文档内容
专题 02 矩形的判定与性质重难点题型专训（13 大题型+15 道提优训
练）
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
知识点1：矩形的概念与性质
1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。【经典例题一 矩形的性质理解】
【例1】（2024·上海·模拟预测）下列关于矩形的说法有误的数量是（ ）
（1）矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等
（2）矩形的对角线交点到四条边的距离不相等
（3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形
（4）矩形对角线互相垂直是随机事件，概率为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：（1）矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等，则（1）
正确；
（2）矩形对角线的交点到四条边的距离不一定相等，故（2）错误；
（3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形，说法正确；
（4）矩形对角线互相垂直是随机事件，但概率小于 ，故（4）错误．
综上，正确的有2个．
故选：B．
1．（2024·上海·模拟预测）下列关于矩形的说法有误的数量是（ ）
（1）矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等
（2）矩形的对角线交点到四条边的距离不相等
（3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形
（4）矩形对角线互相垂直是随机事件，概率为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：（1）矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等，则（1）正确；
（2）矩形对角线的交点到四条边的距离不一定相等，故（2）错误；
（3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形，说法正确；
（4）矩形对角线互相垂直是随机事件，但概率小于 ，故（4）错误．
综上，正确的有2个．
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东济南·期中）学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，
已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如
图②所示的矩形 ，则 的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为 ，较短直角边长度为 ，则中间的小
正方形长度为 ，根据图形得 ，再根据两图形的面积相等即可求出 的值，根据 即可求
解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键．
【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为 ，较短直角边长度为 ，则中间的小正方形长度
为 ，
由图2可得，小正方形的边长为 ，
，即 ，
围成的矩形长为： ，
围成的矩形面积为： ，
矩形的面积与大正方形的面积相等，
，
解得 或 （舍去），
，
故答案为：10．
3．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，这是一张矩形纸片 ，其中 ，，E是 边上的一点，且 ，点P以 的速度从点A开始沿 的方向
运动一周停止，当 是以 为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 s．
【答案】 或3或6
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，分三种情况进行讨论：当 时，
当 时，当 时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
如图1，当 时，
所以 ．
如图2，当 时，过点E作 于点F，
∵ ，
∴四边形 为长方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，所以 ．
如图3，当 时，此时点 与点C重合，
所以点 运动的距离 ，
所以 ．
综上所述，当 是以 为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 或 或 ．
故答案为： 或3或6．
【经典例题二 利用矩形的性质求角度】
【例2】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，
若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题
的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂
直； ④对角线：矩形的对角线相等．
连接 ，由矩形性质可得 、 ，知 ，而 ，可得
度数．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，即 ．
故选：A．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， ，且
，则 为 ．【答案】 /30度
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质．
则 ， ，根据 ，求出 ，根据题意，则 ，求出
，得到 是等边三角形，即可求出 ．
【详解】解：∵在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形 是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线 分别交 于点E，F，连接 ，若 ，
则 ．
【答案】 /34度
【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟
练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线 为线段 的垂直平分线，可得 ，则 ．结合矩形
的性质可得 ，再根据 即可解答．
【详解】解：由作图过程可知，直线 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图， 的对角线 、 相交于点O，E、F是
上的两点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若四边形 是矩形， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，熟记特殊四边形的性质是解本题的关键；
（1）先证明 ， ，再证明 ，从而可得结论；
（2）证明 ，再进一步利用等腰三角形的性质与内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：在 中，
， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵四边形 是矩形
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】
【例3】（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如图，矩形 中， ，点E是 边上一点，连接 ，
，将 绕点B逆时针旋转 得到 ， 恰好落在直线 上，连接 ，则 的
长为 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．先求得 ，再求
得 ， ，由旋转的性质得 ， ，据此求解即可．
【详解】解：作 交 的延长线于点 ，
∵矩形 ，
∴ ， ， ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
由旋转的性质得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ， ，E为 上一点，
