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微专题：导数法研究函数的单调性
【考点梳理】
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果 f ′( x )>0 ，那
么函数y＝ f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果 f ′( x )<0 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a，b)上单调递减.
2. 利用导数判断函数f(x)单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y
＝f(x)在定义域内的单调性.
3. 函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图
象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
4. 在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 可导函数f(x)在(a，b)上单
调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.
【题型归纳】
题型一：用导数判断或证明已知函数的单调性
1．已知 ，且满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的图像关于直线 对称，且当 时， 成立，若 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用导数求函数的单调区间（不含参）
4．函数 的递增区间是（ ）
A． B． 和
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
5．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
题型三：含参分类讨论求函数的单调区间
7．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
8．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：在 上， .
9．已知函数 （a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若关于x的方程 有两个实数根 ，且 ，求证： ．
【双基达标】
10．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司① ；
② ．
11．已知函数 ，讨论 的单调性．
12．已知函数 ， 的最大值为 .
（1）求实数b的值；
（2）当 时，讨论函数 的单调性；
13．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
14．已知函数 ，从① 是函数 的一个极值点，②函数 的图象在 处的切线方程为
这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求 的单调区间．
15．已知函数 .
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数 的取值范围.
16．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
17．设函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的单调递减区间和极小值（其中 为自然
对数的底数）；
（2）若对任何 恒成立，求 的取值范围．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的极值.
19．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明：对任意的 ， 恒成立.
20．已知函数 （a为常数）在 处的切线方程为 .
（1）求a的值，并讨论 的单调性；
（2）若 ，求证 .
【高分突破】
21．已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)当 时，证明： ．
22．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
23．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）当 时，证明： .
24．设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
25．在“① 在 处取得极小值2，② 在 处取得极大值6，③ 的极大值为6，极小值为2”这
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知函数 （ ），且______，求 的单调区间．
26．已知函数 （ ）．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： ．
27．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性．
28．已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的单调区间；
（Ⅱ）若 ， ，求 零点个数.
29．已知 ， .
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）讨论 单调性；
（2）当 时，若对于任意 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
30．已知 ， .
（1）讨论 在区间 上的单调性；
（2）若 ，且 在 上有三个零点，求实数 的取值范围.
31．已知函数 （ 且 ）.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调区间.
32．已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： .
33．在① 的图象在点 处的切线斜率为1；② ；③ 有两个极值点-1，1这三个条件中任
选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知 .
(1)若______，求实数m的值；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(2)若 ，讨论 的单调性.
34．已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先对已知条件取对数后得到 ， ， .根据式子结构，构造函数
，利用导数判断单调性，比较大小.
【详解】
由 得 即 .
同理得： ， .
令 则 .
故 在 上单调递增， 上单调递减.所以 .
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
先得到 为偶函数，再构造函数 ，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.
【详解】
函数 的图像关于直线 对称，可知函数 的图像关于直线 对称，即 为偶函数，
构造 ，
当 ， ，故 在 上单调递减，
且易知 为奇函数，故 在 上单调递减，由 ，
所以 .
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
判断出 ，构造函数 ，判断 时的单调性，利用其单调性即可比较出
a,b的大小，即可得答案.
【详解】
由 ，得 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
第 7 页因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，则 ，
即有 ，
故 .
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
利用导数求 的递增区间.
【详解】
由题设， 且 ，可得 ，
所以 递增区间为 .
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
求出导函数 ，然后令 ，解出不等式即可得答案.
【详解】
解： ，
令 ，得 ，所以函数 的单调递减区间是 ，
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
利用导数除法求导法则求导运算，再根据 在 成立，则 在 上单调递增，运算求解．
【详解】
∵
令 ，则
∴函数 的递增区间为
故选：A．
7．(1)答案见解析
(2)
【解析】
第 8 页【分析】
（1）求出函数的导函数，分 和 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意可得 在 上恒成立，令 ，再分 、 、
三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.
（1）解：由 知定义域为 ，且 ① 时，在 上 ，故
在 上单调递增；② 时，当 时 ， 时 ，故 在 上
单调递增，在 上单调递减.
（2）解：由 得 ，令 ①当 时，在 ，
恒成立，所以 不可能； ②当 时
在 上单调递减且 ，当 时， ，故在 上存在 ，使
得 时， ，则在 上 单调递增，所以 与题不符. 当 时，
，所以 在 上单调递减，所以 ，符合题意. 综上所述，
8．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对a分类讨论： 和 两种情况，分别求单调区间；
（2）对 ，利用导数讨论单调性，求出最小值，即可得到 ，即证.
