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3.1函数的概念及其表示（精练）
1．（2023·陕西）（多选）设集合 ，则下列图象能表示集合 到集合 的
函数关系的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，其定义域是 ，不是 ，故A错误；
对于B选项，其定义域是 ，值域 ，故B正确；
对于C选项，其与函数定义相矛盾，故C错误；
对于D选项，其定义域是 ，显然值域包含于集合 ，故D正确；
故选：BD.
2.（2023云南）俗语“名师出高徒”说明（ ）
A．名师与高徒之间具有依赖关系
B．名师与高徒之间具有函数关系
C．名师是高徒的函数
D．高徒是名师的函数
【答案】A
【解析】“名师出高徒”说明由“名师”可以映射“高徒，所以“名师”是变量，“高徒”是因变量，故
C错误；
但是一个“名师”可以映射许多个“高徒”，所以两者不是函数关系,故B、D错误。
所以两者不具有函数关系，可以具有依赖关系，故A正确.
故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·江苏）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域满足： ， ，解得 .故选：D
4．（20223·广东）已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 的定义域为 ,所以 的定义域需满足： ，故
的定义域为 ，故选：A
5．（2022·黑龙江哈尔滨）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 的定义域为 ∴ ， ∴函数 中，
∴ 所以函数 的定义域为[ ]．故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2022秋·天津和平·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的定义域为 ，故 ，所以 的定义域为 ，
故函数 中的 需满足： ，故 ，故函数 的定义域为 .
故选：C
7．（2023·重庆）已知函数 的定义域 ，值域 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，由题意可得 ，解得 ，
可得 ，故 .故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义
域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知， ，故函数 的定义域为 ，故选：A．
9．（2022秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数 的值域是 ，则此函数的定
义域为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数 的值域是 ，
所以当 时， ，
当 时，
即 ，解得 ，所以函数的定义域为： ，故选：D
10．（2023湖南）已知函数f(x)＝log x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为（ ）
2
A．[ ，2] B．[2，4]
C．[4，8] D．[1，2]
【答案】A
【解析】∵f(x)的值域为[1，2]，即1 ≤ log x ≤ 2，∴2≤x≤4∴f(x)的定义域为[2，4]，
2
∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)应满足 ，解得 ≤ x ≤ 2∴φ(x)的定义域为[ ，2]故选：A
11．（2022·江西九江·校考模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】对于A中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域相同，
对应法则相同，所以是同一个函数；
对于B中，函数 和 的定义域都是 ，但对应法则不同，所以不是同一
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】个函数；
对于C中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不相同，所以
不是同一个函数；
对于D中，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不相同，所以不
是同一个函数.
故选：A．
12．（2022秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）在下列四组函数中， 与 表示同一函数的是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】对于A中，函数 的定义域为 ，而函数 的定义域为 ，所以两个
函数不是同一个函数；
对于B中，函数 的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；
对于C中，函数 的定义域为 ，而函数 的定义域为 ，所以两个函数不是
同一个函数；
对于D中，函数 的定义域为 ，
而函数 的定义域为 ，所以不是同一个函数，故选：B
13．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数 的图象过点 与 ，则函数
在区间 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】因为函数 的图象过点 与 ，
所以 ， ，则 ，
解得 ， ，
故函数 的解析式为： .
而 ，
当且仅当 时取等号，函数 在区间 上的最大值为 .故选：B.
14．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）（多选）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】 ，最小值为2，选项A正确；
当 时， ，无最小值，选项B错误；
，当且仅当 ，即 时取得最小值2，选项C正确；
，所以 ， ，当 时取得最小值2，选项D正确．
故选：ACD
15．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，定义域为 ，值域为 ，则
下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】BCD
【解析】令 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，得 ；
由 ，得 （舍）或2，即 ；
根据 的图象特征，知 ， ， .
故选：BCD．
16．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域为_________.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
，所以该函数在 时取到最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以函数 值域为 .
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为______．
【答案】
【解析】 ，
故 ，即 ，解得： 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故值域为
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 则函数 的
定义域为_____
【答案】
【解析】令 ，由 得： ，
所以 ，即 ，
所以，函数 的定义域为 .
故答案为：
19．（2023·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
______．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，
所以在函数 中， ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 .
故答案为： .
20．（2023·山东济宁·统考二模）已知 ，函数 ， ，则
________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：
21．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知 ，则 的值为_______________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ 故答案为： .
22．（2023湖北）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围为____.
【答案】
【解析】由函数 ，当 时，可得 ，
因为函数 的值域为 ，所以函数 在 上必为增函数，
则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .故答案为： .
23．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中）函数 的定义域是 ，则函数 的定
义域是______．
【答案】 .
【解析】因为函数 的定义域是 ，所以 ，
解得 或 ，则函数 的定义域是 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 的最大值为______.
