文档内容
微专题：三角函数的单调性
【考点梳理】
三角函数的图象和性质
函数性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
定义域 R R { x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z }
图象(一
个周期)
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最值 当x＝＋2kπ时，y ＝1； 当x＝2kπ时，y ＝1；
max max
无
(k∈Z) 当x＝－＋2kπ时，y ＝－1 当x＝2kπ＋π时，y ＝－1
min min
函数性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
对称轴： 对称轴：
无对称轴；
对称性 x ＝ k π ＋ ； x ＝ k π ；
对称中心：
(k∈Z) 对称中心： 对称中心：
( k π ， 0)
最小正
2π 2π π
周期
单调递增区间 单调递增区间
单调性 [2 k π － ， 2 k π ＋ ] ； [2 k π － π ， 2 k π] ； 单调递增区间
(k∈Z) 单调递减区间 单调递减区间 ( k π － ， k π ＋ )
[2 k π ＋ ， 2 k π ＋ ] [2 k π ， 2 k π ＋ π]
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律. 对于逆
向的已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【题型归纳】
题型一：求三角函数的单调性
1．函数 和函数 在 内都是（ ）
A．奇函数 B．增函数 C．减函数 D．周期函数
2．设函数 ，则 （ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．在区间 上是单调递减的 B．是周期为 的周期函数
C．在区间 上是单调递增的 D．对称中心为 ，
3．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：利用三角函数的单调性求参数
4．已知 是 上的奇函数，若 的图象关于直线 对称，且 在区间
内是单调函数，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 在区间 内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 在 上单调，且在 上存在极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用三角函数单调性解抽象不等式
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．已知 是定义在 上的偶函数，当 时， 的图象如图所示，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，函数 在 上单调递增，且对任意 ，都有 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
9．满足 的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．已知函数 ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，且直线 是其中
一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上单调递增
C．点 是函数 图象的一个对称中心
D．将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度，
可得到 的图象
12．关于函数 ，有以下四个命题：
①函数 是偶函数；② 的图像关于直线 对称；③要得到函数 的图像只需
将 的图像向右平移 个单位；④ 在区间 内的单调递增区间是 和 ．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．在下列函数中，同时满足：①在 上单调递增；②最小正周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
14．函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
15．将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若对 满足 ，有 恒成立，且
在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
17．已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
18．已知函数 ，给出下列四个结论：①函数 的值域是 ；②函数 为奇
函数；③函数 在区间 单调递减；④若对任意 ，都有 成立，则 的最小
值为 ；其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数 ，有下列四个结论：
①若 ，则 有2个零点 ② 最小值为
③ 在区间 单调递减 ④ 是 的一个周期
则上述结论中错误的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
20．若 、 为第二象限的角，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
21．函数 在 上的递增区间为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
22．下列区间是函数 的单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．
23．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
24．设函数 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的值域为 B． 是偶函数
C． 不是周期函数 D． 不是单调函数
25．已知函数 在区间 上单调递增，且 在区间 上有且仅有一个解，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．函数 的单调增区间是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．若函数 ，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 （ ）．
A．1 B． C．2 D．3
28．设 是第二象限角，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
29．函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． ， D．
30．已知函数 在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 ，则 的值不可
能是（ ）
A． B． C．1 D．
31．已知函数 在 上是增函数，且在 上仅有一个极大值点，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
32．已知函数 ( ， ， )，满足 且对于任意的 都有
，若 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司33．函数 的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上是单调递增的
D．函数 图象的对称中心为
34．设函数 ，则下列结论正确的是
A． 的一个周期为 B． 的图象关于直线对称
C． 的一个零点是 D． 在 单调递增
二、多选题
35．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列结论成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
36．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 的最小正周期为 ，则其图象关于直线 对称
B．若函数 的最小正周期为 ，则其图象关于点 对称
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为2
D．若函数 在 有且仅有5个零点，则 的取值范围是
37．已知函数 在 上是单调函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．当 时， 的取值范围是
B．当 时， 的取值范围是
C．当 时， 的取值范围是
D．当 时， 的取值范围是
38．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C． 在区间 上单调递增
D．若 ，则
三、填空题
39．函数 的单调递减区间为_______________.