，M为 的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且 ．若 和 交于点
F，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了中位线的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
要求 的最小值，因为 是定点，所以需要先找到点 的运动轨迹，当 两点在 点重合时， 在点，当 两点分别到 时， 在对角线交点 处，所以 的运动轨迹就是线段 ，当
时最短，进而再用等面积计算即可得解．
【详解】解：当 和 在 点重合时， 在点 处，当 两点分别到 时， 在对角线交点 处，
所以 的运动轨迹就是线段 ，
∴当 时， 最小，
∵ 是 中点， 是 中点，
∴ ，且 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴根据等面积得 ．
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形 的对角线 相交于点O，过点O作
交 于点E，若 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是
解题的关键．
连接 ，由矩形的性质得 ，因为 交 于
点E，所以 垂直平分 ，则 ，由勾股定理得 ，求得 ，于是得到
问题的答案．
【详解】解：连接CE，
∵矩形 的对角线 相交于点O， ，
∴ ，
∵ 交 于点E，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 于点E，延长 至点F，使 ，
连接 ， 与 交于点O．
(1)求证：四边形 为矩形；(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性
质推出 ，由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，
（1）由平行四边形的性质推出 ， ，得到 ，判定四边形 是平行四边形，
而 ，即可证明四边形 是矩形．
（2）由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，由三角形面积公式得到 ，即可求出
．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题四 根据矩形的性质求面积】
【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作，分别交 ， 于 ， ，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明 ，即可求解．
【详解】解：作 于 ，交 于 ．
则有四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，
， ， ， ， ，
，
，
故选：C．
1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 为边
上任意一点（不与点 、 重合），过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，若 ，
，则 ．【答案】
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，连接 ，由勾股定理得出 ，由矩形的性质得出
， ， ，由
可求得答案．掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ，然后向右
拉框架，观察所得四边形的变化，下列结论中：①四边形 由矩形变为平行四边形；②变形前后对角
线 的长度不变；③四边形 的面积不变；④四边形 的周长不变．正确的有 ．
（填序号）
【答案】①④
【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的判定和性质，由题意可知向右扭动矩形框架 ，四边形
变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，但是 边上的高减小，故面积变小，可得结论．
熟悉矩形的矩形、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设 交 于点 ，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵向右扭动矩形框架 得四边形 ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，故结论①正确；
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ 和 不全等，
∴ ，
∴变形前后对角线 的长度改变，故结论②不正确；
∵矩形 的面积为 ，平行四边形 的面积为 ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积变小，故结论③不正确；
∵矩形 的周长为 ，
平行四边形 的周长为： ，
∴四边形 的周长不变，故结论④正确；
∴正确的有①④．故答案为：①④．
3．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，点 为矩形 对角线 的中点，过点 作
，分别交 、 于点 、 ．若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，
则 ________；
（2）如图2，点 为矩形 对角线 上一点，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若
， ， 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值．
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上），过点 作 ， ，与各边分别相
交于点 、 、 、 ．设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求
的面积（用含 、 的代数式表示）．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边
形的性质与判定条件．
（1）过 点作 ，根据 从而得到，进而得到 与 的关系，从而求出结果；
（2）同（1）的方法进行求解即可；
（3）根据平行四边形的性质得出 ， ，可得
，再由 的关系，即可求解．
【详解】（1）如图，过 点作 ，
依题意，四边形 都是矩形；
∵
又∵
∴
∴ ；
（2）如图，过 点作 ，
∵
又∵
∴∴ ；
（3）解： 点 为平行四边形 内一点， ， ，
四边形 ，四边形 都是平行四边形，
， ．
∵四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），
，
．
【经典例题五 利用矩形的性质证明】
【例5】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形 中， ， ，E为 上一点，
把 沿 折叠，使点C落在 边上的F处，则 的长为（ ）
A．2 B．7 C．18 D．
【答案】D
【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，求得 ，并且根据勾股定
理正确地列出方程是解题的关键．
由矩形的性质得 ， ， ，由折叠得 ， ，则
，所以 ，由勾股定理得 ，求得 ，即
可解答．
【详解】解： 四边形 是矩形， ， ，
， ， ，把 沿 折叠，点C落在 边上的F处，
， ，
， ，
，
，
，
解得： ，
故选：D．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知矩形 中，点 ， 分别是 ， 上的点，
，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是证明
，根据全等三角形的性质求解即可．
根据矩形的性质可得 ，根据 可证 ，利用 可证
，根据全等三角形的性质可证结论成立；
根据 ，可得 ，又因为 ，可得： ，即可得出答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
