三角函数模型及其应用
【要点讲解】(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立
三角函数关系式;
(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际
问题;
(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.
【例5】（2023春•沂水县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环
保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动 6
圈，如图，将该筒车抽象为圆 ，筒车上的盛水桶抽象为圆 上的
点 ，已知圆 的半径为 ，圆心 距离水面 ，且当圆 上点 从水中浮现时（图
中点 开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点 到水面的距离 （单位：
在水面下， 为负数）表示为时间 （单位： 的函数，当 时，点 到水面的距离为A． B． C． D．
【解答】解：由题意，得筒车旋转的周期是 ，
第 时， 点回到原来的位置，第 时 点旋转了180度，
由三角函数可求出 所在直径与水面的夹角为 30 度，所以此时 距离水面的距离为
，
故选： ．
【变式训练1】（2023春•西城区校级期中）如图所示，一个大风车的半径为 ，每
旋转一周，最低点离地面 ，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的
端点 离地面的距离 与时间 之间的函数关系是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意， ， ，
设 ， ， ， ，则 ， ， ，
可得 ，
的初始位置在最低点， 时，有 ，即 ，
解得 ， ， ，
与 的函数关系为： ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•肥城市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济
又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图 ．假
定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图 2，将筒车抽
象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当 时，筒车上
的某个盛水筒 位于点 处，经过 秒后运动到点 ，点 的纵坐标满足
．
已知筒车的轴心 距离水面的高度为2米，设盛水筒 到水面的距离为 （单位：米）
（盛水筒 在水面下时，则 为负数）．
（1）将距离 表示成旋转时间 的函数；
（2）求筒车在 ， 秒的旋转运动过程中，盛水筒 位于水面以下的时间有多长？【解答】解：（1）由题意知， ， ，所以 ，
时， ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以点 的纵坐标满足 ， ．
所以距离 关于时间 的函数为 ， ；
（2） ， 时，令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以筒车在 ， 秒的旋转运动过程中，盛水筒 位于水面以下的时间是
（秒 ．
【变式训练3】（2023•香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客
坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图 某摩天轮的最高
点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图
，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要 30分钟，当游客甲坐上摩天轮的
座舱开始计时．
（1）经过 分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已知 关于 的函数关系式满足
（其中 ， ， ，求摩天轮转动一周的解析式 ；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
【解答】解：（1） （其中 ， ， ，
由题意知： ，
，
故 ，
，
，
又 ，
，
，
故解析式为： ， ， ；（2）令 ，则 ，即 ，
因为 ， ，则 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•广东学业考试）要获得 ，只需要将正弦图像
A．向左移动 个单位 B．向右移动 个单位
C．向左移动 个单位 D．向右移动 个单位
【解答】解：把 的图象向左平移 个单位，所得图象的函数解析式为
．
故选： ．
2．（2023春•顺德区校级期中） ， ， 的一段图象如图，
则其解析式为A． B．
C． D．
【解答】解： ， ，
根据图象可得函数最大值为2，则 ，
点 ， 对应五点作图的第三个点，
则 ， ，
则函数的解析式为： ．
故选： ．
3．（2023春•金安区校级期中）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．
我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图 1．由物理学
知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 和时间
的函数关系为 ， ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续
三次到达同一位置的时间分别为 ， ， ，且 ， ，则在
一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，由 可得 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为 ．
故选： ．
4．（2023•桃城区校级三模）函数 的部分图象如图所示，
则
A． B． C．0 D．
【解答】解：由图可知 ，且过点 ，代入解析式可知 ， ，即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
5．（2023春•河南期中）如图为函数 ， 的图象，则函数
的图象与直线 在区间 ， 上交点的个数为
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【解答】解：由五点对应法得 ，得 ， ，
即 ，
由 得 或 ， ，
得 或 ， ，
由 或 ，
得 或 ，
由 得 ，1，2，3共4个，由 得 ，1，2共3个，合计 个．
故选： ．
6．（2023春•深圳期中）要得到函数 的图象，只需将函数
的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【解答】解：由于函数 ，要得到函数 的
图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位长度即可．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2023•临沂二模）已知函数 ， ， 在一个周期
内的图象如图，则
A．
B．点 是一个对称中心
C． 的单调递减区间是 ，
D．把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，可得 的图象
【解答】解：由图象可得 ，且 ，所以最小正周期 ，
而 ，即 ，可得 ，所以 ，
由图知， 时， ， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 错误；
中，因为 ，这时 ，所以 是函数的一个对称中心，所以 正
确；
中， ， ， ，是函数的单调增区间， 项错误，
理由如下：函数的递增区间满足 ， ，
解得 ，
所以函数的递增区间为 ， ， ，所以 错误；
中， 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，
可得 ，再向左平移 ，可得 ，
即与该函数图像一样，所以 正确；
故选： ．
8．（2023•郴州模拟）设函数 向左平移 个单位长度得到函数 ，
已知 在 ， 上有且只有5个零点，则下列结论正确的是
A． 的图象关于点 对称
B． 在 上有且只有5个极值点C． 在 上单调递增
D． 的取值范围是
【 解 答 】 解 ： 由 题 设 ， 在 ， 上 ， 若
，
所以 在 上有5个零点，则 ，解得 ，故
正确；
在 上， ，当 ，极值点个数为6个，故 错误；
且 ，故 不为0，故 错误；
在 上 ，则 ，故 递增，即 在
上递增，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•汉滨区校级模拟）把函数 的图象向右平移 个单位
后，图象关于 轴对称，若 在区间 ， 上单调递减，则 的最大值为 ．
【解答】解：函数 的图象向右平移 个单位后，得到的函数为
，
函数 的图象关于 轴对称，
，
，又 ， ，
，
， ， ， ，
在区间 ， 上单调递减，
，解得 ，
的最大值为 ．
故答案为： ．
10．（2022秋•河北区期末）已知函数 的部分图象如图所示，
则 ．
【解答】解：令 ，
，
所以 ，所以 ，
结合 ，得 ， ，
易知 时， 即为所求．故答案为： ．
11．（2023春•顺庆区校级期中）将函数 的图象向左平移 个单位得
到一个偶函数的图象，则 ．
【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度得图象所对应的
解析式为 ，
因为 为偶函数，
所以 ，
即 ， ，
又 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．（2023春•桐柏县校级月考）函数 的图象向左平移 个单
位后与函数 的图象重合，则 ．
【解答】解： ， ，
因为平移后图象重合，故 ，因为 ，故 ．故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
13．（2023•桃城区校级模拟）如图， ， 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若
它们同时从点 出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为 （单位：
弧度 秒）， 为线段 的中点，记经过 秒后（其中 ， ．
（1）求 的函数解析式；
（2）将 图像上的各点均向右平移 2 个单位长度，得到 的图像，求函数
的单调递减区间．
【解答】解：（1） ， 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点 出
发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为 （单位：弧度 秒），
经过 秒后（其中 ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
即 ．
（2）依题意可知
由 ，得 ，
故函数 在 ， 上的单调递减区间为 ， ．
14．（2023春•朝阳区校级期末）某同学用“五点法”画函数 ，
， 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）函数 的解析式为 （直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数 在区间 ， 上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ） ， ，
所以 ， ，结合 得 ，故 ；
（Ⅱ）由 ，解得 ， ，
故 的单调递增区间为 ， ， ；
（Ⅲ）由 ， ，得 ，
故当 时， ．15．（2023春•长寿区期末）若函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，当 时，
求 的值域．
【解答】解：（1） ，
则函数 的周期为 ；
（2）函数 的图象向右平移 得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
当 时， ，当 时， ，
，故函数 的值域为 ．