40．已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司正整数x为________．
41．函数 在区间 上的单调递减区间是___________.
42．函数 的严格增区间为________．
43．已知函数 的图象上有一动点P，且在点P处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是______.
44．已知函数 ，给出下列四个结论：
① 的值域是 ；
② 是以 为最小正周期的周期函数；
③ 在 上有 个零点；
➃ 在区间 上单调递增．
其中所有正确结论的编号是___________．
四、解答题
45．已知函数 的最大值为 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，求函数 的值域.
46．函数 （ ， ）的部分图象如图所示．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 的值及 的增区间；
(2)若 图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移 个单位长度，最后向上平
移1个单位长度，得到函数 的图象，若在 上函数 的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的
取值范围．
47．已知函数 为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间的
距离为 .
(1)求 的解析式与单调递减区间；
(2)已知 在 时，求方程 的所有根的和.
48．已知函数 .
（1）求函数 的最大值及相应的 的值；
（2）求函数 的单调增区间.
49．已知函数 ，其中 .
（1）求使得 的 的取值范围；
（2）若函数 ，且对任意的 ，当 时，均有 成
立，求正实数 的最大值.
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由正弦函数和正切函数性质直接判断即可.
【详解】
当 时， ， ，
和 在 内都是奇函数，A正确；
在 内为增函数， 在 内是减函数；
又 在 内是增函数，则BC错误；
最小正周期为 ， 最小正周期为 ，
和 在 内不具有周期性，D错误.
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
先当 时， ，又 是偶函数，由此可判断命题的真假.
【详解】
当 时， ，在 上是单调递减的，故A正确；
是偶函数，无周期性，故B错误；
是偶函数，在 单调递减，故C错误；
是偶函数，无对称中心，故D错误；
故选：A
3．C
【解析】
【分析】
先用三角恒等变换化简得到 ，再用整体法求解单调递减区间.
【详解】
，令 解得：
第 12 页Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
4．A
【解析】
【分析】
由函数 的奇偶性结合 的取值范围可得出 的值，利用函数 的对称轴可得出 的表达式，结合函数
的单调性可求得 的取值范围，可得出 的值，进而可确定 的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为 是 上的奇函数，则 ，
所以， ，
因为 的图象关于直线 对称，则 ，可得 ，
当 时， ，
因为函数 在区间 内是单调函数，则 ，解得 ，
所以， ， ，故 ，因此， .
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
依题意可得 ，再根据周期公式即可求出 的大致范围，再根据 的取值范围，求出 的取值范围，
根据 的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：依题意 ，即 ，又 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
要使函数在 内单调递减，所以 ，解得 ，
即 ；
第 13 页故选：B
6．A
【解析】
【分析】
依据函数在 上单调，可知 ，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知 ，
最后计算可知结果.
【详解】
因为 在 上单调，所以 ，则 ，由此可得 .
因为当 ，即 时，
函数取得极值，要满足在 上存在极值点，因为周期 ，
故在 上有且只有一个极值，故第一个极值点 ，得 .
又第二个极值点 ，
要使 在 上单调，必须 ，得 .
综上可得， 的取值范围是 .
故选:A.
7．A
【解析】
【分析】
由对称性可得 和 的解集，结合 的正负可求得不等式的解集.
【详解】
是定义在 上的偶函数， 其图象关于 轴对称，
结合图象可知：当 时， ；当 时， ；
由 得： 或 ，
或 或 ，
的解集为 .
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
第 14 页由题可得 ， ，进而可得 ， ，即得.
【详解】
由 ，得 ，
则 ，
解得 ．
又 ，
∴ ，
故 ，即 ．
由 ，得 ，
则 ，解得 ，
因为 ，
故 ，即 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
先将不等式变为 ，由三角恒等变换将 化为 ，即求解
，由正弦函数的图形性质可得答案.
【详解】
，
当 时，
结合选项可知： 是所求区间的一个子集.
故选：B
10．D
【解析】
第 15 页【分析】
先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得 ，结合条件即得.
【详解】
，
由 ， ，可得 ，
根据正弦函数的单调性，可得： ，又 ，
所以 ，即 .