2．（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）如图，在矩形 中，E在 延长线上，连接 ，F在
上，连接 、 ， 且 ．
(1)如果 ， ，求 的长；
(2)如果 ，求证： ．
【答案】(1)8
(2)见解析【分析】（1）求出 ， ，证明出 是等边三角形，即可得到 ；
（2）如图所示，连接 ，求出 ，然后证明出 ，得到 ，进而
求解即可．
【详解】（1）∵矩形 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（2）如图所示，连接 ，
∵矩形 ， ，
∴ ，
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵矩形
∴
在 和 中∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关
键是掌握以上知识点．
3．（24-25九年级上·江西九江·期末）课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在 中， ，若点D是斜边 的中点，则 ．
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知 ，点E、F分别为 、 的中点， ， ．求 的
长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识
是解题的关键．（1）延长 到E使得 ，连接 ， ，由矩形的判定方法得四边形 为矩形，即可得证；
（2）连接 、 ，由直角三角形的特征得 ， ，由勾股定理得
，即可求解；
【详解】（1）如图1，延长 到E使得 ，连接 ， ，
图1
D为 中点，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为矩形，
，
；
（2）解：如图2，连接 、 ，
图2
，点E是 的中点， ，
，
点F是 中点，
， ，．
【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】
【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 的坐标
分别为 ，点 是 的中点，点 在 上运动，当 时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点 是 的中点，可得
出点 的坐标，当 ，由等腰三角形的性质即可得出点 的坐标
【详解】解：过点 作 于点 ，
矩形 的顶点 的坐标分别为 ，点 是 的中点，
点
， ，
，
即点
点 ，
故选：A1．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，点 ， 分别在 轴、
轴上，且点 ， 为边 上一点，将 沿 所在直线翻折，当点 的对应点 恰好落在对角
线 上时，点 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出
，根据勾股定理求得 ，设 ，则 ．在 中，由
勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
由折叠的性质，可知 ， ，
．
设 ，则 ．在 中，由勾股定理，
得 ，
解得 ．
点 的坐标为 ，故选B．
2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形 是矩形，其中点 和点 分别在 轴和 轴上，
连接 ，点 的坐标为 ， 的平分线与 轴相交于点 ，则 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出 ，作 于点E，如图，根据角平分线的性质可得 ，证
明 ，推出 ，得到 ，设 ，利用勾股定理构建方程求
解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
作 于点E，如图，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角三角形 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得 ，∴ 点的坐标为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练
掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键．
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，长方形 中，O为平而直角坐标系的原点，
，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设 ，且 ，连接 ．
(1)长方形 的周长为 ．
(2)若点D在长方形的边 上，且线段 把长方形 的周长分成 两部分，求点D坐标；
(3)若点D在长方形的边 上，将线段 向下平移3个单位长度，得到对应线段 （F为点D的对应
点），连接 ，求三角形 的面积（可用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）已知 长度，即可求出周长；
（2）由题意得： ，根据此式可求出 的长度，即可得出答案；（3）画出图形，根据 即可求出．
【详解】（1）解：长方形 的周长为： ；
（2）解：由题意得： ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：如图，
由题意得： ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键．
【经典例题七 矩形与折叠问题】
【例7】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形 中，点 分别在边 上，连接
，将 和 分别沿 折叠，使点 恰好落在 上的同一个点，记为点 ，若，则 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形 中， ，
，根据折叠的性质得到 设 ，则 由勾股定
理得到， ，列方程即可求出答案．
【详解】解：在矩形 中， ，
根据折叠的性质得到
设 ，则
由勾股定理得到， ，
即
解得
即 的长度为 ，
故选：D
1．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 是 上一
点，翻折 ，得 ，点 落在 上，求 的长度． ．【答案】 /
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由折叠得出 ， ，根据勾股
定理可求出 ，进而求出 ，将问题转化到 中，设未知数，列方程解答即可．
【详解】解：由折叠得： ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
解得：
∴ 的长度为 ．
故答案为： ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点 落在 边上点 处，
点 的对应点为 ，连接 交边 于点 ，连接 ，若 ， ， 点为 的中点，则线
段 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，勾股定理求得 ，进而证明 ，设 ， ，根据 ，以
及 三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，连接 ，∵折叠
∴ ， ，
∵四边形 是长方形， ， ，
， ，
设
则
∵ 是 的中点，
∴
在 中，
在 ，
∴
即
解得
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
设 ，
在 中即 ①
又
∴ ②
由①可得 ③
将②代入③得 ④
② ④得
解得
即
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌
握折叠的性质是解题的关键．
3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践
折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，
折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题.
