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中考数学几何专项练习：
相似模型--旋转“手拉手”模型（基础+培优）
一、单选题
1．如图，在 中， ，以 ， 为边分别向外作正方形 和正方形 ，
交 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，由“ ”可证 ，可得 ， ，利
用勾股定理分别求出 ， 的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，
，
，
，
设 ， ，
，
， ，
1 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助
线构造相似三角形是解题的关键．
2．如图， 与 中， ， ， ， 交 于D，给出下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】通过证明 ，可判断①；根据 ， ，得出 ，
即可判断②；根据 ，得出 ，则 ，即可判断③；根据 ，
得出 ，进而得出 ，即可判断④．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
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∵ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④不正确，
综上：正确的有②③，共2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理，
并熟练运用．
3．如图，已知 ，添加一个条件后，仍不能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定逐项分析即可得到答案．
【详解】解： ，
，即 ，
A、 ，
，
故此选项不符合题意；
B、 ，
，
故此选项不符合题意；
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C、由 ，
不能得到 ，
故此选项符合题意；
D、 ，
，
故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个角
对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕着点A逆时针旋转45°，得矩形 ，
其中 交 于点E，延长 交 于点F，连接 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质可得 ，根据旋转的性质可得 ，
，根据等腰直角三角形的判定和性质可得 ， ，根
据相似三角形的判定和性质可得 ，求得 ， ， ，
根据全等三角形的判定和性质可得 ，根据勾股定理可得 ，即可求得．
【详解】∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ，
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∵矩形 绕着点A逆时针旋转45°，得矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 为等腰直角三角形
∴
同理 为等腰直角三角形
∴
∴
∴
又∵ ， ， ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴
在 中，
∴
故
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
二、填空题
5．如图，已知 和 有公共顶点 ，且 ， ， ，则
度．
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【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出 ，根据题意证明 ，得到
，得到 ，从而证明 ，进而得到 ．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，且 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，结合图形
找到相似三角形并证明是解答本题的关键．
6．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针
方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+ AD的最小值
为 ．
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【答案】 /
【分析】在AC上截取一点M，使得CM= ．利用相似三角形的性质证明DM= AD，推出BD+ AD=BD+DM，推
出当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，即可解决问题；
【详解】解：如图，在AC上截取一点M，使得CM= ．连接DM，BM．
∵CD=2，CM= ，CA=3，
∴CD2=CM•CA，
∴ ，
∵∠DCM=∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴ ，
∴DM= AD，
∴BD+ AD=BD+DM，
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∴当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，
∴最小值= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题
的关键是学会由转化的思想思考问题．
7．如图，在 和 中， ，E为 的中点，
将 绕点O旋转，直线 ， 交于点F，连接 ，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，则 ，当 三点共线时， 最小，证明
，进而推出 ，进而得到 ，根据三角形中位线定理以及斜边上的中
线等于斜边的一半，求出 ，进而求出 的最小值．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，
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则 ，
∴当 三点共线时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点， 为 的中点，
∴ ，
∴ 的最小值为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方
法，证明三角形相似，是解题的关键．
三、解答题
8．若 绕点 逆时针旋转 后，与 构成位似图形，则我们称 与 互为“旋转位似图
形”．
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(1)知识理解：
如图①， 与 互为“旋转位似图形”．
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
(2)知识运用：
如图②，在四边形 中， ， 于点 ， ，求证： 与
互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图③， 为等边三角形，点 为 的中点，点 是 边上的一点，点 为 延长线上的一点，
点 在线段 上， ，且 与 互为“旋转位似图形”．若 ， ，求 ．
【答案】(1)①27°；②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①依据 和 互为“旋转位似图形”，可得 ，依据相似三角形的
对应角相等，即可得到 ；
②依据 ，可得 ，根据 ， ， ，即可得出 ；
（2）依据 ，即可得到 ，进而得到 ，再根据 ，
，即可得到 ，进而得出 和 互为“旋转位似图形”；
（3）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）① 和 互为“旋转位似图形”，
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，
，
又 ， ，
；
② ，
，
， ， ，
，
，
故答案为： ； ；
（2） ， ，
，
，即 ，
又 ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
绕点 逆时针旋转 的度数后与 构成位似图形，
和 互为“旋转位似图形”；
（3） 点 为 的中点，
，
由题意得： ，
，
，
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，
，
由勾股定理可得 ，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾
股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键．
9．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边 中，点P是边 上任意一点，连接 ，以 为边作等边 ，
连接 ．求证： ．
(2)变式探究：如图2，在等腰 中， ，点P是边 上任意一点，以 为腰作等腰 ，
使 ， ，连接 ．判断 和 的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形 中，点P是边 上一点，以 为边作正方形 ，Q是正方形
的中心，连接 ．若正方形 的边长为12， ，求正方形 的边长．
【答案】(1)证明见解答过程
(2) 和 的数量关系为： ；理由见解答过程
(3)
【分析】（1）证明 ，即可得到结论；
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（2）证明 ，则 ，由 得到 ，则
，即可证明结论；
（3）连接 ，证明 ，得到 ，求出 ，设 ，则
，在 中， ，则 ，求出 ，
即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 与 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 和 的数量关系为： ；
理由如下：
在等腰 中， ，
∴ ，
在等腰 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 ，如图3所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵Q是正方形 的中心，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴正方形 的边长 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的
性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的
关键．
10．如图1， 中， ， ， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，其
中 是点 的对应点，且 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，当点 在线段 上时，求 的面积；
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证 ，从而可证 ，可得 ，可求 ，即可得证；
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（2）过 作 交 于 ，可求 ，可证 ，可得 ，可求
，即可求解．
【详解】（1）证明： 将 绕点 顺时针旋转得到 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
在 中：
，
，
．
（2）解：如图，过 作 交 于 ，
由旋转得： ，
， ，
，
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，
，
由（1）同理可证 ，
，
，
，
，
，
在 中：
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，面积转化，掌握性质及判定方法
是解题的关键．
11．（1）问题发现，如图1，在 中， ，点 是边 上一动点（不与点 重
合）， ，连接 ．
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(1)①求 的值；
②求 的度数．
(2)拓展探究，如图2，在 中， ．点 是边 上一动点（不与点 重合），
，连接 ，请判断 与 的数量关系以及 与 之间的数量关系，并
说明理由．
【答案】(1)①1；②
(2) ， ，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件推出 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，于是得到 ；
（2）根据已知条件得到 ，由相似三角形的性质得到 ，得到 ，根
据相似三角形的性质得到结论；
【详解】（1） ， ，
，
，
， ，
，
，
在 与 中，
，
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，
， ，
，
故答案为：1， ；
（2） ， ；
理由是： ， ，
，
，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．如图，点A在线段 上，在 的同侧作等腰 和等腰 ， 与 、 分别交于
点P、M．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ， ， ，即可证 ；
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（2）由 可得 ，即可证 ，可得 ．
【详解】（1）证明：∵等腰 和等腰 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
（2）∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理的应用，熟练运用相似三
角形的判定是本题的关键．
13．（1）如图①在 内， ， ，D是 内一点，将 绕点B顺时针旋
转，点C恰好与点A重合．D旋转到点E，连接 、 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，如图②，当 ，延长 交 于点F，若 ， 时，求 的长．
（3）如图③，在 和 中， ， ，连接 、 填
空：
①线段 与 的数量关系是______________；
②当 时，点E到 的距离 的长为2，则线段 的长为__________．
【答案】（1） ，理由见解析（2） ；（3）① ；②