（1）函数 的定义域为 ， .若 ，当 时， ，此时函数 为增
函数，当 时， ，此时函数 为减函数；若 ，当 时， ，此时函数 为
减函数，当 时， ，此时函数 为增函数.
（2）当 时，令 ，则 ，当 时， ，此时函数 在
递增， 当 时， 恒成立.故在 上， .
9．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的定义域及导数 ，再分类讨论求解不等式 或 的解集作答.
（2）利用方程根的意义求出 的关系等式，再变形换元，构造函数并借助函数单调性推理作答.
第 9 页（1）函数 定义域为 ，求导得 ，当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
当 时，当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 的递增区间是 ，当 时， 递减区间是 ，递增区间是 .
（2）当a＝2时，方程 ，即为 ，依题意， ，且 ，两式相减，得
，即 ，则 ，令 ，有 ， ，从而得
，令 ，求导得 ，即函数 在 上单调递增，
， ，即 ，而 ，因此 ， 恒成立，所以 ．
10．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】
(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
第 10 页而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
第 11 页由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对
导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与
解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函
数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
11．答案见解析
【解析】
【分析】
就 分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.
【详解】
的定义域为 ， ，
若 ，则 恒成立，故 在 上为减函数；
若 ，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
综上，当 时， 在 上为减函数；
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数．
12．（1）0；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数直接进行求解即可；
（2）利用导数结合分类讨论思想进行求解即可.
【详解】
（1）由题意得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减.
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，所以 ，解得 .
（2） 的定义域为 .
① 即 ,则 ，故 在 单调递增；
第 12 页②若 ,而 ,故 ,则当 时，
当 、 时，
故 在 单调递减，在 单调递增.
③若 ,即 ,同理 在 单调递减，在 单调递增.
综上所述：当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是根据方程 两根之间的大小关系进行分类讨论.
13．(1)答案见解析；(2) 和 .
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】
(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 ， 上
单调递增，在 上单调递减.
(2)由题意可得： ， ，
第 13 页则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
切线方程为： ,
与 联立得 ，
化简得 ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是 的一个因式，∴该方
程可以分解因式为
解得 ,
，
综上，曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 .
【点睛】
本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中
对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出
的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根
是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，
一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
14．（1）条件性选择见解析， ；（2）单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
【解析】
【分析】
（1）选①，求出函数的导函数，根据 是函数 的一个极值点，得函数在 处得到函数值为0，即可
得出答案；
选②，根据函数 的图象在 处的切线方程为 ，即函数在 处得导数值为3，即可的解；
（2）由（1）得 ，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.
【详解】
解：（1）选①．
由题意知， ，
依题意得， ，
即 ，经检验 符合题意．
选②．
由题意知， ，
第 14 页因为函数 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，得 ．
（2）由（1）得 ，
，
令 得， 或 ，
列表：
-1 3
- 0 + 0 -
所以 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
15．（1）(－∞，－1)和 ；（2） .
【解析】
（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；
（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x) ×f(x) <0，解不等式即可.
极大值 极小值
【详解】
解：(1) ，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x> ，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和 .
（2）由（1）知， 在 取得极大值 ，在 取得极小值
函数f(x)有三个零点， 解得 实数 的取值范围 .
【点睛】
函数的单调性与导数的关系：
已知函数 在某个区间内可导，
（1）如果 >0，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 <0，那么函数 在这个区间内单
调递减；
（2）函数 在这个区间内单调递增，则有 ；函数 在这个区间内单调递减，则有 ；
16．(1)证明见解析
(2)答案见解析
第 15 页【解析】
【分析】
（1）对f（x）求导，利用导数求出f（x）的最小值，即可得证；
（2）对f（x）求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可解出.
(1)
若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0， ，
令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f
（1）＝1，故f（x）≥1.
(2)
f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0， （x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x ，令f′（x）＜0，得0＜x ，
所以f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增.
17．（1）单调递减区间为 ，极小值为2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求导，利用 求出 ，代入导函数可得单调性和极值；
（2）条件等价于对任意 恒成立，设 ，可得
在 上单调递减，则 在 上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）由条件得 ，
∵ 在点 处的切线与 垂直，
∴此切线的斜率为0，即 ，有 ，得 ，
∴ ，由 得 ，由 得 ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
第 16 页当 时， 取得极小值 ．
故 的单调递减区间为 ，极小值为2
（2）条件等价于对任意 恒成立，
设 ．
则 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，得 恒成立，
∴ （对 仅在 时成立），
故 的取值范围是
18．（1）答案见解析；（2） ， .