问题情境
如图1，在长方形纸片 中， ， ， ，点 是线段 上
的动点，连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形.
（1）如图2，连接 ，当点 落在 上时， 的长为________________.
深入探究
（2）如图3，点 是 的中点，连接 .当点 落在 上时，求 的长.拓展应用
（3）如图4，点 是 的中点，连接 ， .
① 的最小值为________________；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长.
【答案】（1）4；（2） ；（3）① ；② 或6
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的
性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得到 ，再根据勾股定理求出 ，即可求出答案；
（2）连接 ，设 ，根据折叠的性质得到 ， ，由勾股定
理得到 ，再利用勾股定理得到 ，即可求出答案；
（3）①根据两点之间，线段最短，当点 落在 上时， 的值最小，根据折叠的性质得到
， ，由勾股定理得到 ，即可得到答案；
②分当 时，当 时，两种情况进行讨论．
【详解】解：（1） 是由 沿 翻折所得到的图形，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）连接 ，设 ，是由 沿 翻折所得到的图形，
，
， ，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 ，
；
（3）①根据两点之间，线段最短，当点 落在 上时， 的值最小，
设 ，
是由 沿 翻折所得到的图形，，
， ，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
；
②当 时，
是由 沿 翻折所得到的图形，
，
，
设 ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
；
当 时，点 在 上时，
，
， ，
，
，
，
，；
综上所述， 的长为 或6．
【经典例题八 矩形的判定定理理解】
【例8】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不
是矩形．下面是某合作学习小组的 位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法逐一判断即可求解，掌握矩形的判定方法是解题的
关键．
【详解】解： 、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确；
、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误；
故选： ．
1．（2024·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务．
×年×月×日星期日
只用卷尺也能判断矩形
今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零
件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其
次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形 中，
， ， ．
求证：四边形 是矩形．
证明：……．
任务：
(1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理：________________；
(2)补全材料中的证明过程；
(3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法）
【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得答案；
（2）先根据对边相等证明四边形 是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形 是矩形；
（3）先测量对边是否相等，再测量出对角线，利用勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形，即可判定
是否为矩形．
【详解】（1）解：上述做法是依据了矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形；
（2）解：补全后的证明过程如下：
证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形；
（3）解：利用卷尺测量两组对边是否相等，确定它的形状是平行四边形；
然后测量一条对角线的长度，当两条邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，根据勾股定理的逆定理
可确定一个角为直角，
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定该四边形是矩形．
2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）从平行四边形和矩形的学习中我们可以知道，给一般四边形的线和角添加条件，会得到特殊的四边形．比如一般四边形添加“两组对边分别相等”的条件，可以得到平行四
边形；平行四边形添加“对角线相等”的条件又可以得到矩形．类似的，小开在探究平行四边形折叠问题
时观察到：
(1)对任意 ，都可以在 上取一点 ，将 沿着 连线折叠，使得点 对应点 落在对角线
上如图①，由折叠可知， ______ ；但为使点 恰好与点 重合， 与 要满足一个特殊的
数量关系，请你直接写出这一数量关系．
(2)当点 恰好与点 重合时，若平行四边形 是矩形（ ）， 是一个特殊的角度，如
图③，请你求出这个角度．
(3)当点 恰好与点 重合时，如图②，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据对称性及平行四边形对角线相互平分即可得到答案；
（2）由（1）中结论，结合矩形对角线相等，且相互平分即可得到答案；
（3）延长 交 于 ，连接 ，如图所示，利用平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质得
到四边形 是平行四边形，再由平行线性质及折叠性质得到 是等腰三角形，恒等变形即可得到
答案．
【详解】（1）解：有对称性质可知 ；
，
根据对称性知 ，则为使点 恰好与点 重合，即 ，
与 要满足一个特殊的数量关系是 ；
故答案为： ；
（2）解：当点 恰好与点 重合时，由（1）知 ，若平行四边形 是矩形（ ），则 ，
，即 ，
为等边三角形，即 ；
（3）证明：延长 交 于 ，连接 ，如图所示：
在 中， ， ，则 ，
在 和 中，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，则 ， ，
由折叠性质可知， ， ，
，即 是等腰三角形，
，即 ．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及折叠性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全
等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质及相关几何判定与性质是解
决问题的关键．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形， 为 上任意一点．(1)如图①，只用无刻度的直尺在 边上作出点 ，使直线 平分平行四边形 的面积；
(2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形 ，使得点 、 、 分别在边 、 、 上（不写
作法，只保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查作图,平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，
（1）连接 ， 交于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，点 即为所求作．
（2）连接 ， 交于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，以 为圆心 为半径作弧交 于点
，延长 交 于点 ，连接 ， ， ， ，四边形 即为所求．
【详解】（1）解：如图，点 ，四边形 即为所求作．
（2）如图，四边形 即为所求作．
理由：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，可得 ，
四边形 是平行四边形，
，
，四边形 是矩形．
【经典例题九 添一个条件使四边形是矩形】
【例9】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形 的对角线 交于点O．根据图中所标