【分析】（1）由旋转的性质得到 ，进一步证明 即可证明
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；
（2）要求 的长，根据矩形的判定定理可得四边形 是矩形，则 ，在 中根据
勾股定理可求得 的长，根据 ， ， 即可求解；
（3）①要求线段 与 的数量关系，根据两边对应成比例且夹角相等可得 ，再根据相
似三角形的性质即可求解；②要求线段 的长，在 中求出 的长，再根据 即可求
解．
【详解】解：（1） ，理由如下：
由旋转的性质可得
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设 与 交于点 ，
由旋转的性质可知 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵ ， ，
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∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
②∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度
角的直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．在 中， ， ．点 是平面内不与点 ， 重合的任意一点，连接 ，将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， ．
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(1)【猜想观察】如图①，若 ， 交 于点 ，则 的值是______，直线 与直线 相交
所成的较小角的度数是______；
(2)【类比探究】如图②，若 ， 与 ， 分别相交于点 ， ，求 的值及 的度
数；
(3)【解决问题】如图③，当 时，若 ， ， 三点在同一直线上，且 ， 交 于点
， ，求 的长．
【答案】(1) ，
(2) ；
(3)
【分析】（1）延长 交 于 ，根据 证 ，即可得出 ，然后根据角相等得出
即可；
（2）先证 ，根据线段比例关系得出 的值，然后根据角的等量代换得出
，即可，
（3）设 ，则 ，证 ，根据比例关系得出方程求解即可．
【详解】（1）解：延长 交 于 ，
，
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， ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中， 且 ，
，
故答案为： ， ；
（2） 线段 绕 点逆时针旋转 得到线段 ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
又 ，
即 ，
，
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， ，
；
（3）设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
即 ，
解得 或 （舍去），
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握相似三
角形的性质与判定是解题的关键．
15．已知 和 都是等腰三角形， ， ．
(1)当 时，
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①如图1，当点 在边 上时，请直接写出 和 的数量关系： ；
②如图2，当点 不在边 上时，判断线段 和 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，当 时，请直接写出 和 的数量关系： ；
(3)在（1）的条件下，将 绕点 逆时针旋转 ，当 时，请直接写出 的长
度．
【答案】(1)① ；② ，见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）①根据题意可得 ， ，进而得出答案；
②运用“ ”证明 即可得出结论；
（2）证明 即可得出结论；
（3）分两种情况进行讨论即可：①点D在 的上方；②点D在 的下方；进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
② ．
理由如下：
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
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（2） ，
在等腰直角三角形 中： ，
在等腰直角三角形 中： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）分两种情况讨论：①如图（1），点D在 的上方，
延长 交 于点H，
∵ ， ，
∴ 为 的中垂线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由（1）可知 ；
②如图（2），点D在 的下方．
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同理可得 ，
∴ ．
综上所述，AD的长为 或 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟
练掌握手拉手模型是解本题的关键．
16．某校数学兴趣小组在一次学习活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题∶如图1，在等腰 中， ，点M是边 上任意一点，连接 ，以 为腰作
等腰 ，使 ， ，连接 ，求证： ．
(2)类比探究：如图2，在等腰 中， ， ， ，点M是边 上任意一点，以
为腰作等腰 ，使 ， ，在点M运动过程中， 是否存在最小值？若存在，
求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形 中，点E是边 上一点，以 为边作正方形 ，M是正方形
的中心，连接 ，若正方形 的边长为12， ，求 的面积．
【答案】(1)详见解析
(2) 存在最小值，5
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(3)
【分析】（1）由 ，推证 进而证得 ，从而 ．
（2）连接 ，易证 ，得 ，再证 ，从而 ，
得 ，确定点N的运动路径，即N在 的边 上运动，由垂线段最短及直角三角
形性质知 时， 最小， 的最小值= =5；
（3）连接 ，过点M作 于点P，如图，由正方形性质可证得 ，
，所以 ，于是 ， ；设 由勾股定理
求得 ，在 中， ，进一步求得三角形面积．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵ ．
∴ ．
∴ ．
（2） 存在最小值．
理由：连接 ，在等腰 与等腰 中
∴
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∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点N在 的边 上运动，
∴当 时， 最小， 的最小值= =5
（3）连接 ，过点M作 于点P如图，
∵M为正方形 的中心，
∴ ．
∵四边形 为正方形
∴ ．
∴ ．
∴
∵
∴
∴ ，
设
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∵
由勾股定理得：
解得： ， (舍去)
∴
在 中， ，
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、垂线段最短、正方形性质、直角
三角形的性质、勾股定理等；能够灵活根据题设条件求证三角形相似，进而得到线段、角的数量关系是解
题的关键．
17．数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形 中， ， ，在 边上取一点M使
，将 绕点A顺时针旋转 度到 ，以 为边作矩形 （如图1所示）， ，连接
、 交于点N．
(1)求证： ．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明
，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明 ，从而得到 ．请
你按照他的思路完成证明过程．
(2)连接 ，当旋转角 时（如图2），求 的值．
(3)连接 （如图3），当 时，小明发现 是一个定值，请求出这个值．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3) 是一个定值，定值为325．
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【分析】（1）利用“两边对应成比例且夹角相等”证明 ，推出 ，再利用“直
角三角形两锐角互余”可证明 ，即可证明；
（2）分别过点B、D作直线 的垂线，垂足分别为Q、P，利用含30度角的直角三角形的性质有勾股定理
求得 、 的长，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由（1）得 ，利用勾股定理推出 等于 ，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 和 都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：分别过点B、D作直线 的垂线，垂足分别为Q、P，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
由（1）得 ，
∴
，
∴ 是一个定值，定值为325．
【点睛】本题考查矩形中的旋转变换，涉及三角形相似的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质有勾
股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形求解．
18．在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度
数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片 进行如下操作：
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【初步探究】如图1，折叠三角形纸片 ，使点C与点A重合，得到折痕 ，然后展开铺平，则 与
位置关系为_______， 与 的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将 绕点C顺时针旋转得到 ，连接 ，若 ，求
的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当 时，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）先由折叠的性质得到 ，进而证明 ，进一步证明 ，
即可得到 ；
（2）由勾股定理得 ，由旋转的性质可得 ，
，则 ，证明 ，即可得到 ；
（3）分如图3-1和图3-2两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵折叠三角形纸片 ，使点C与点A重合，得到折痕 ，
∴点A与点C关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ；
（2）在 中，由勾股定理得 ，
由（1）可得 ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3-1所示，当 时，延长 交 于T，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ；
如图3-2所示，当 时，过点M作 于H，
∵ ，
∴ ，
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又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，灵
活运用所学知识是解题的关键．
19．如图，在 中， ， ，点D在射线 上，连接 ，将 绕点D逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ．
(1)当点D落在线段 上时，
①如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系是______， ______°；
②如图2，当 时，请判断线段 与 的数量关系，并给出证明；
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(2)当 时，过点A作 交 于点N，若 ，猜想 与 的数量关系并说明理由．
【答案】(1)① ， ；② ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）①首先根据题意证明 和 是等边三角形，然后证明出 ，最后
利用全等三角形的性质求解即可；
②首先证明出 和 是等腰直角三角形，然后证明出 ，根据相似三角形的性质求
解即可；
（2）设 ，则 ， ，然后根据勾股定理求出
，然后利用等面积法求出 ，进而求解即可．
【详解】（1）①∵将 绕点D逆时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ， ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图所示，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
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∴ ，
∴ ，即 ，
∴解得 ，
∴ ．
【点睛】此题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，
解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20．如图，在 和 中， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 ，可得出 ，结合 ，可证出 ；
（2）由 ，利用相似三角形的性质可得出 ，结合 ，可求出
的长．
【详解】（1）证明： ，
，
，
又 ，
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；
（2）解： ，
，
，
.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）牢记“两角对应相等的两个三角形
相似”；（2）牢记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”．
21．问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；
尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相
交于点 ，点 在 边上， ，求 ；
拓展创新：如图（3）， 是 内一点， ， ， ，请直接写出
的值．
【答案】问题背景：见解析
尝试应用：3
拓展创新：4
【分析】问题背景：由题意得出 ， ，则 ，可证得结论；
尝试应用：连接 ，证明 ，由（1）知 ，由相似三角形的性质得出
， ，可证明 ，得出 ，则可求出答案；
拓展创新：过点 作 的垂线，两垂线交于点 ，连接 ，由直角三角形的性质求得 ，由勾股定
理求得 ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，证明 ，得出
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，求出 ，再根据勾股定理即可求得 ．
【详解】问题背景：证明： ，
， ，
， ，
；
尝试应用：解：如图1，连接 ，
， ，
，
由（1）知 ，
， ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
；
拓展创新：解：如图2，过点 作 的垂线，两垂线交于点 ，连接 ，
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，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，
在 中， ．
【点睛】此题考查相似形的综合应用，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知
识是解题的关键.
22．已知正方形 ，动点 在 上运动，过点 作 射线 于点 ，连接 ．
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(1)如图1，在 上取一点 ，使 ，连接 ，求证： ；
(2)如图2，点 在 延长线上，求证： ；
(3)如图3，若把正方形 改为矩形 ，且 ，其他条件不变，请猜想 和 的数
量关系，直接写出结论，不必证明．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3) ，理由见详解
【分析】（1）先判断出 ，利用等角的余角相等判断出 ，进而判断出
，即可得出结论；
（2）利用四边形的内角和定理和邻补角的定义判 ，进而判断出 ，再判断
出 ，即可得出结论；
（3）先判断出 ，同（1）的方法得， ，得出 ，得出比例式，
进而得出 ，再用勾股定理得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解： ，理由如下，
如图所示，过点 作 交 于点 ，
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∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
同（1）的证明方法得， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查正方形、矩形、直角三角形的综合，掌握正方形的性质，矩形的性质，直角三角形
的勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
23．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
和 都是等边三角形，将 绕着点 旋转到图 位置，求证： 小百合很快就通过
≌ ，论证了 ．
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(1)请你帮助小百合写出证明过程；
迁移应用：小百合想，把等边 和等边 都换成等腰直角三角形，将 绕着点 旋转到图
位置，其中 ，那么 和 有什么数量关系呢？
(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；
(3)如图 ，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形 绕点 旋转 ，若 ， ，
在旋转过程中，当 ， ， 三点共线时，请直接写出 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ；
（2）证明 ，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，证明 ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出
答案．
【详解】（1）证明： 和 分别是等边三角形，
， ，
，
，
即 ，
在 和 中，
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，
≌ ，
；
（2） ，
证明： ， 都是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
∽ ，
，
；
（3） 如图，连接 ，
由 知 ∽ ，
，
，
四边形 是正方形，
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，
，
四边形 是正方形，
， ，
， ， 三点共线．
，
，
；
如图，连接 ，
由 知 ∽ ，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
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， ， 三点共线．
，
，
；
综上，当 ， ， 三点共线时， 的长度为 或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方
形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角
形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．问题情境：
如图①，正方形 的边长为 ，点 在对角线 上， ，过点 作 ，分别
交 ， 于点 ， ．
数学思考：
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)将图一中的四边形 绕点 顺时针旋转一定的角度得到图②连接 ， ，猜想 与 之间的
数量关系，并说明理由．
【答案】(1)四边形 是正方形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ，根据已知条
件证明四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，进而即可得出结论；
（2）根据正方形的性质可得 ， ，进而可得 ，然后得出 ，即可
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证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）四边形 是正方形，理由如下，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是正方形；
（2）∵四边形 是正方形，四边形 是正方形；
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在 中， ， ， ．点 ， 分别是边 ， 的中点，连
接
(1)特例分析：在图1中， 的长为 ， 的值为 ．
(2)拓展探究：将图1中的 绕点C顺时针方向旋转．
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①当点 和点 分别在 和 的延长线上时， 的值为 ；
②当点 和点 旋转到 的外部时，得到图2，判断此时 的值是否变化，请说明理由；
(3)问题解决：当 旋转到点 ， ， 三点在同一直线时，直接写出 的长．
【答案】(1) ，
(2)① ；②见解析
(3) 或
【分析】（1）先根据勾股定理求得 的长，然后根据中位线的性质得出 ， ，根
据平行线分线段成比例即可求解．
（2）①证明 ，根据旋转的性质以及相似三角形的性质得出 ，则
，进而可得 ，代入数据即可求解；②证明 ，根据相似三角形
的性质即可求解；
（3）分点 在线段 上时，当点 在线段 上时，证明 ，根据相似三角形的性质即可
求解．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ．
∴ ， 分别是边 ， 的中点， ；
∴
∴ ， ；
故答案为： ， ．
（2）①如图所示，
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当点 和点 分别在 和 的延长线上时， 的大小没有变化，
∵ ，
∴
∴ ，则 ，
∴
故答案为：
②如图2，
当点 和点 旋转到 的外部时， 的大小没有变化，
，
，
又 ，
，
．
（3）如图所示，当点 在线段 上时，
∵ ，
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在 中， ，则 ，
∵
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
②当点 在线段 上时，如图所示，
同理可得 ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的
关键．
26．已知：四边形 和 都是正方形．
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(1)如图1，若点C在对角线 上，则 的值为 ；（直接写结果）
(2)将正方形 绕点A逆时针旋转 ．
①如图2，连接 ． 的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；
②当 ， 时， 交 于点M， 交 于点N，且 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)①不变，理由见解析；②
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【分析】（1）根据正方形的性质得到 ，由勾股定理得到
， ，则 ，又由 ，即可得到 的值；
（2）①正方形的性质得到 ，又由 即可 ，则
，即可得到解答；
②当 时,即 ，可证明B、A、F三点在同一直线上，C、A、G三点在同一
直线上．证明 ，得到 ，得到 ，则 ．连接
，过点G作 延长线的垂线，垂足为点O．则 ，可证 是等腰直角三角形，证明
，则 ， ，则 ，可证明 是等腰直角三角形，
则 ．则 ，得到 ．则 ,由勾股定理
即可得到 的长．
【详解】（1）解：∵四边形 和 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
（2）①不变．理由如下：
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∵四边形 和 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由（1）可知 ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的值不改变；
②如图：当 时,即 ，
∵四边形 和 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴B、A、F三点在同一直线上，C、A、G三点在同一直线上．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
连接 ，过点G作 延长线的垂线，垂足为点O．则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ． ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ,
在 中， ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形
的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
27．如图①，正方形 和正方形 ，连接 ， ．
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(1)发现：当正方形 绕点A旋转，如图②，①线段 与 之间的数量关系是________；②直线
与直线 之间的位置关系是________．
(2)探究：如图③，若四边形 与四边形 都为矩形，且 ， ，证明：直线
．
(3)应用：在（2）情况下，连接 （点 在 上方），若 ，且 ， ，则线段
是多少？（直接写出结论）
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先判断出 ，进而得出 ， ，再利用等角的余角
相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出 ，得出 ，再利用等角的余角
相等即可得出结论；
（3）先求出 ，进而得出 ，即可得出四边形 是平行四边形，进而得出 ，求
出 ，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】（1）①∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
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∴ ，
∴ ；
②如图2，延长 交 于M，交 于H，
由①知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）∵四边形 和四边形 都为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴点B，E，F在同一条直线上如图5，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
由（2）知， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似
三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出三角形全等和相似是解本题的关键．
28．如图，已知 中， ，点D是边 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）可证 ， ，从而可得 ，即可得证；
（2）可得 ， ，从而可证 ，即可得证．
【详解】（1）证明： ，
∴ ， ，
，
，
，
．
（2）证明： ，
，
由（1）知： ，
，
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，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
29．如图，在 和 中， ， ．
(1)求证： ．