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
先求出 ，对四个选项一一验证：
对于A：利用周期公式验证；
对于B：直接讨论单调性验证；
对于C：代入法验证；
对于D：利用图像变换验证.
【详解】
∵函数 ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴ ，即
.
∵直线 是其中一条对称轴，∴ ，解得： .
所以 .
对于A：函数 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B：当 时， ，所以 不单调，故B错误；
对于C：当 时， ，所以点 是函数 图象的一个对称中
心，故C正确；
第 16 页对于D：将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图像，再向左平
移 个单位长度，得到 ，故D错误.
故选：C
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于 或 的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
12．B
【解析】
【分析】
代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断
③；根据单调区间可判断④.
【详解】
对于①，因为函数 ，
所以
，函数不是偶函数，故①不正确；
对于②， 时， ，
所以函数图像关于 对称，故②正确；
对于③，将 的图像向右平移 个单位，
得到
，故③不正确；
对于④， ，
由 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
第 17 页所以 在区间 内的单调递增区间是 和 ，故④正确.
所以②④正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.
13．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项AD，结合正切函数图象可知， 和 的最小正周期都为 ，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知， 在 上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知， 在 上单调递增，且最小正周期 ，故C正确.
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式将函数化简为 ，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以 ，令 ，解得
，故函数的单调递增区间为
故选：D.
15．D
【解析】
【分析】
可得 ，根据题意可求出最小正周期，得出 ，求出 的单调递减区间，根据包含关系可求
出.
【详解】
由题可得 ，
若满足 ，则 和 必然一个极大值点，一个极小值点，
又 ，则 ，即 ，所以 ，
第 18 页令 ，可得 ，
即 的单调递减区间为 ，
因为 在区间 上单调递减，所以 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以可得 .
故选：D.
16．A
【解析】
【详解】
因为 ，
所以由 得
因此 ，从而 的最大值为 ，故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意， ， ， ，则 .
故选：D.
18．C
【解析】
【分析】
化 的解析式为 可判断①，求出 的解析式可判断②，由 得 ，
结合正弦函数得图象即可判断③，由
得 可判断④.
【详解】
由题意， ，所以 ，故①正确；
第 19 页为偶函数，故②错误；当
时， ， 单调递减，故③正确；若对任意 ，都有
成立，则 为最小值点， 为最大值点，则 的最小值为
，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综
合的问题.
19．C
【解析】
【详解】
所以④正确，
，
， ，则 或 ，所以①错误，
， ， ，②错误，
在 递减，
在 递增，③正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及零点、单调性、最值和周期，等价转化为二次函数是解题的关键，属于中档题.
20．D
【解析】
【分析】
结合三角函数以及充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
依题意 、 为第二象限的角，
但 .
，但 ，
所以“ ”是“ ”的既非充分又非必要条件.
故选：D
21．B
【解析】
第 20 页【分析】
根据正弦函数图象求单调区间即可
【详解】
的递增区间就是 的递增区间，由三角函数图象可得 在 上递减，在
上递增，在 上递减，
故选：B．
22．D
【解析】
【分析】
取 ， 得到 ，对比选项得到答案.
【详解】
，取 ， ，
解得 ， ，当 时，D选项满足.
故选：D.
23．C
【解析】
【分析】
化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当 时， ，
它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点： ；当 时，
，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．当
时， ；当 时， ，又
为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】
画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
24．C
第 21 页【解析】
【分析】
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数 ， ，所以函数的值域为 ， ，A正确．
因为 ，所以函数是偶函数，B正确．
因为 ，所以函数是周期函数，C不正确．
因为 ，不具有单调性，D正确．
故选：C．
25．D
【解析】
【分析】
先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出 的
范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个 的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】
令 ，解得 ， ，
而函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
当 时， ，
因为 在区间 上有且仅有一个解，
所以 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得 的一个取值范围；然后根据取最
值的个数，求得 的另一个范围.这里要注意， 说明 ，而根据题意， 只有一个解，所以
只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现 只能等于1.如果能够取到 ，那么根据自变量的范围，
此时 肯定也可以取1，所以舍去.
26．C
第 22 页【解析】
【分析】
的单调增区间，即函数 的单调减区间，然后解出不等式
即可得答案.