【解析】
（1）求得函数的导数 ，分 和 两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当 时，得到 ，求得函数的导数 ，求得函数的单调性，结合极值的概念，即
可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 ，可得 ，
若 ，由 ，可得 ；由 ，可得 ，
所以 的递减区间为 ，递增区间为 ；
若 ，由 ，可得 ；由 ，可得 ，
所以 的递减区间为 ，递增区间为 .
（2）当 时，可得 ，
则 ，
由 ，即 ，解得 或 ，
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
- 0 + 0 -
递减 极小值 递增 极大值 递减
第 17 页所以当 时，函数 取得极小值 ；
当 时，函数 取得极大值 .
19．(1) ；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)对给定函数求导，并求出单调区间而得解；
(2)对要证的不等式等价转化，构造函数，再求其最值即可得解.
【详解】
(1)由题意可得f(x)的定义域为 ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，则f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
即 时，f(x)取得最小值，故
(2)要证 成立，即证 ，
只需证 ，就证 ，
设g(x)=xlnx-x+1，函数g(x)是a=1时的函数f(x)，则由(1)可得g(x) =g(1)=0，
min
设 则 ，
由 ，得02，则h(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，
即x=2时，h(x)取得最大值，故h(x)max=h(2)=0，
因为g(x)与h(x)的最值不同时取得，所以g(x)>h(x)，即 ，
故当x>0时，不等式 恒成立.
【点睛】
关键点睛：函数不等式的证明，等价转化，再构造函数是解决问题的关键.
20．（1） ， 在定义域 上为增函数；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由 可得 （也可由 求得 ），为确定 的正负，设 ，再求导
，由 的正负确定 单调性，从而得 正负，得 的单调性；
（2）先利用导数证明不等式 ，然后引入函数
，求出 ，对其中的部分函数 ，
求出导函数 ，利用刚证的不等式可得 ，从而 递增，因此可得 是增函数（ ），因此得出
第 18 页单调性及最小值，得 ，于是得 ，结合已知得 ，由 的单
调性得证结论．
【详解】
解：（1） ，
切线斜率 ，
所以 ，
此时 ，
则 ，
可得 在 上为减函数，在 上为增函数，因此 恒成立，
故 在定义域 上为增函数
（2）先证不等式 ，
设 ，则 ，
可得 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时 ，即 成立， ，
令 ，
则 ，
设 ，
则 ，利用不等式 得 ，
那么 ，
所以 是增函数，故 是增函数，
又因为 ，在 时， ， 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，.
所以 ，即 ，当 时，取等号，所以 ，
又由 得 ，
第 19 页所以 ，
又 在定义域 上为增函数，
所以 ，即 得证.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．证明不等式的关键是引入新函数
，利用导数证明 ，这样明确，即求得 的最小值为0即可．本题考查了学生的转
化与化归能力，分析问题解决问题的能力，运算求解能力，本题属于难题．
21．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可求 ，利用二次函数的性质通过分类讨论可求；
（2）由题可得函数 的最小值为 ，构造函数设 ，可求函数的最大值为 ，即证.
(1)
∵ ，函数的定义域 ，
∴
，
设 ，
函数 是开口向下的抛物线，
又 ．
①当 时， ，
又 ，即 ，
因此 在 上单调递减．
②当 时， 有两个不等实根，
设两个根为 ，且 ．
第 20 页，可知 ，
解 得 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，在
上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
要证明 成立，即就是证明 成立．
当 时，由上可知，函数 在 上递减，在 上递增，
因此函数 的最小值为 ．
设 ．
因此，当 时， 在区间 上递增，
当 时， 在区间 上递减，
所以 的最大值为 ，
因此对任意 ，总有 ，
故 ．
【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数
形结合思想的应用.
22．（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 ，命题转换为证明： ，然后构造对称差函数，
结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
第 21 页【详解】
(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
第 22 页．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
第 23 页由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】
(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题
必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的
不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
23．（1） ；（2） ， 在 单调递减； ， 在 单调递增，在 单调递减；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为 .先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设
，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当 时， ，得 ，然后利用 放缩
证得；
解法2：（3）不等式 等价于 .
由（1）可知，当 时， ，得 ，先利用 ，得到 ，从而为证原不
等式，只需证
第 24 页构造函数 ，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】
（1） ，则 ，
于是点 处切线方程为： ，即 .