(2)若点H、G分别是 的中点，且 ，连接 ，求 的值．
(3)若在 和 中， ，点H、G分别是 的中点，
且 ，连接 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先利用等式的性质得到 ，再证明 ，得到 ，
再利用两边成比例且夹角相等的两三角形相似即可求证．
（2）利用两边成比例且夹角相等的两三角形相似证明 ，利用对应边成比例即可求解．
（3）先证明 ，再证明 都是等腰直角三角形，接着得到 ，即可
求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵在 和 中，
， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 都是等边三角形，
∴它们的每个内角都是 ，
∵点H、G分别是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点H、G分别是 的中点，
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∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等
腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确判定相似三角形．
30．【问题提出】
某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形 ，点 为 上的一点， ，交
于点 ．将 绕点 顺时针旋转 得到 ，探究 与 的数量关系．
【问题探究】
探究一：若四边形 为正方形
（1）如图1，正方形 中，点 为 上的一点， 交 于点 ．则 的值为______；
（2）如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，试求
的值；
探究二：若四边形 为矩形
如图3，矩形 中，点 为 上的一点， 交 于点 ， ．
（3）将图3中的 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，请在图4中补
全图形，并探究此时 的值；
【联系拓广】
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（4）如图3，矩形 中，若 ，其它条件都不变，将 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 、 ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）根据正方形的性质可知 ， ， ，再根据锐角三角函数可知
进而可知 ， ，最后利用线段的和差关系即可解答；
（2）根据正方形的性质可知 ， ， ，再根据锐角三角函数可知
进而可得 ，最后利用相似三角形的判定与性质即可解答；
（3）根据矩形的性质可知 ，再根据相似三角形的判定与性质即可解答；
（4）根据矩形的性质可知 ，再根据相似三角形的判定与性质即可解答．
【详解】解：（1）∵ 是正方形 的对角线，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为 ；
（2）∵ 是正方形 的对角线，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可知： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）补全图形后如图 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
即 ；
（4）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
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【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的
性质及矩形的性质是解题的关键．
31．【初步感知】如图①， 和 都是等边三角形，连结 ， ．易知： （不用证
朋）；
【深入探究】如图②， 和 是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中
， ，连结 、 ．
(1)求 的值；
(2)延长 交 于点 ，交 于点 ，则 ______°；
(3)【拓展提升】如图③， 和 都是直角三角形， ，且 ，连
结 ， ．延长 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 ______．（用含 的式子
表示）
【答案】(1)
(2)60
(3)
【分析】（1）证明 ，即可得出结论；
（2）由 可得 ，再根据 ，即可得出结论；
（3）先证 可得 ，再根据 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在 中， ，
，即 ，
同理， ，
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，
又 ，
，
即 ，
，
；
（2）解： ，
，
， ，
；
故答案为：60；
（3）解： ， ，
，
， ，
，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
32．如图，正方形 中，点E是 边上一点，连结 ，以 为对角线作正方形 ，边 与正
方形 的对角线 相交于点H，连结 ．
(1)写出 和 的数量关系，并证明．
(2)求证：
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(3)连接 ，若正方形 的边长为6，求出 的最小值．
【答案】(1) ，详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ，可证明 ，即
可；
（2）根据正方形的性质可得 ，再证明 ，可得 ，即可；
（3）证明 ，可得 ，从而得到A，F，C三点共线，连接 交 于点
O，当E与C重合时，F与O重合，此时 最小，再由勾股定理求出 ，即可．
【详解】（1）解：结论： ，
证明：∵四边形 ，四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 ，四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵四边形 ，四边形 是正方形，
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∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A，F，C三点共线，
连接 交 于点O，当E与C重合时，F与O重合，此时 最小，
∵正方形 的边长为6，
∴ ，
∴ 最小值 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握
相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
33．矩形 中， ， 是边 上一点，以 为边在矩形在 内部构造矩形 ．
(1)特例发现
如图 ，当 时， ；
(2)类比探究
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如图 ，如图，将矩形 绕点 顺时针旋转 度 ，连接 ，当 时，求 的值；
(3)拓展运用
如图 ，矩形 在旋转的过程中， 落在 边上时，若 、 、 三点共线， 时，当
时，则 的长为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得 ，由矩形的性质可得 ， ，
由线段和差关系可求 ，即可求解；
（2）通过证明 ，可得 ；
（3）由相似三角形的性质可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，通过证明 ，可
求解．
【详解】（1）解：如图，延长 交 于 ，
，
， ，
矩形 和矩形 是正方形，
，
四边形 是矩形，
， ，
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，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图，连接 ， ，
，
， ，
矩形 和矩形 是正方形，
， ， ，
， ，
∴
；
（3）解： ， ，
设 ， ， ，
，
，
，
，
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又 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，证明三角形相似是解题的关键．
34．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点
M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求 的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
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【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共
角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得 ，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质
得出结果；
（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得
FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM=45°，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AC= AB，
同理可得AF= ，
∴ ，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴ ；
（3）∵DM=1，CM=2，
∴AD=CD=1+2=3，
∴AM= ，
∵△MFC∽△MCA，
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∴ ，即 ，
∴FM= ，
∴AF=AM﹣FM= ，
∴ AF= ，
即正方形AEFG的边长为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股
定理，关键是综合应用这些知识解决问题．
35．如图1，在 中， ，在斜边 上取一点D，过点D作 ，交 于
点E．现将 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 的内部），使得
．
（1）①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ，
，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
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【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3）4p2=9m2+4n2．
【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得 ，进而得出结论；
②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利
用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出 ， 即可得出结论；
【详解】解：（1）①∵DE∥BC，
∴ ，
由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴ ，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴ ，
∵
∴
在Rt△CDE中，
根据勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AE=DE，
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∴
（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9k2=16-16k2，
∴ 或 （舍），
（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=p，BD=n，
∴ ，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
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∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中， ，
∵ ，
，
∴4p2=9m2+4n2．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角
三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方
法应用．
36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得
到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点
在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ ，求BD的长．
【答案】（1）1，60；（2） ，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝ ．
【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD
与 AP所成的度数；
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（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到 = ，再根据相似三角形的性质求出直
线CD与 AP所成的度数；
（3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由
（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝ x＝AD，再列出
方程即可求出x，故可得到BD的长．
【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB
∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，
∴△BDP是等边三角形，
∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC
∴△PBA≌△DBC，
∴AP=CD
∴ =1
如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角，
∵△PBA≌△DBC
∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC
∴∠AHC＝∠ABC＝60°
故答案为：1，60；
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（2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中， ＝cos∠ABC＝cos45°＝ .
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt△PBD中， ＝cos∠PBD＝cos45°＝ .
∴ ＝ ，∠ABC＝∠PBD.
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.
∴△PBA∽△DBC.
∴ ＝ ＝ ，∠PAB＝∠DCB.
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.
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即 ＝ ，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°.
(3)延长CA，BD相交于点K，如图.
∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵点E，F为AB，AC的中点，
∴PF BC.
∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.
∵∠BGP＝∠FGK，
∴∠BPE＝∠K.
∴∠K＝∠EBP，
∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，
∴∠K＝∠CBD.
∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD.
由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.
∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，
∴∠DBA＝∠DCA.
∴∠DBA＝∠PAB.
∴AD＝BD.
由(2)知DC＝ AP，
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∴AP＝ .
在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝ = x＝AD.
∴AD＋PD＝x＋ x＝AP＝1＋ .
∴x＝1.
∴BD＝ ．
【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形
的判定与性质及解直角三角形的方法．
37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针
旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 或
【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；
（2）过点 作 ，求得 ，根据题意可得 ，可得 ，再根据
，判定 ，得到 ，即可求解；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，分两种情况进行讨论，当 在线段 或当
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在线段 延长线上时，设 根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，
∴ ，
由旋转的性质可得： ，
∴△PBD为等边三角形
∴ ，
∴
在 和 中
∴
∴
（2）过点 作 ，如下图：
∵当α＝120°时，
∴ ，
∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋转的性质可得： ，
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∴ ，
又∵
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则点D到CP的距离就是 的长度
当 在线段 上时，如下图：
由题意可得：
∵α＝120°，
∴
在 中， ， ∴ ，
在 中， ， ，∴
∴ ，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设 ，则
由勾股定理可得：
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即 ，解得
则
当 在线段 延长线上，如下图：
则 ，
由（2）得，
设 ，则
由勾股定理可得：
即 ，解得
则
综上所述：点D到CP的距离为 或
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性
质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
38．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C
顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
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(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明
理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大
值．
【答案】(1)AD＝ BE，AD⊥BE
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)P点运动轨迹的长度是 π；P点到直线BC距离的最大值是
【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；
（2）先证明△BCE∽△ACD ，可得 ＝ ，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求
P点到直线BC距离的最大值即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC= BC= ，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵点D，E分别为AC，BC的中点
∴AD=CD= AC= ，BE=EC= BC=
∴ AD＝ BE．
故答案为：AD＝ BE，AD⊥BE．
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（2）解：结论仍然成立，理由如下：
∵AC＝ ，BC＝1，CD＝ ，EC＝ ，
∴ ， ＝ ，
∴ ，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴ ＝ ，∠CBO＝∠CAD，
∴AD＝ BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，
∴∠CAD+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最
大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，
∴CE⊥BE，
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∵ ＝ ，
∴∠EBC＝30°，
∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝30°，
∴∠BGP＝120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度＝ ×2＝ π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，
∴AP＝ AB＝1，BP＝ AP＝ ，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，
∴PH＝ BP＝ ．
∴P点到直线BC距离的最大值 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、
锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
39．已知，在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，过点 作 的垂线，并在
垂线上矩形外侧截取点F,使 ，连接 ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ．
．
(1)如图（1），当 ，求 的值．
(2)如图2，若 ，求m关于n的数量关系．
(3)若 旋转至A，E，F三点共线，求m的值．
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【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）如图1，过 作 ，交 的延长线于 ，先证明四边形 是矩形，然后根据
矩形的性质和勾股定理分别求出m、n的值，即可求解；
（2）如图2，连接 ，先后利用两边对应成比例且夹角相等证明 、 ，利用相
似三角形的性质即可得出结论；
（3）分两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）当 时，如图1，过 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
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故答案为： ；
（2）如图2，连接 ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ；
（3）当 旋转至 ， ， 三点共线时，存在两种情况：
①如图3，连接 ，
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在 中，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
；
②如图4，连接 ，
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同理得： ，
， ，
，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握
相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题关键．
40．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 和正方形
中，点G，A，B在一条直线上，连接 ， （如图1）．
操作发现
（1）图1中线段 和 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）在图1的基础上，将正方形 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？
请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
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（3）如图3，若将图2中的正方形 和正方形 中都变为矩形，且 ， ，
请仅就图3的情况探究 与 之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若 ， ，矩形 在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线
时，请直接写出 的值．
【答案】（1） ； ；（2）成立；理由见解析；（3） ；（4） 或
【分析】（1）延长 交 于点H，证明 ，得出 ， ，求出
，即可证明结论；
（2）延长 交 于点H，交 于点T，证明 ，得出 ， ，求出
，即可证明结论；
（3）延长 交 于点H，交 于点T，证明 ，得出 ，求出 即
可；
（4）分两种情况讨论，当 在线段 上时，当 在线段 上时，分别画出图形，根据勾股定理，求出
结果即可．
【详解】解：（1）延长 交 于点H，如图所示：
∵四边形 和 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（2）成立；理由如下：
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延长 交 于点H，交 于点T，如图所示：
∵四边形 和 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（3）延长 交 于点H，交 于点T，如图所示：
∵四边形 和 都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
即 ．
（4）当 在线段 上时，如图所示：
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（3）可知， ，
∴ ；
当 在线段 上时，如图所示：
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∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（3）可知， ，
∴ ；
综上分析可知， 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性
质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，
注意进行分类讨论．
41．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．
如图1，已知在 中， ， ， ．请解答下面的问题：
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(1)基础巩固
如图1，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 与 之间的数量关系是