【详解】
的单调增区间，即函数 的单调减区间.
令 ，求得 ， ，
故函数函数 的单调减区间为 ， ，
故选：C
27．B
【解析】
【分析】
根据 以及周期性求得 .
【详解】
依题意函数 ，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
则 ，
即 ，解得 .
故选：B
28．B
【解析】
【分析】
根据正弦函数、余弦函数的值的正负性，正余弦函数的单调性进行判断即可.
【详解】
因为 是第二象限角，所以 ，
因此 ，所以点 在第二象限.
故选：B
29．C
【解析】
【分析】
第 23 页利用三角恒等变换得到 ，再计算单调区间得到答案.
【详解】
，
取 ， ，解得 ， .
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
先根据一条对称轴方程为 可得 ，再由单调区间的长度小于等于半周期，解不等式即可
得到答案；
【详解】
由题意得：
故选：B.
31．A
【解析】
【分析】
首先根据函数的单调性列出 ，求出 ，再由 在 处取得极大值，列出
，解不等式即可求解.
【详解】
由题 ，所以有 ，得 ，
又因为 ，所以 ；
又 在 处取得极大值，
可得 ，所以 ，则 ，
故选：A.
32．C
【解析】
第 24 页由函数的对称性可得 、 ，两式相减进一步化简可得 ，
根据正弦型函数的单调性得 ，代入周期计算公式可得 ，取 验证函数 的
单调性即可.
【详解】
由于 ，则 关于 对称，即 是函数 的一条对称轴，
，①
，②
①-②得 ，
令 ， ，则 ， ，
， ， 的最小正周期 ，
在 上单调， ，
，解得 ，
当 时， ，则②式为 ， ，
又 ， ，此时 ，
当 时， ，
在 上不单调，不符合题意舍去；
当 时， ，则②式为 ， ，
又 ， 当 时， ，此时 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ，此时 ，
当 时， ， 单调递减.
的最大值为9.
第 25 页故选：C
【点睛】
解决三角函数中已知单调区间求参数 范围时，首先要有已知的单调区间是函数 单调区间的子
集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个
周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
33．D
【解析】
根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
【详解】
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且 ，
∴ ，
∴f（x）＝2sin（ωx ），
∵f（ ）＝0且为单调递减时的零点，
∴ ，k∈Z，
∴ ，k∈Z，
由图象知 ，
∴ω ，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x ），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移 个单位得，
∴A错，
令2x ，k∈Z，对称轴为x ，则B错，
令2x ,则x ，则C错，
令2x kπ，k∈Z，则x＝ ，则D对，
故选：D．
【点睛】
第 26 页本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
34．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据 的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间 的长
度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为 ，所以选项A错误；
因为 ，所以选项B正确；
因为 ，所以选项C错误；
的最小正周期为 ，在 内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
35．ABC
【解析】
【分析】
根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及 可判断B；利用正弦定理化边为角以
及同角三角函数商数关系可得 即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得
进而可得 或 即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为 ，所以 ，由正弦定理可得 （ 是 外接圆的半径），所以
，故选项A正确；
对于B：因为 在 上单调递减， 且 ，所以 ，故选项B正确；
对于C：因为 ，由正弦定理化边为角可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得 ，所以 ，所以 或 ，故选
项D错误．
故选：ABC．
36．ACD
【解析】
第 27 页【分析】
根据最小正周期可以计算出 ，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出
的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出 的取值范围，可判断D选项.
【详解】
选项： 的最小正周期为
，故 正确；
B选项： 的最小正周期为
，故B错误；
C选项：
又函数 在 上单调递增
，故C正确；
D选项：
又 在 有且仅有 个零点，则 ，故D正确.
故选：ACD
37．AD
【解析】
【分析】
根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.
【详解】
根据题意，易知 ，即 ，因此 .
当 时， ，因为 ，所以 ，
又因为函数 在 上是单调函数，所以 ，
解得 ，故A正确，C错误；
当 时， ，因为 ，所以 ，
第 28 页又因为函数 在 上是单调函数，所以 ，
解得 ，故B错误，D正确.
故选：AD.
38．AD
【解析】
【分析】
由图知 即可求 ；根据 且 求 ；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在 上
单调性；由 代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断 是否成立.
