文档内容
考点 27 函数y＝Asin(ωx＋φ)（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数
学模型．
【知识点】
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝_____ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝
kπ，k∈Z确定其横坐标．
【核心题型】
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而
非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值
【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，
给出下列三个结论：
① ；②函数 在 上单调递减；
③将 的图象向左平移 个单位可得到 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式1】（2024·北京通州·二模）已知的数 （ ），若 的最
小正周期为 ， 的图象向左平移 个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来
的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则 ；若 在区间
上有3个零点，则 的一个取值为 ．
【变式2】（2024·山东·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，函数 ， 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，且
，将 的图象向右平移 个单位得到 的图象且 ，
的内切圆的周长为 ．则 的面积的最小值为 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）将函数 图象上所有点的横坐标伸
长至原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．
(1)求函数 在区间 内的所有零点之和；
(2)若 ，讨论函数 的单调性．
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的部分图
象如图所示，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则在下
列区间上函数 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·海南·模拟预测）如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为
2，位移 与时间 满足函数 ，点 在
该函数的图象上，且位置如图所示，则 .
【变式2】（2024·湖北武汉·二模）函数 的部分图象如图所示，
则 .【变式3】（2023·河北·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
其中 ，且 .
(1)求 与 的值；
(2)若斜率为 的直线与曲线 相切，求切点坐标.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进
行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
命题点1 图象与性质的综合应用
【例题3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，且 的图象关于点 中心对称，给出下列三个结论：
① ；
②函数 在 上单调递减；
③将 的图象向左平移 个单位可得到 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数 ，
且 的最小正周期为 ，给出下列结论：
①函数 在区间 单调递减；
②函数 关于直线 对称；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式2】（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到
原来的3倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 的最小正周期为 ，
.【变式3】（2023·山西·模拟预测）已知函数 的
部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在
上的值域.
命题点2 函数零点(方程根)问题
【例题4】（2023·河南·模拟预测）若关于 的方程 在 内有两个不
同的解 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【变式1】（2022·陕西渭南·一模）若关于 的方程 在 上
有实数根，则实数 的取值范围是 ．
【变式2】（2022·全国·模拟预测）若方程 在 上的两个
不等实根为 ， ，则 ．
【变式3】（2023·上海宝山·二模）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调区间；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
命题点3 三角函数模型
【例题5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩
天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为
120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距
离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【变式1】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌
田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之
程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如
图，一个半径为4 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为
.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于 的时间为（ ）
A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒
【变式2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳
步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，
单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为 ，圆上两点A，B始终满足
，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点
的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即 秒时，
点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的
竖直距离关于时间t的函数解析式为 .【变式3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）如图，均匀的圆面绕圆心 作逆时针方向的匀速旋
转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为 ，在旋转
圆面的右侧有一固定相机C（C， 两点在 的两侧），且 ， .
(1)记旋转角为 .若 ，求t的取值范围及弦 的长度；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的长.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）若函数 的部分图象如
图所示， ， 为图象上的两个顶点.设 ，其中O为坐标原点，
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的部分图
像如图所示，则 （ ）
A． B． C．0 D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，如图 是直线 与曲
线 的两个交点， ，则 （ ）A．0 B． C． D．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 在区间 上是减
函数，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 （ ， ）满足
，且 在 上单调递减，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 的对称轴为 ， D． 在 上有3个零点
6．（2024·山东日照·二模）已知函数 的部分图象
如图中实线所示，图中圆 与 的图象交于 两点，且 在 轴上，则下列命题正
确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 在 上单调递减C．函数 的图象向左平移 个单位后关于直线 对称
D．若圆 的半径为 ，则
三、填空题
7．（22-23高三上·河北·阶段练习）如图是函数
的部分图象，A是图象的一个最高点，D是
图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 ， 的面积等于 ．若
时，关于x的方程 恰有3个不同的实数根，则m的取值
范围是 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到 的
图象，若 在区间 上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．9．（2024·江西南昌·一模）“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，
成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩
天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 .