示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形 为矩形的条件有（ ）个
① ；② ；③ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，添加 或 ，根据对角线互相平分且
相等的四边形是矩形即可判断．
【详解】解：由题意，得 ， ，
∴ ，
添加 ，
则 ，
∴四边形 为平行四边形，
又 ，
∴平行四边形 为矩形；
添加 ，
则 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
又 ，
∴平行四边形 为矩形；
故选：C．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于
点F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)请添加一个条件，使得四边形 为矩形．（不需要证明）
【答案】(1)见解析；
(2) （答案不唯一）．
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌
握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得 ，则 ，再证明 ，即可得出结
论；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：添加 （答案不唯一），理由如下：由（1）可知， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 为矩形．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ， 在对角线
上，且
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，请添加一个条件，使四边形 为矩形(不需要证明
【答案】(1)见解析
(2)当 时或当 时，四边形BEDF为矩形
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定，解答本题的关键是
明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，利用 可以证明 和 全等，从而可以得到
；
（2）根据（1）可知： ，从而可以得到 ， ，故四边形 为平行四边
形，然后根据矩形的判定，即可写出添加的条件．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
；（2）解：当 时，四边形 为矩形，
理由：由（ ）知： ，则 ， ，
故四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为矩形；
当 时，四边形 为矩形，
理由：由（ ）知： ，则 ， ，
故四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为矩形．
由上可得，当 时或当 时，四边形 为矩形．
3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
点 ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)延长 至 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ．当 与 满足什么数量关系时，四边
形 是矩形？请说明理由；
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，四边形 是矩形；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形中位线定理，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得 ，再利用 证明 即可；
（2）根据平行四边形的性质与判定可得四边形 是平行四边形，结合 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵点E，F分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴ ．在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：当 时，四边形 是矩形；理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ．
同理可得 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ．
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形
【经典例题十 证明四边形是矩形】
【例10】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在平行四边形 中，E，F分别在 上，
．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，当 满足 时，四边形 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与
性质是解题的关键．
（1）首先根据平行四边形的性质可得 ，再结合 即可证明结论；
（2）根据运用平行四边形判定矩形即可解答．
【详解】（1）证明∶ ∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：当 时， 四边形 是矩形，
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形．
故答案为： ．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O， ，
点E是 的中点，连接 ，过点C作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）证 是 的中位线，得 ，再证明 ，则四边形 是平行四边形，由
，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出 ，进而利用矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的面积 ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， 平分 ， ，
．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)作 于F，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握
勾股定理．
（1）根据等腰三角形的性质得 ，再根据平行线的性质得 ，然后根据 ，
可得 ，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ，再根据勾股定理得 ，然后根据矩形的性质得
， ，最后根据三角形的面积相等得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 中， ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， 平分 ， ， ，
∴ ．
在直角三角形 中，由勾股定理得： ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、
分别为 、 的中点，延长 至 ，使 ，连接 ．
(1)求证： ≌ ；
(2)当 时，四边形 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判
定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出 ， ， ， ，由平行线的性质得出
，证出 ，进而证明即可；
（2）证出 ，由等腰三角形的性质得出 ，同理： ，得出 ，由三角形
中位线定理得出 ， ，得出四边形 是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵点 、 分别为 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】
【例11】（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形 中，点 是对角线 上一点， ，
，垂足分别为 ， ，连接 ．若 ，则 一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性
质定理．连接 交 于 ，可知 ，根据四边形 是正方形， ， ，
可得四边形 是矩形，故 ，从而 ，即得 ，故
．【详解】解：连接 交 于 ，如图：
由正方形的对称性可知， ，
四边形 是正方形， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
；
故选：A.
