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易错点 05 三角函数
易错点1：三角函数的定义
此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考
查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。
易错点2：三角函数图象变换
函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是
先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变
为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平
移.
易错点3：由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则 .
（2）求ω，已知函数的周期T，则 .
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口，具体如
下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ= ；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ= ；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
易错点4： 给值（式）求角（值）
解三角函数的给值求值问题的基本步骤
（1）先化简所求式子或所给条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
易错点5：三角形中边角关系
此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、
三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，
结合基本不等式构造不等关系求得最值.1．（单选）已知函数 ，将函数 的图象向左
平移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知 ，
，解得： ,
函数 的图象向左平移 个单位长度，得
当 时， ，且 ，
得
所以 ， .
故选：A
2．（单选）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标压缩到
原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ）
A．最小正周期为 B．奇函数
C．偶函数 D．
【答案】D【详解】解：把函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 ，
再把横坐标压缩到原来的 倍，纵坐标不变，
得 ，即 ，
则最小正周期为 ，故A错误；
因为 ，所以函数 是非奇非偶函数，故BC错误；
，故D正确.
故选：D.
3．（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 的图像关于直线 对称 D．将 的图像向右平移 个单位长度，
再向上平移 个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数
【答案】BD
【详解】
，故
的最小正周期为 ，最大值为 ，故A错误，B正确；
对称轴方程为 ， ，即 ， ，当 时， 不为整数，
故C错误；
对于选项D，将 的图像向右平移 个单位长度后得到
，
然后将此图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像， 是一个奇函数，故D正确.
故选：BD.
4．（多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 上单调递增
C． 的解集为 ．
D． 的图象的对称轴方程为
【答案】BC
【详解】对于A选项：由图知 ，函数 的最小正周期 ，
所以 ，所以 ．因为点 在 的图象
上，所以 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
对于B选项：令 ，得 ，即
的单调递增区间为 ，因为
，
所以B正确；
对于C选项:令 ，则 ，所以，解得 ，
所以 的解集为 ，故C正确；
对于D:令 ，解得 ，所以 的图象
的对称轴方程为 ，故D错误．
故选：BC．
5．（多选）已知函数 的图象关于直线 对称，则
（ ）
A． 是奇函数 B． 的最小正周期是π
C． 的一个对称中心是 D． 的一个递增区间是
【答案】BD
【详解】B． 的最小正周期是 ，B正确；
A．由于 的图象关于直线 对称，且最小正周期是 ，因此 的图象也关于直
线 对称，故 是偶函数，A错误；
C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则 或 ，根据
可得解析式为前者． 的对称中心为 ， ，C错误；
D．由于 ， 在 单调递增，D正确．
故选：BD.
1．（单选）已知有恒等式 ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B【详解】因为
所以
故选：B
2．（单选）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 可得 ，故 ，则
故选：C
3．（多选）若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 在 上为增函数
【答案】BD
【详解】由题意，．
函数 的图象向右平移 个单位长度可得到
，故A错误；
，所以函数 的图象关于直线 对称，故B
正确，C错误；
函数 在 上为增函数， 时， ，故函数 在 上
单调递增，所以函数 在 上为增函数，故D正确．
故选：BD．
4．（多选）函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．函数 在 上单调递增 D．函数 图像的对称轴方程为
【答案】AD
【详解】由图像知函数的周期 ，解得： ，所以A对；
由五点对应法得 ，因为 ，所以 ，所以B错误，所以 ．
当 时，函数 单调递减.取 ，得 的一个单调递减
区间为 ，所以C错，
函数 图像的对称轴方程为 ，即 ，所以D对．
故选：AD
5．（多选）已知函数 图像的一条对称轴和一个对称中心的最小
距离为 ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．将函数 的图像向左平移 个单位长度后所得图像关于原点对称
C．函数 在 上为增函数
D．设 ，则 在 内有20个极值点
【答案】ABD
【详解】根据题意可得 ，则 ，即 ，A正确；
将函数 的图像向左平移 个单位长度得
∵ 为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；
∵ ，则
∴ 在 上为减函数，C错误；
，则
∴ 为奇函数当 时， ，则
令 ，则 ，即
∴
∵ ，即 ，则
∴ 共10个
则 在 内有20个极值点，D正确；
故选：ABD．
一、单选题
1．若 ，则 ＝（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】C
【详解】依题意， ，所以 .
故选：C
2．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得 ，
则原式 ．
故选：A.
4．函数 的部分图象如图所示，若把 的图象向
左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图可知， ，因为图像过 ， ，所以 ，
解得 ，则 ，
根据图像可知 且 ，解得 ，
所以 ， ；
把 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
，
根据诱导公式可得 ，解得 ，当 时， .
故选：C.
5．下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A， 的周期为 ， 时，当 时，函数 不
单调，故错误；
对于B， 的周期为 ， 时，当 时，函数 单调递增，
故正确；
对于C， 的周期为 ，故错误；
对于D， 的周期为 ， 时，当 时，函数 单调递
增，故 单调递减，故错误.
故选：B
6．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
因为 ，
所以 的最小正周期为 .
故选：D.
二、多选题
7．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 后得到C．函数f(x)在[－ ， ]上单调递增
D．函数 的值域为[－2， ]
【答案】AD
【详解】解：对于A： ，选项A
正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到 ，再向左平
移 后得到 ，选项B错误；
对于C：当 时， ，其中
，不妨令 为锐角，
当 即， 时，f(x)单调递增，
当 ，即 时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－ ， ]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为： ．
因此：可取区间[－ ， ]探究f(x)值域，
当 时， ，其中 ，
即：
，选项D正确．
故选：AD.
8．设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减 D． 在 上的最小值为0
【答案】ABC【详解】当 时， ，所以 的图象关于点 对称，A正确；
当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，B正确；
当 时， ， 在 上单调递减，故C正确；
当 时， ， 在 上的最小值为 ，D错
误.
故选：ABC
三、解答题
9．已知函数
(1)求函数 的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标
伸长为原来的2倍，得到函数 的图象，求 在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】（1）
，
，
所以函数 的最小正周期为 ，
令 ， ，得函数 的对称轴方程为 ，
（2）
将函数 的图象向左平移 个单位后所得图象的解析式为
，
所以 ，令 ，
所以 .又 ，
所以 在 上的单调递减区间为 .
10．已知函数 ，其中
(1)若 且直线 是 的一条对称轴，求 的递减区间和周期；
(2)若 ，求函数 在 上的最小值；
【答案】
(1)
可知 ，
因为直线 是 图象的一条对称轴，故 ，
解得 ，而 ，故 ，则 ，
则周期 ，
再令 ，则 ，
故 的递减区间为 .
(2)
可知
因为 ，故 ，则在 即 取 最小值，其最小值为 .