（2）若 ，则 定义域 ， ， 在 单调递减.
若 ，则 定义域为 ， .
由 得 ，由 得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
解法1：（3）不等式 等价于 .
设 ， .
设 ，则 ，所以 .
而 ，所以 ， 在 单调递减，所以 .
由（1）可知，当 时， ，得 .所以
.
因此当 时， .
解法2：（3）不等式 等价于 .
由（1）可知，当 时， ，得 ，从而 .
设 ， 在 单调递增.
因为 ，所以当 时， ，当 时， .
所以 .因此 .
所以当 时， .
【点睛】
利用 ， 进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
24．(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
(2) ；
(3)证明见解析.
第 25 页【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】
(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
第 26 页，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中 ）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且 ．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
因为 ，
第 27 页所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即 ，注意 时有
，故不等式成立．
【整体点评】
本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零点反代法，换为关于
的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为 与0比较大小，代入函
数放缩得到结论.
25．选①②③，答案均为： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ．
【解析】
【分析】
选①，根据 在 处取得极小值2，则有 ，从而可求得a，b，再根据导函数的符号即可求得函数
的单调区间；
选②，根据 在 处取得极大值6，则有 ，从而可求得a，b，再根据导函数的符号即可求得函
数的单调区间；
选③，根据求出函数的导函数，根据导函数的符号即可求得函数的单调区间，从而可得函数的极值，再根据
的极大值为6，极小值为2, 可求得a，b，即可得出答案.
【详解】
解：选条件①．
易知 ，
由 ，得 ．
所以 ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ．
选条件②．
第 28 页易知 ，
由 ，得 ．
所以 ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ．
选条件③．
易知 ，
由题意可知 ，
令 ，得 ，
则 ， 随 的变化情况如表所示．
+ 0 - 0 +
极小
极大值
值
所以 ，解得 ．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ．
26．(1)当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间 ，单调减
区间是
(2)（i） （ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，求导，对 进行分类讨论，求对应的单调区间；
（2）（i）结合第一问中函数的单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围；（ii）构
造差函数，证明极值点偏移问题.
(1)
定义域为 ， ，
①当 时，有 恒成立， 是函数 的单调增区间，无递减区间；
第 29 页②当 时，由 ，解得 ，由 ，解得 ，故函数 的增区间
，减区间是 ．
综上：当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间 ，单调减区
间是
(2)
（i）由（1）知：当 时， 在 上单调递增，
函数 不可能有两个零点；
当 时，因为 在 上递增，在 上递减，
因为 ，故 ，
设 ， ，
则 ，当 时， ，当 时， ，故 在 处取得极大值，也是最大
值， ，所以 ，
故 ，即 取
，
则
因此，要使函数 且两个零点，只需 ，
即 ，化简，得 ，
令 ，因为 ，
所以函数 在 上是单调递增函数，
又 ，故不等式 的解为 ，
因此，使求实数a的取值范围是： .
（ii）因为 ，所以 ， ，
下面先证明 ，
第 30 页根据（1）的结果，不妨设 ，则只需证明 ，
因为 在 时单调递增，且 ， ，
于是只需证明 ，
因为 ，所以即证 ，
记 ， ，
，
所以 在 单调递增，则 ，
即证得 ，原命题得证.
【点睛】
极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选
择哪种方案，需要结合函数特点进行选择.
27．（1）极大值为 ；极小值为 ；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1） 时，先求导以及 的根，再列表判断单调性，即求得极值；
（2）先写定义域，求导以及 的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，
即得函数的单调性.
【详解】
解：（1）当 时， ，定义域为 ，
．
令 ，解得 ，或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
第 31 页＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当 时， 有极大值，且极大值为 ；
当 时， 有极小值，且极小值为 ．
（2）函数 定义域为 ， ．
令 得 或 ．
①若 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
②若 ，即 ，则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
③若 ，即 ，则当 时， ， 单调递增，
④若 ，即 ，则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
综上所述，当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ， ，递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ．
28．（Ⅰ）单调减区间 ，单调增区间 ， ；（Ⅱ）有且只有一个零点.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得导函数，进而求得导函数的零点，得到导函数的正负区间，从而得到原函数的增减区间；（Ⅱ）利用
导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理得到零点个数.
【详解】
第 32 页（Ⅰ）当 时， ，所以 .
令 ，解得 ，和 ，
当 或 ， ，所以 ， 是单调增区间；
当 ， ，所以 是单调减区间；
（Ⅱ） ， ，∵ ， 成立，
∴令 ,解得 ，
∵ ， ，
∴函数 在 上上的单调性是：
在 内单调递减，在 内单调递增.