__________；
(2)拓展探究
如图2，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ．
①求证： ；
②用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决
点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，将 绕点 旋转得到 ，请直接写出点 ， ，
在同一直线上时 的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；② ，理由见解析
(3) 的长为 或 ．
【分析】（1）证明 是等边三角形，即可得到结论 ；
（2）①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明 ；②证明 是等边三角形，在
中，利用勾股定理求得 的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况分析，A、Ｍ、Ｎ三点所在直线与 不相交和与 相交，然后利用勾股定理以及相似三
角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
【详解】（1）解：根据旋转的性质得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
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故答案为： ；
（2）①证明： 点 ， 分别是 ， 的中点， 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，
， ，
．
．
；
②解： ．
理由如下：如图，连接 ，
， ，
．
，
是等边三角形．
， ．
．
．
在 中，由勾股定理得
．
．
由①得， ．
．
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；
（3）解：①如图所示，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，
同理， ，
∴ ，
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∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
42．综合与实践
综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．
【操作判断】
如图①，在矩形 中， ，点M，P分别在边 ， 上（均不与端点重合）且 ，
以 和 为邻边作矩形 ，连接 ， ．
（1）如图②，当 时， 与 的数量关系为 ， 与 的数量关系为 ．
【迁移探究】
（2）如图③，当 时，天天先将矩形 绕点A 顺时针旋转，再连接 ，则CN与 之间的数量
关系是 ．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知 ， ，当矩形 旋转至C，N，M三点共线时，求线段 的
长．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）线段 的长为 或
【分析】（1）当 时， ， ，则 ，所以 ，再证明 ，
， 三点在同一条直线上，由勾股定理得 ， ，所以 ，
于是得到问题的答案；
（2）先证明 ，得 ， ，则
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， ，即可证明 ，再根据勾股定理求得 ，则
，所以 ；
（3）分两种情况，一是 ， ， 三点共线，且点 在线段 上，由勾股定理求得
，则 ；二是 ， ， 三点共线，且点 在线段
的延长线上，由勾股定理求得 ，则 ．
【详解】解：（1）当 时， ， ，
，
，
四边形 和四边形 都是正方形，
， ， ，
， ，
，
， ， 三点在同一条直线上，
， ，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）发生变化， ，
理由：如图3，连接 ，当 时，则 ， ，
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，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
；
（3） ， ，
， ， ， ，
如图4， ， ， 三点共线，且点 在线段 上，
，
，
，
如图5， ， ， 三点共线，且点 在线段 的延长线上，
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，
，
综上所述，线段 的长是 或 ．
【点睛】本题重点考查矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、
数形结合与分类讨论思想的运用等知识与方法，本题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是
解题关键．
43．在 中， ， ，点 是平面内不与点 ， 重合的任意一点，连接 ，将线段
绕点 旋转 得到线段 ，连接 、 、 ．
(1)当 时，
①如图1，当点 在 的边 上时，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则 与 的数量
关系是_______________；
②如图2，当点 在 内部时，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，①中 与 的数量关系
还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当 时，
①如图3，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若点 ， ， 在一条直线上，且 ，线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，求 的值．
【答案】(1)① ；②成立，证明见解析；
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(2)① ，理由见解析；② 或
【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的判定，易证 和 是等边三角形，得到 ，
， ，再利用“ ”证明 ，即可得到 与 的数量关系；
②由①可知， 和 是等边三角形，进而证明 ，得到 ，即可证明结论；
（2）①根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定，易证 和 是等腰直角三角形，得到
， ， ，进而得到 ， ，易证
，从而得到 ，即可得到 与 的数量关系；
②设 ，则 ，根据等腰直角的性质，得到 ， ，分两种情况讨论：点
在 上和点 在 的延长线上，利用旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求解，即
可求出， 的值．
【详解】（1）解：① ， ，
是等边三角形，
， ，
线段 绕点 旋转 得到线段 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ；
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②成立，理由如下：
由①可知， 和 是等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：① ，理由如下：
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
线段 绕点 旋转 得到线段 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
，
，
；
② ，
设 ，则 ，
， ，
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是等腰直角三角形，
， ，
如图，当点 在 上时，此时 ，
由旋转的性质可知， 是等腰直角三角形，
， ，
， ，
由勾股定理得： ，
；
如图，当点 在 的延长线上时，此时 ，
同理可知， ， ，
由勾股定理得： ，
，
综上可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判
定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握手拉手—旋
转型全等是解题关键．
44．【问题呈现】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，连接 ．求证： ．
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【类比探究】
（2）如图2， 和 都是等腰直角三角形， ，连接 ．请直接写出
的值．
【拓展提升】
（3）如图3， 和 都是直角三角形， ，且 ．连接 ．
①求 的值；
②延长 交 于点 ，交 于点 ．求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ；
【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ，从而得到
，由 证明 ，即可得到 ；
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（2）由等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，证
明 ，最后根据相似三角形的性质即可得到答案；
（3） 由 是直角三角形， 可得 ，通过证明 得到
，从而得到 ，即可推出 ，最后由相似三角形的性
质即可得到答案； 由 得， ， ，得到 ，由三角形内角和
定理和对顶角相等可得 ，从而得到 ．
【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： 和 都是等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
，
（3） 是直角三角形， ，
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令 ，则 ，
，
和 都是直角三角形， ，且 ，
，
，
，
，
，
，
由 得， ， ，
，
，
， ， ，
，即 ，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形
相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、
三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，是解题的关键．
45．【感受与猜想】
(1)如图 ，四边形 和四边形 均为正方形，点 正好落在对角线 上．试猜想 与 的数
量关系： __．
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【探究与证明】
(2)如图 ，四边形 和四边形 均为正方形，正方形 绕点 顺时针旋转 角( )，
连结 ， ．( )中的结论是否还成立，若成立，请给出证明．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 为线段 上
一点，以 为底边向下作等腰直角三角形 ．
①若 ，求点 的坐标．
②若点 落在边 的中点处， 与 交于点 ，已知 ，求 的长．
【答案】(1) ；(2)成立，证明见解析；(3)① ；②
【分析】（1）由四边形 和四边形 均为正方形，得 ， ，即可得
；
（2）连接 ， ，由四边形 和四边形 均为正方形，可得 ， ，
，即可证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①连接 ，过 作 轴于 ，求出 ， ，知 是等腰直角三角形，而
是等腰直角三角形，可得 ，进而可得 ，再根据 的等腰直角三角形，可
得 ，即可求解；
②连接 ，过 作 轴于 ，同①得出 的坐标，进而可得直线 函数表达式，把
即可求解．
【详解】解：（1） 四边形 和四边形 均为正方形，
， ，
，
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即 ；
故答案为： ；
（2）（1）中的结论还成立，证明如下：
连接 ， ，如图：
四边形 和四边形 均为正方形，
，
，
，
，
，
（3）①连接 ，过 作 轴于 ，如图：
在 中，令 得 ，令 得 ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
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是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
的等腰直角三角形，
，
，
②连接 ，过 作 轴于 ，如图：
为 的中点，
，
，
同①可得 ，
，
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，
， ，
，
的等腰直角三角形，
，
，
设 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 表达式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形三边
的关系等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
46．如图1所示，矩形 中，点E，F分别为边 ， 的中点，将 绕点A逆时针旋转
，直线 ， 相交于点P．
（1）若 ，将 绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段 与 的位置关系是
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______，数量关系是______．
（2）若 将 绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3
所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若 ， ，将 旋转至 时，请直接写出 的长．
【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF；
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明见祥解；
（3）满足条件的PD的值为6 ﹣5或6 ＋5．
【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可
得结论；
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.