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是 对角线 上的点（不与A，C重合），连接
，过点E作 交 于点F．连接 交 于点G， ， ．
(1)求证： 是矩形；
(2)若点E为 的中点，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到 ，则 ，由等边对等角得到 ，则
可证明 ，进而可证明平行四边形 是矩形；
（2）由矩形的性质得到 ，则可证明 是等边三角形，得到 ，
则 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是矩形，点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行
四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：
2．（24-25九年级上·全国·期中）如图， 为 中的一条射线，点P在边 上， 于H，交
于点Q， 交 于点M， 于点D， 交 于点R，连接 交 于点S．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ，试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得 ，再根据平行于同一直线的两直线平行可
得 ，然后求出四边形 是平行四边形，再求出 ，根据有一个角是直角的平行四
边形是矩形证明即可；
（2）根据矩形的对角线互相平分可得 ，然后求出 ，根据等边对等角的性质可得
，再根据两直线平行，同位角相等可得 ，根据三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和求出 ，然后整理即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形；
（2）解： ．理由如下：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点O，
， ，且 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)过点B作 于点E，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）由 ， ，得到四边形 是平行四边形，进而 ，结合
，可得 ，得证结论；
（2）由 ， ，得到 ， ，根据
可求出 ，根据矩形的性质得到 ，进而得到 ，最后根据角的
和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是矩形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵在矩形 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】
【例12】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）如图所示， 是矩形 内一点，已知 ， ，
，则 的值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键．
作 于E， 于F，并延长 交 于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：
，从而可求解．
【详解】解：作 于E， 于F，并延长 交 于M，如图，
∵矩形
∴ ， ， ， ， ，
∵ ， ，∴
∴
∴四边形 、四边形 、四边形 都是矩形，
∴ ， ， ，
由勾股定理，得： ， ， ， ，
∴
，
∴ ．
故选：A．
1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无
重叠的四边形 ，则矩形 的周长为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】由翻折的规律证明四边形 是矩形及 ，再由矩形的性质结合已知条件求出 的
长度，即可求出 的长度，由折叠性质证明 ，求得 ，最后由矩形的周长公式求得周
长便可．本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，
∵将矩形 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 ，
∴
∴
∵ ，
∴
同理， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
由折叠知，
∴
∴
∵
∴ ，
∴矩形 的周长
故选：C．2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形 中， ， ，点E、F分别为 、
边上的动点，且 ，M为 的中点，直线 分别交边 、 于点G、H，连接 、
，则 的最小值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点 是以 为圆心，以 为半径的圆弧上的点，得到
当 共线时， 的值最小，利用勾股定理计算，从而得出
的最小值．
【详解】解：连接 ，
∵矩形 ，直线 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，M为 的中点，
∴ ，
∴点 是以 为圆心，以 为半径的圆弧上的点，
作 关于 的对称点 ，连接 ， ，∵ ，
∴当 共线时， 的值最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为9，
故答案为：9．
3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知 中， ．
(1)尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AB的垂直平分线 ，交AB于点O；
②连接 并延长，在 的延长线上截取 ，使得 ；
③连接 、DB．
(2)若 ， ，则 ________．
【答案】(1)见详解
(2)24
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据所给作图步骤作图即可．
（2）由题意可得四边形 为矩形，可得 ．再根据 可得答
案．
【详解】（1）解：如图所示．（2）解：∵直线 为线段 的垂直平分线，
，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
∵ ，
∴四边形 为矩形．
∴ ．
由勾股定理得， ．
故答案为：24．
【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】
【例13】（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形 中，点E，F，G，H分别为边 ， ，
和 的中点，顺次连接 ， ， 和 得到四边形 ．若 ， ， ，
则四边形 的面积等于（ ）
A．36 B．32 C．24 D．20
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
首先证明出 是 的中位线，得到 ， ，同理得到 ， ，然后证明出四边形 是矩形，然后根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E，F，分别为边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线
∴ ，
同理可得， 是 的中位线
∴ ，
∵
∴
∵点G，H分别为边 和 的中点，
∴ 是 的中位线
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
又∵
∴四边形 是矩形
∴四边形 的面积等于 ．
故选：C．
1．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，点P是矩形 的对角线 上一点，过点P作 ，
分别交 ， 于E、F，连接 、 ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
作 于M，交 于N．则有四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，根据矩形的性质得到 ， ， ， ， ，从而得出
，即可求解．
【详解】解：作 于M，交 于N．
则有四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，
∴ ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形 对角线 上的一点，直线m，n经过点P