易知 .
当 时 ，∴当 时，只要 ,即 且 时，即
时必有 ，
∴当 时，函数 在 上只有一个零点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，属基础题，其中利用导数研究函数的单调性是关键；利用放缩
法判定当 足够大时函数值大于零，是利用零点存在定理证明有一个零点的必要步骤.
29．（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对m讨论，得到 单调性；
（2）当 时，先求出 ，由题意，原不等式等价于 ，
，利用导数求出 ，进而求出m的范围.
【详解】
（1） ，所以当 时，有 恒成立， 在 单调递增，当 时，由
解得： ， 在 上单调递增；由 解得： ， 在
上单调递减；
第 33 页（2）当 时， ，
根据题意，不等式等价于 ， ，
对于 ， ， ，
所以 在 上单增，所以 ，
则有 ，
设 ，则 ，
在定义域内为减函数，
又 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主
要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)恒（能）成立问题求参数的范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究 的单调性及最值；
③特别地，个别情况下 恒成立，可转换为 （二者在同一处取得最值）.
30．（1） ， 单调递增； ， 单调递减， 单调递增； ， 单调递减；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题设得 ，讨论 、 、 判断 在 上的符号，即可得 的单调性；
（2）由题设可得 ，易知 且 ，要使 在
上有三个零点，即 在 上有两个不相等的实根，讨论参数a，当 时构造
，利用导数研究极值，进而求 的取值范围.
【详解】
第 34 页（1）由题设， ，而 上 ，
∴当 时， 上 恒成立， 单调递增；
当 时， 上 ， 单调递减； 上 ， 单调递增；
当 时， 上 恒成立， 单调递减；
（2）由题意， ，又 ，
∴ ，得 ，
∴ ，而 ，
∴要使 在 上有三个零点，即 上 只有一个零点即可，故 在 上有两个极值点，
∵ ，则 在 上有两个不相等的实根，而 ，
∴由（1）知：当 时， 递增，不合题意；当 时， 递减，不合题意；
当 时， 在 递减， 递增；而 ，
令 且 ，则 ，
∴当 时， 有 递减；当 时， 有 递增；
∴ ，即 ，
∴只需 ，即 ，此时 在 上有三个零点.
∴ 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：第二问，将问题转化为 在 上有两个不相等的实根，讨论参数，并构造中间函数并利用
导数研究最值的符号、单调性，进而求出参数范围.
31．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求出 、 ，由直线的点斜式方程可得答案；
（2）求出 ，分 、 、 、 讨论 的正负可得答案.
(1)
∵ ，
第 35 页∴ ，
∴ ，又 ，∴ .
∴所求切线方程为 .
(2)
由题意知，函数 的定义域为 ，
由（1）知 ，
∴ ，易知 ，
①当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .
②当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 或 .
③当 时， .
④当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 或 .
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；
当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；
当 时，函数函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、导数判断函数的单调性的问题，关键点是对 进行讨论，考查了学生发现问题、解决
问题的能力.
32．(1)有极小值 ，无极大值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，结合函数极值和单调性的关系进行求解即可；
（2）当 时，利用零点的存在性定理可得函数 存在零点，结合函数极值和导数之间的关系求最值，
利用基本不等式法进行证明即可.
(1)
函数 的定义域为 ，当 时 ，
函数的导数为 ，且
第 36 页又 ，故 在区间 上单调递增，
则当 时 ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以函数在 时有极小值 ，无极大值
(2)
当 时，
故 在区间 上单调递增，其中
且当 上时， ，取
则有
故导函数 存在零点 ，且 为极小值点，
满足 ，
故 (当且仅当 即 时取等号)，
即
33．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）易得 ，分别将三个条件代入即可计算出m；
（2）对m分 ， ， 三种情况讨论即可得到函数的单调性.
(1)
方案一：选条件①.
易得 ，
， .
方案二：选条件②.
易得 ，
， .
方案三：选条件③.
易得 ，
第 37 页∴由 ，得 ， .
有两个极值点-1，1， ， .
(2)
.
当 时，由 ，得 或 .
（i）若 ，则 .
在R上单调递增.
（ii）若 ，则 .
∴当 时， 或 ；当 时， .
在 上单调递增，在 上单调递减.
（iii）若 ，则 .
∴当 时， 或 ；当 时， .
在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
34．（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令 ，求
导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
第 38 页从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参
数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线 有两个交点，
利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
第 39 页第 40 页