四、解答题
10．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的值域．
11．（2023·四川绵阳·一模）已知函数 的部分图象
如图所示．(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，求函数 在
上的单调递减区间．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．当 时， 的最小值为B． 在区间 上单调递增
C． 的最小正周期为
D． 的图象关于直线 对称
2．（2024·陕西渭南·三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，
所得图象关于原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，
是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车
的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水
车最顶端（图中点B），再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在
的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东广州·二模）已知函数 的部分图象如图所
示，若将函数 的图象向右平移 个单位后所得曲线关于 轴对称，则 的最小值
为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 的部
分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点 ，则
（ ）
A． B．1 C．－1 D．
6．（2024·甘肃酒泉·三模）函数 ，其部分图象
如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数 ，将
的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象．若 ， 是关于x的方程在 内的两个不同的根，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·重庆·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位后，
所得图象关于坐标原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·三模）已知 是函数 的两个零点，且
的最小值是 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D． 在 上仅有1个零点
10．（2024·浙江金华·三模）已知 在 上是单调函数，且
的图象关于点 对称，则（ ）
A．若 ，则
B． 的图象的一条对称轴方程为
C．函数 在 上无零点D．将 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为偶函数
11．（2024·河北石家庄·三模）函数 的部分图象
如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B． 的图象关于直线 对称
C．
D．若方程 在 上有且只有5个根，则
三、填空题
12．（2024·江苏·模拟预测）将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来
的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 轴对
称，写出一个符合条件的 的值 .
13．（2024·贵州贵阳·一模）函数 的部分图象如图
所示，已知 ，且 ，则 ．14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分
图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长到原来的
2倍，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象．若方程
在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两条
对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式与单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
16．（2024·福建三明·三模）已知函数 （其中 ）其中图象
的两条相邻对称轴间的距离为 .
(1)若 在 上有最大值无最小值，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍
（纵坐标不变），得到 的图象，设 ，求 在 的极大值点.
17．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示.
(1)
求函数 的解析式；(2)若函数 在区间 上恰有两个零点 ，求 的值.
18．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数
的部分图象，且 ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 个
单位长度，得到函数 的图象，讨论函数 在区间 的零点个数．
19．（2023·陕西安康·一模）已知函数 的部分
图象如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横
坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.当 时，方程
恰有三个不相等的实数根， ，求实数a的取值范围以及
的值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度后
得到的图象与 的图象关于原点对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·三模）已知函数 ，图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）A．函数 的振幅是 ，初相是
B．若函数 的图象上的所有点向左平移 后，对应函数为奇函数，则
C．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
D．若函数 的图象关于 中心对称，则函数 的最小正周期 的最小值为
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
的部分图象，将 图象上所有点的横坐标
伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
的解析式为（ ）
A． B．C． D．
4．（2024·山东聊城·三模）设函数 的图象与函数 的图象关于
轴对称，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数
的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、多选题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 则下列结论正确的是
（ ）
A．当 时， 的图象关于 中心对称
B．当 时，将 图象向右平移 个单位长度后的函数图象关于y轴对称
C．当 时， 在 上单调递减
D．设 的周期为T，若 时， ， 为方程 的两个不相等实根，则
6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，则（ ）A．
B． 在区间 上单调递增
C．将函数 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向
右平移 个单位长度，可得函数 的图象
D．函数 的零点个数为7
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图像如图所
示.若函数 的图像在区间 上有两条对称轴，且 ，则 的
取值范围是 .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的部分图象
如图所示，则 ．9．（2024·辽宁抚顺·一模）已知 是函数 的两个
零点，且 ，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对
称，且函数 在 内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2023·四川泸州·一模）已知函数 的相邻两
对称轴间的距离为 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长
度得到函数 的图象，若 ， ，求 的值．
11．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数
的部分图像如图所示，其中 的图像与 轴
的一个交点的横坐标为 ．(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围．