且 ，若四边形 与四边形 的面积分别是 ， ，那么四边形 与四边形
的面积之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作
于点M， 的延长线与 相交于点R，过点P作 于点N， 的延长线与 相交于点S，证明四边形 的面积 正方形 的面积 ， ，得到
，四边形 的面积 正方形 的面积 ， ，则
，则四边形 与四边形 的面积之和 矩形 和矩形 的
面积之和，即可得到答案．
【详解】解：过点P作 于点M， 的延长线与 相交于点R，过点P作 于点N，
的延长线与 相交于点S，
∵P是正方形 对角线 上的一点，
∴ ， ，
∴四边形 、 都是矩形， ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴
∵直线m，n经过点P且 ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴四边形 的面积 正方形 的面积∴ ，
同理可证， 是正方形， ，
则四边形 的面积 正方形 的面积 ， ，
∴四边形 与四边形 的面积之和 矩形 和矩形 的面积之和，即四边形 与四
边形 的面积之和
故答案为：
3．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在 中，E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点
F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出 ，从而得到 ，利用 即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得出 ，从而证明出四边形 是平行四边形，由等腰三角形的性质
得出 ，推出四边形 是矩形，由勾股定理得 ，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵E为 中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
根据勾股定理得 ，
∴矩形 的面积为 ．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ，D为边 上一动点，
E为平面上任意一点，若以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则 的长最小为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．7.2
【答案】C【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，当 是平行四边形 的对角
线，且 时， 的长最小， 和 交于M，作 于H，连接 ，由勾股定理，三角
形的面积公式求出 的长，即可解决问题．
【详解】解：当 是平行四边形 的对角线，且 时， 的长最小， 和 交于M，作
于H，连接 ，
在平行四边形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴ 长的最小值是9.6．
故选：C．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形 中， ， ，动点P从点B出发，沿
着 向点D移动，若过点P作 ，垂足分别为E、F，连接 ，则 的长最小为
（ ）A． B． C．5 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并
灵活运用．连接 、 ，依据 ， ， ，可得四边形 为矩形，借助矩形
的对角线相等，将求 的最小值转化成 的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求 斜边
上的高，利用面积法即可得解．
【详解】解：如图，连接 、 ，
， ，
．
四边形 是矩形，
．
四边形 为矩形．
．
要求 的最小值就是要求 的最小值．
点 从 点沿着 往 点移动，
当 时， 取最小值．
在 中，
， ， ，
．
，
．
的长度最小为： ．
故选：B．
3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在矩形 中，点 为 上一点， 平分，点 为 的中点， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是
解题的关键．
由矩形的性质得 ， ， ， ，又 ，则
，故有 ，同理 ，设 ， ，所以
， ，然后用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
设 ， ，
∴ ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
故选： ．
4．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，在矩形 中，对角线 相关于点 为边
上的任意一点（不与点 重合），过点 作 ，垂足分别为 ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合
思想的应用，运用面积关系是本题的关键．连接 ．由勾股定理得出 ，可求得 ，由
矩形的性质得出 ， ，由
，求得答案．
【详解】解：连接 ，如图：
∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
5．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图， 中， ， ， ，线段 长
是5，且两个端点 、 分别在边 ， 上滑动，点 、 分别是 、 的中点，求 的最小值
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接 、 ，
由勾股定理求得 ，再由直角三角形斜边上的中线性质得出 ，当 在同一
直线上时， 取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出 三点在同一直线上时， 取
最小值是解决此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
，点 、 分别是 、 的中点，， ，
当 在同一直线上时， 取最小值，
的最小值为： ，
故选： ．
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质可得 ，进而可得
为等边三角形，即得 ，据此即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ，点E在 上， ．若 平
分 ，则 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质可得 ，由角平分线和平行线的性质可证 ，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
8．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片 ， ， ，点E是
的中点．连接 ，将纸片沿直线 折叠，使点B落在点 ，连接 ，则（1） ，（2）
的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知
识成为解题的关键．
通过折叠和点E是 的中点可得 ，则 、 易得 ；
在 运用勾股定理可得 ，进而得到 ，然后在 中运用勾股定理求得
即可．
【详解】解：如图：设 与 相交于点O，∵将纸片沿直线 折叠，使点B落在点 ，连接 ，点E是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ 三内角之和为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
在 中，由 可得： ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵将纸片沿直线 折叠，使点B落在点 ，连接 ，
∴点 是点B关于直线 的对称点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中， ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图， 是 斜边 上的中线， 与 关于直线
对称．连接 ，若 ，则 ．【答案】70
【分析】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，证明 ，求出 ，推出
，推出 可得结论．
【详解】解：∵ 是 斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于直线 对称， .