【详解】
由图知： ，而 ，可得 ，A正确；
∴ ，又 且 ，有 ， ，又 ，
∴ ，即 ，B错误；
综上， ，
∴ ，则 ，显然 在 上不单调，C错误；
若 ，则 ，故 ，D
正确.
故选：AD
39．
【解析】
【分析】
由题得 ，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.
【详解】
由题意可知 ，则要求函数的单调递减区间只需求 的单调递增区间，
由 得 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
第 29 页故答案为： .
40．2
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值
可得.
【详解】
由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最小正整
数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求解 .
41．
【解析】
【分析】
根据题意求出函数在R上的单调区间，进而与 求交集即可得到答案.
【详解】
令 ，解得 ，
第 30 页所以 .
故答案为： .
42．
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将 化为 ，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数 的单调区间.
【详解】
依题意 ，
由 ， ，
解得 ， ，
所以 单调递增区间为 .
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
对给定函数求导，再借助均值不等式求出导函数的最小值即可求解作答.
【详解】
依题意，当 时， ，当且仅当 ，即 时取“=”，
则有原函数图象在点P处的切线斜率不小于 ，即 ，又 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
44．①②③
【解析】
【分析】
化简函数 的解析式为 ，利用余弦型函数的值域可判断①的正误；利用周期的定义可判断
第 31 页②的正误；在 上解方程 ，可判断③的正误；利用余弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】
因为 .
对于①， ，则 ，①正确；
对于②， ，
作出函数 的大致图象，如图所示．
由图可知，函数 的最小正周期为 ，②正确；
对于③，当 时， ，
由 ，可得 ，可得 ，
分别令 、 、 、 ，可得 、 、 、 ，
所以，函数 在在 上有 个零点，③正确；
对于④，当 时， ，则 ，
所以，函数 在区间 上不单调，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调
区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
45．(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；
(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒
第 32 页(1)
．
由 ，解得 ．
又 ，
则 ， ，
解得 ， ，
所以函数的单调递减区间为 ， ；
(2)
由 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 ．
46．(1) ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由三角函数图象得 ，进而得 ，再待定系数求解得 ，最后整体换元求解即可；
（2）由三角函数平移变换得 ，进而得函数 的零点 或 ，再结
合三角函数性质分析即可得答案.
(1)
解：由图易知 ，则 ， ，
由题意结合图象知 ，又 ，故 ，
则 ．
令 ，
解得 ，
第 33 页所以 的增区间是 ．
(2)
解：（2）由题意知 ．
令 ，即 ，即 或 ，得 或 ．
所以在 上函数 的图象与x轴恰有两个交点，若在 上函数 的图象与x轴恰有10个交点，则b不
小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，
即b的取值范围为 且 ，解得 ．
故实数b的取值范围为 ．
47．(1) ， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）将函数变形为 ，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得 或 ，即 或 ，利用正弦函数的性质可求解.
(1)
图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
的最小正周期为 ，即可得 ，
又 为奇函数，则 ， ，又 ， ，
故 的解析式为 ，
令 ，得
函数 的递减区间为 ， .
(2)
， ， ，
第 34 页方程 可化为 ，
解得 或 ，即 或
当 时， 或 或
解得 或 或
当 时， ，所以
综上知，在 时，方程 的所有根的和为
48．（1） 时， ；（2） .
【解析】
（1）利用倍角公式对函数进行化简得： ，进而得到函数的最大值及对应的 的值;
（2）将 代入 的单调递增区间 ，即可得答案；
【详解】
解：（1） ，
当 ，即 时， ；
（2）由题意得： ，
函数 的单调增区间为 .
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦函数的最值和单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能
力、运算求解能力.
49．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）化简函数 的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；
（2）构造函数 ，由单调性的定义得出 在区间 上为增函数，结合正弦函数的单调性，得
出正实数 的最大值.
【详解】
第 35 页解：（1）由题意得，
令 ，得
即 ，故 的取值范围为
（2）由题意得，
令
即
故 在区间 上为增函数
由 ， 得出， ，
则函数 包含原点的单调递增区间为 即
故正实数 的最大值为 .
【点睛】
本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.
第 36 页第 37 页