【答案】
【解析】因为 ，
令 ，则 ，
令 ， ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，则 ，
即函数 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为
__________.
【答案】
【解析】因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以函数在 上单调递增，
又因为定义域和值域均为 ，
所以 ，即 ，解得 （舍去）或 ，
所以 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】26．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】因为函数 的值域为 ，
所以 能够取到大于等于 的所有数，
当 时 ，不合题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上可得 .
故答案为： ．
27．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）已知函数 的值域为 ，则
的定义域可以是__________．(写出一个符合条件的即可)
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ，令 可得 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
由此可知定义域可以是 ，故答案为： （答案不唯一）
28．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则其定义域为_________．
【答案】
【解析】因为函数 的值域为 ，
所以 ，化简得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，即当 时，不等式 成立；
当 时，即当 时，
由 ，
综上所述：函数 的定义域为： .
故答案为：
29．（2023·安徽）（1）已知 是二次函数，且满足 ， ，求函数 的解
析式；
（2）已知 ，求函数 的解析式；
（3）已知 是R上的函数， ，并且对任意的实数x，y都有 ，求
函数 的解析式.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】1）设 ，由 得：c＝1.
由 得： ，
整理得 ，∴ ，则 ，∴ .
（2）∵ ，① ∴ ，②
②×2－①得： ，∴ .
（3）令 ，则 ，∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数
（ ）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取
得最小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：∵f (x)是以 为周期的周期函数，∴ ，
又∵ 是奇函数，∴ ，∴
（2）当 时，由题意可设 ，
由 ，得 ，∴ ，
∴ .
（3）根据（2）中所求，可知 ；又 在 上是奇函数，故 ，
故当 时，设 ，则 ，解得 .
故当 时， .
又 在 上是奇函数，故当 时， .
综上，则 时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 时， .
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
综上所述， .
1．（2023·安徽）若函数 的定义域为 ，则 （ ）
A． 3 B．3 C．1 D． 1
【答案】A
【解析】由 ，得 ，由题意可知上式的解集为 ，
所以 为方程 的一个根，所以 ，得 ，故选：A
2．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，当 时， ，
因为函数 的值域为 ，所以 ，得 ，所以实数 的取值范围是 选：D.
3．（2023上海）已知函数 的定义域为 ,复数 ,若 ,则 的取值范围
是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ,得 ,即 ,所以
因为复数 所以
因为 ,所以 故选：B
4．（2023·青海西宁·统考二模）已知 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． 或 C． D．不存在
【答案】B
【解析】由题意， ， ，即 .
当 ，即 时， ，解得 ，满足题意；
当 ，即 时， ，解得 ，满足题意.所以 或 .故选：B.
5.（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.（2022·全国·高三专题练习）函数 （ ）， ，对 ， ，
使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若对 ， ，使 成立，
只需函数 的值域为函数 的值域的子集即可.
函数 ， ，的值域为 .
当 时， 递增，可得其值域为 ，
要使 ，需 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .故选：C.
7.（2023山东）求函数 的值域 .
【答案】
【解析】函数 的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，
B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在曲线y＝sinx， 上，
如图，∴k≤y≤k，即 .
BP BQ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2022·浙江）若函数 的最小值为 ，则实数a的取值范围是____
【答案】
【解析】当 时， ，易知： 上 ， 上 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，最小值为 .
当 时，若 ，则 在 上递减，则最小值为 ，
此时， ，解得 ，故 ，符合题设；
若 ，则 在 上递减，最小值为 ，
此时， ，符合题设；
若 ，则 在 上递减， 上递增，最小值为 ，
此时， 或 ，无解.
综上， .
故答案为： .
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对任意的 ， ， 有
恒成立，则实数 的取值范围是___________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】函数 在 ， 上单调递增， 在 ， 上单调递增，
∴ ， ，
对任意的 ， ， 有 恒成立，
∴ ，即 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
10．（2022·上海）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】函数f（x）＝lg（ ax）的定义域为R，∴ ax＞0恒成立，∴ ax恒成立，
设y ，x R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
∈
令y＝﹣ax，x R；它表示过原点的直线；
∈
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y 的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
11．（2023·陕西）函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】由题意得 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令k=-1，解得 ，
令k=0，解得 ，
令k=1，解得 ，
综上，定义域为 .
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是_______
【答案】
【解析】设 ，则 ，于是 .
设 ，根据二次函数性质， 时， 关于 单调递减；
根据对数函数性质， 在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质， 在 上单调递减，
而 ，于是 值域是： .
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，x，y满足 ，且 ，则t的取值
范围是_________．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】∵ ，解得 ，∴ ，
又∵ ，则 ，
对于 ，可知二次函数开口向上，对称轴 ，
故当 时，取到最小值 ；
当 时，取到最大值 ；
故 ，即t的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2023·陕西铜川·校考一模）若 ，则函数 的值域是__________．
【答案】
【解析】 ，
设 ， ，则 .
由于 ，则 ，且 .
设 ，
由该式的几何意义得下面图形， ，其中直线 为圆的切线，由图知 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图知 ，
在 中，有 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
所以， ，故所求值域为 ．
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