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：70．
10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示是一张矩形纸片 ，已知 为边 上
的一点， ，点 在矩形 的一边上．要使 是等腰三角形，则 的底边长为 ．
【答案】 或 或5
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性
质并分三种情况进行解答．分情况讨论：①当 时，则 是等腰直角三角形，得出底边
即可；②当 时，求出 ，由勾股定理求出 ，再由勾股定理求出等边即可；③当 时，底边 ；即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
①当 时，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴底边 ；
②当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴底边 ；
③当 时，底边 ；
综上所述：等腰三角形 的对边长为 或 或 ；
故答案为： 或 或
【点睛】
11．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）已知：如图，点 为矩形 的边 上一点，连接 ，将矩形
的一部分 沿 翻折 得 ，且点 落在 的延长线上．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求折痕 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理：
（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出 ，即可得出结果；
（2）根据折叠的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：由翻折可知
∵四边形 是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴
在 中，
∵
∴
∴在 中， ．
12．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在 中，点E，F分别在边 ， 上， ，(1)求证：四边形 是矩形．
(2)连接 ，若 ， ， 平分 ，求矩形 的面积
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理含30度直角
三角形的性质等知识，灵活掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，求得 ，根据矩形的判定定理即可得到结
论；
（2）由角平分线的定义得到 ， 中，根据直角三角形的性质和勾股定理求得
， ，在 中，根据勾股定理和直角三角形的性质求出 ，得到 ，根据矩形的
面积公式即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
在 中， ， ， ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的面积 ．
13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，过矩形 的顶点C作 ，交 的延长线于点
E，矩形 的对角线 相交于点O．
(1)证明 ；
(2)若 ，求矩形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角：
（1）根据矩形的性质得到 ，证明四边形 是平行四边形，可推出 ，则由
等边对等角即可证明结论；
（2）利用矩形对角线互相平分求出 的长，进而利用勾股定理求出 的长，再根据矩形面积计算公式
求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知矩形 （ ）．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①以点 为圆心，以 的长为半径画弧交边 于点 ，连接 ， ；
②作 的平分线交 于点 ．
(2)在（1）中所作出的图形中若 ， ，求 的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作线段和角平分线，矩形的性质，勾股定理：
（1）根据要求作图即可；
（2）证明 ，得到 ，在 中，勾股定理求出 的长，设 ，
在 中，利用勾股定理求出 的值，再在 中，利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：（2）解：由作图可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ．
15．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知 和 的边 、 在同一条直线上，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)已知 ， ，连接 、 、 ，当 ___________时，四边形 是矩形．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出 ，然后由 证明 即可；
（2）由勾股定理得 ，证明 ，可得 ，当 时，
，可得 ，则四边形 是平行四边形，进而证明平行四
边形 是矩形，然后由三角形面积求出 的长即可．
【详解】（1）证明： ，
∴ ，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ， ，
，
由（1）可知， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
∴当 时， ，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形，
此时 ，，
∴当 时，四边形 是矩形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三
角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