【详解】解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE＝ AB，AF＝ AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案为：BE＝DF，BE⊥DF；
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（2）如图3中，结论不成立，结论：DF＝nBE，BE⊥DF，
∵AE＝ AB，AF＝ AD，AD＝nAB，
∴ AD＝n AB，即AF＝nAE，
∴AF∶AE= AD∶AB，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE＝AF∶AE＝n：1，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF；
（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，
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在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，AB＝10，AE＝5，
∴BE＝ ＝5 ，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝6 ，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝5，
∴PD＝DF﹣PF＝6 ﹣5；
如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，
在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，AB＝10，AE＝5，
∴BE＝ ＝5 ，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝6 ，
PF＝AE＝5，
∴PD＝DF＋PF＝6 ＋5，
综上所述，满足条件的PD的值为6 ﹣5或6 ＋5.
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【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾
股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题.
47．如图1，正方形 的边长为5，点E、F分别是边 、 上一点，且四边形 为边长为2的
正方形，连接 ．
（1）在图1中，求 的值；
（2）将图1中的正方形 绕点B旋转一周，探究 的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；
若变化请说明理由；
（3）当正方形 旋转至D，G，E三点共线时，求 的长．
【答案】（1） ；（2）不变， ；（3） 或
【分析】（1）延长EG交AD于H，解直角三角形求出DH，GD即可解决问题；
（2）连接BD，BG，证明△CBE∽△DBG即可求解；
（3）分两种情况：①当点G落在DE的延长线上时，利用勾股定理及（2）的结论即可解答，②当点G落在
DE上时，同法可求解．
【详解】解：（1）延长 交 于点H；
∵四边形ABCD，四边形BEGF为正方形，
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∴AB=BC=CD=AD=5，BE=EG=GF=FB=2，AB∥EG，AD∥BC∥FG，
∴AH=BE=2，DH=CE=BC=BE=3，GH=AF=AB=BF=3，GH⊥AD，
在Rt△DGH中， ；
∴ ；
∴
（2）连接 ， ；
∵四边形ABCD，四边形BEGF为正方形，
∴∠DBC=∠DBA=45°，∠GBE=45°， ；
∴∠DBC+∠EBD=∠GBE+∠EBD，即∠CBE=∠DBG，
∵BC=5，BE=2，
∴ ， ；
∴ ；
∴
∴
∴ ，
∴
即 的值不变，
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（3）①当点G在线段 延长线上时，（如图1）
由（2）知： ，∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴
②当点G在线段 上时，（如图2）
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由（2）知：∴ ，∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴
综上： 或
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
48．如图，在 中， ，将 绕点C旋转得到 ，连接AD．
(1)如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证： ；
②猜想 和 的关系，并说明理由；
(2)如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若 ， ，求CF的长．
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【答案】(1)①见解析；② ，理由见解析
(2)3或
【分析】（1）①由旋转的性质得 ， ， ，根据相似的判定定理即可得证；
②由旋转和相似三角形的性质得 ，由 得 ，故
，代换即可得出结果；
（2）设 ，作 于H，射线BE交线段AC于点F，则 ，由旋转可证
，由相似三角形的性质得 ， 即 ，由此可证
，故 ，求得 ，分情况讨论：①当线段BE交AC于F时、当射线
BE交AC于F时，根据相似比求出x的值，再根据勾股定理即可求出CF的长．
【详解】（1）①∵将 绕点C旋转得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
② ，理由如下：
∵将 绕点C旋转得到 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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（2）
设 ，作 于H，射线BE交线段AC于点F，则 ，
∵将 绕点C旋转得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
①当线段BE交AC于F时 ，
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解得 ， （舍），
∴ ，
②当射线BE交AC于F时 ，
解得 （舍）， ，
∴ ，
综上，CF的长为3或 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及旋转的性质，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题
的关键．
49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD BC，将线段DB绕点D顺时针旋转α至DE，
连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
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②如图3，当BC＝10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长．
【答案】(1) ；
(2)①仍然成立，理由见解析；②2 ．
【分析】（1）根据题意得BD=DE=EC= BC，进而可得△ABC∽△FEC，得出 ，由BC= AC，
推出 ，即可得出答案；
（2）①可证得△ACF∽△BCE，从而得出结果；
②作DG⊥BF于G，可推出△BDG∽△BCF，进而得出BG= BF，DG= CF，进一步得出DG= BG，进而在
Rt△BDG中根据勾股定理求得BG，进一步求得结果．
【详解】（1）当α=180°时，点E在线段BC上，
∵BD= BC，
∴DE=BD= BC，
∴BD=DE=EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=∠BAC=90°，
∵∠ECF=∠BCA=45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴ ，
∴ ，
∵BC= AC，
∴ ，
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∴ ，即 ，
∴ ；
（2）① 仍然成立，
理由如下：
如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°， ，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°， = ，
∴∠ECF=∠BCA， ，
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∵ ，
∴△CAF∽△CBE，
∴ ，
∴ 仍然成立．
②如图，
作DG⊥BF于G，
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∴∠BGD=90°，
∵∠CFE=90°，
∴DG∥CF，
∴△BDG∽△BCF，
∴ ，
∴BG= BF，DG= CF，
∵BD=DE，
∴BG=GE，
∴EF=GE=BG，
∵EF=CF，
∴DG= BG，
在Rt△BDG中，
BG2+DG2=BD2，
∴BG2+（ BG）2=（ ）2，
∴BG= ，
∴BE=2 ，
由（2）得：AF= BE，
∴AF=2 × =2 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关
键是作辅助线，构造相似三角形．
50．如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且 ，点E线段BD上．
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(1)连接DG，求证：∠BDG＝90°；
(2)连接DF，当AB＝AE时，求证：DF＝FG；
(3)在（2）的条件下，连接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等，可证明△ABE∽△ADG，得∠AEB＝∠AGD，再利用EF∥AG，得
∠EMD＝∠AGD，则∠EMD＝∠AEB，从而解决问题；
（2）由SAS可证明△DEF≌△EDA，得DF＝EA，即可证明结论；
（3）由∠EDG＝∠EFG＝90°，得D，E，F，G四点共圆，证明△ANE是等腰直角三角形，得NE＝AE＝AB＝
2，AN＝ AE＝2 ，从而求出答案．
【详解】（1）证明：∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°，
∠DAG+∠EAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
又∵ ，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠AEB＝∠AGD，
设EF交DG于M，
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∵EF∥AG，
∴∠EMD＝∠AGD，
∴∠EMD＝∠AEB，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEM＝180°﹣∠AEF＝90°，
即∠EMD+∠DEM＝90°，
∴∠BDG＝∠EDM＝180°﹣（∠DEM+∠DME）＝90°；
（2）证明：∵ ，AB＝AE，
∴AD＝AG，∠ADG＝∠AGD，
∵AG＝FE，
∴FE＝AD，
∵△ABE∽△ADG，
∴∠AEB＝∠AGD＝∠ADG，
∵∠DEF＝90°﹣∠AEB，∠EDA＝∠EDG﹣∠ADG＝90°﹣∠ADG，
∴∠DEF＝∠EDA，
在△DEF与△EDA中， ，
∴△DEF≌△EDA（SAS），
∴DF＝EA，
∵EA＝FG，
∴DF＝FG；
（3）解：∵∠EDG＝∠EFG＝90°，
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∴D，E，F，G四点共圆，
设EF交AD于N，
∵∠DGE＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∵△DEF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠DFE＝45°，
∵∠AEN＝90°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴NE＝AE＝AB＝2，AN＝ AE＝2 ，
∵△DEF≌△EDA，
∴∠FED＝∠ADE，
∴ND＝NE＝2，
∴AD＝AN+ND＝2 +2．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用四点共圆得出∠DFE＝45°是解题的关键．
51．如图，在矩形 中， ，点G为边 上一点，过点G作 ，且 ，
交 于点F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求证： ；
(3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
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(3) 的长为
【分析】（1）根据两个角对应相等的三角形相似进行判定即可；
（2）连接 ，交 于M点，由 得 ，进一步证得 和
，得到 ，最终根据余角性质推出 ，即可得证；
（3）作 的延长线于H点，设 ，根据 ，分别表示出 ， ，再通过
建立方程求解并检验即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）证明：连接 ，交 于M点，如图所示：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，作 的延长线于H点，设 ，
， ， ，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
则 ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合，矩形的性质，余角的性质，熟练掌握并灵活运用相
似三角形的各种判定方法是解题关键．
52．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行
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了研究．如图（1），已知 和 均为等腰直角三角形，点 ， 分别在线段 ， 上，且
．
(1)观察猜想
小华将 绕点 逆时针旋转，连接 ， ，如图（2），当 的延长线恰好经过点 时：
① 的值为________；
② 的度数为________度；
(2)类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转 ，连接 ， ，设 的延长线交 于点 ，（1）
中的两个结论是否仍然成立?请说明理由．
(3)拓展延伸
若 ， ，当 所在的直线垂直于 时，请你直接写出 的长．
【答案】(1)① ；②45
(2)成立，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）如图（2）中，设 交 于点 ．证明 ，推出 ，
，再证明 ，可得结论．
（2）如图（3）中，设 交 于点 ．证明 ，可得结论．
（3）分两种情形：如图（4） 中，当 于 时，如图（4） 中，当 时，延长 交
于 ．分别求出 ，可得结论．
【详解】（1）如图（2）中，设 交 于点 ．
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， 都是等腰直角三角形，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
故答案为： ，45．
（2）如图（3）中，设 交 于点 ．
， 都是等腰直角三角形，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
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， ．
（3）如图（4） 中，当 于 时，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
如图（4） 中，当 时，延长 交 于 ．
同法可得 ， ， ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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53．如图1，在矩形 中，已知 ． ，点E、F分别是 、 的中点，连接 ．将
绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现：
①当 时， ＝ ；②当 时， ＝ ；
(2)拓展探究：
将 绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时 的值；
(3)问题解决：
当 旋转至A、F、E三点共线时，求线段 的长（写出必要的解题过程）．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【分析】（1）①根据矩形 中， ． ， ，运用勾股定理得到
，当 时，根据E、F分别是 、 的中点，得到 ， ，即可求得
；②当 时，由 ，得到 ；
（2）连接 ，根据旋转性质得到 ，结合 ，推出 ，推出
；
（3）根据 ，求出 ，根据 ，得到 ，当点F
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在线段 上时， 结合 ，得到 ，得到 ；当点F在线段
延长线上时，得到 ，得到 ．
【详解】（1）解：（1）①当 时，见题干图1，
∵矩形 中， ． ， ，
∴ ，
∵点E、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
②当 时，如图1，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图2，连接 ，
由旋转知， ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ；
（3）A、F、E三点共线时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点F在线段 上时，如图3，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点F在线段 延长线上时，如图4，
，
∴ ；
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故 的长度为 或 ．
【点睛】本题主要考查了四边形和三角形旋转的综合．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角
形的判定与性质，勾股定理解直角三角形．注意分类讨论．
54．如图1，在 中， ， ， ，点D，E分别是 中点，连接
．在同一平面内，将 绕点A逆时针旋转，射线 相交于点P．
(1)如图2，在旋转过程中， 的角度是否不变？若不变，请求出 的度数．
(2)如图2，当 时，求线段 的长．
(3)连接 ，当线段 取得最小值时，求线段 的值．
【答案】(1)不变，
(2)
(3) 或
【分析】（1）首先证明出 ，然后根据三角形内角和证明即可；
（2）连接 ．首先证明出 ，进而得到 ，然后证明出 和
，利用相似三角形的性质得到 ，然后利用勾股定理求出
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，最后利用相似三角形的性质求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论，当E，P第一次重合时和当E，P第二次重合时，分别根据勾股定理和相似
三角形的性质求解即可．
【详解】（1）不变，理由如下：
∵点D，E分别为 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ．
∵ ， ， ，点D，E分别是 中点，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
（3）①如备用图1，当E，P第一次重合时，
在 运动的过程中， ， ，
∴当 最大时， 的值最小．
在 中， ，
∴ ，∴ ．
过点D作 于点F，由 ， 可得 ， ．
∴ ．
∴ ．
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②如备用图2，当E，P第二次重合时，
与①同理， ，
可证 ，可得 ，
∴ ．
连接 ，则 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】此题考查了旋转综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以
上知识点．
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