文档内容
微专题：对数函数的最值问题
【考点梳理】
对数函数
(1)对数函数的概念：一般地，函数y＝log x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋
a
∞).
(2)对数函数的图象和性质
0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 (0 ，＋∞ )
值域 R
过定点 (1 ， 0) ，即 x ＝ 1 时，y＝0
性质
减函数 增函数
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
【题型归纳】
题型一：求对数函数的最值
1．下列函数中最小值为8的是（ ）
A． B．
C． D．
2．记 在 时的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
题型二： 根据对数函数的最值求参数或范围
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．设 且 ，若 对 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 的最大值与最小值的差为2，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
题型三： 对数函数最值与不等式的综合问题
7．若对任意的实数 ，不等 （ ）恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
9．命题“任意x∈[1，2]， －a 0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 1 B．a 1 C．a 2 D．a 2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．已知 ，且 ，函数 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 恒为正数，则 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数 有最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
14．已知函数 ( ，且 )，若 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数f（x）= 若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1， ] B．（1，2]
C． D．[ ，+∞）
16．已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．对于函数f(x)=lg(|x-2|+1)，给出如下三个命题:①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间(-∞，2)内是减函数，在区间
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2，+∞)内是增函数;③f(x)没有最小值.其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
18．若函数 有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．若函数 （ 且 ）在区间 上的最大值比最小值多2，则 （ ）
A．2或 B．3或 C．4或 D．2或
20．已知函数 的值域为 ，若不等式 在 上恒成立，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 ，若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．若不等式 在 内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．若 的解集为 且函数 的最大值为－1，则实数a的值为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
24．若函数 （ ，且 ）在区间 上的最小值为2，则实数a的值为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C．2 D． 或2
25．已知函数 ( 且 )，则在区间 上的最大值为（ ）
A． B． 或 C．1 D． ，
【高分突破】
一、单选题
26．已知函数f(x)= (a>0，且a≠1)在[-2，-1]上的最大值不大于a，则a的取值范围是（ ）
A．(1，2) B．(0，1) C．(0，0.5) D．(1， )
27．已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．设函数 ，求 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
29．已知函数 ，且 )在区间 上的最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
30．若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
31．已知函数 则（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 在 上单调递减 B． 在 上的最大值为
C． 在 上无最小值 D． 的图象关于直线 对称
32．已知函数 是偶函数，则（ ）
A． B． 在 上是单调函数
C． 的最小值为1 D．方程 有两个不相等的实数根
33．下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数 与 表示同一个函数
C．若 ，则
D．函数 在区间 上的最大值与最小值之和为4
34．已知函数 （ 且 ）在定义域内存在最大值，且最大值为 ，
，若对任意 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．3
三、填空题
35．若函数 有最小值，则 的取值范围是______．
36．若函数 的值域为 ，则 的取值范围是__________.
37．若函数 与 对于任意 ，都有 ，则称函数 与 是区间 上的“
阶依附函数”.已知函数 与 是区间 上的“2阶依附函数”，则实数a的
取值范围是___________.
38．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为____.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．函数 ， 的最大值为______.
40．函数 的最大值是_______．
四、解答题
41．已知函数 .
（1）当 时，求 ；
（2）求解关于 的不等式 ；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围.
42．已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）记 ，
①求 的定义域 ，并求 的最大值 ；
②已知 ，试比较 与 的大小并说明理由.
43．设函数 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若令 ，求实数t的取值范围；
（3）将 表示成以 为自变量的函数，并由此求函数 的最大值与最小值及与之对应的x
的值．
44．已知函数f(x)＝a－ 是定义域为R的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[3，9]时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司45．已知 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）对任意 ，其中常数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式或反例可得正确的选项.
【详解】
对于A，取 ，则 ，最小值不为8；
对于B，因为 ，但 无解，从而此函数的最小值不为8，
对于C，取 ，则 ，此函数的最小值不为8，
对于D， ，当且仅当 时等号成立，故此函数的最小值为8，
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
画出 的图象，然后讨论 与 ， 的大小关系，利用对数函数的性质，得出 的解析式，然后求出最小值
即可．
【详解】
由已知可得 ，
画出 的图象，如下图所示，
当 即 时，由图象知， 在 上单调递减，
所以 ，
当 即 时，由图象知， 在 上单调递增，
所以 ，
当 即 时，由图象知， 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 的最大值可能为 或 ，
又 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
第 9 页综上
由对数函数的性质知 的最小值为 ．
故选:A
3．C
【解析】
【分析】
利用对数函数单调性得出函数在 时取得最小值．
【详解】
，
因为 是增函数，因此当 时， ， ，
当 时， ， ，
而 时， ，
所以 时， ．
故选：C．
4．D
【解析】
【分析】
由题设知 在 恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得 ，再根据正弦、对数函
数的区间单调性及恒成立求参数范围.
【详解】
由题设 ，即 在 恒成立，
当 时， 上 ，不满足题设，
第 10 页所以 ，此时在 上 递减， 递增，
要使不等式恒成立，则 ，即 ，
综上 .
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质可得 且 ，则 ，即可求出 的大致范围，再令
的根为 、 且 ， ， ，对 分两种情况讨论，结合二次函数、
对数函数的单调性判断即可；
【详解】
解：依题意 且 ，所以 ，解得 或 ，综上可得
，
令 的根为 、 且 ， ， ，
若 ，则 在定义域上单调递增， 在 上单调递增，在 上单调
递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，函数不
存在最小值，故舍去；
若 ，则 在定义域上单调递减， 在 上单调递增，在 上单调
递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函
数在 取得最小值，所以 ；
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
根据 解析式可得其单调性，根据x的范围，可求得 的最大值和最小值，根据题意，列出方程，即可求得a
值.
【详解】
第 11 页由题意得 在 上为单调递增函数，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性得到 ，参变分离后换元，得到 ，利用 在
上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围.
【详解】
当 时，要使得不等式 有意义，
需要 在 恒成立，可得 ，
此时不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 .令 ，则 ，且 ，
所以 .
因为 在 上单调递减，
所以，当 时， 取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数 的最小值， 的最小值即可列式求解．
【详解】
函数 在 上单调递增，则有 ，
又 在 上单调递减，则有 ，
因为 ， ，使得 ，于是得 ，解得 ，
第 12 页所以实数 的取值范围是 ．
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
根据全称命题为真命题，求出 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
∵命题“任意x∈[1，2]， －a 0”为真命题，
∴ 在[1，2]上恒成立，
此时 ，
∴a 1，
故命题“任意x∈[1，2]， －a 0”为真命题的一个充分不必要条件是a 2，
故选：C
10．A
【解析】
【分析】
令 ， ， ，即可判断函数 的奇偶性，再由 ，令 ，根据
指数型函数的性质判断 的单调性，即可得到 的最值，即可求出函数的最大值与最小值之和；
【详解】
解： ，
令 ， ， ，
由
，
可知 ，
故 函数的图象关于原点对称，
设 的最大值是 ，则 的最小值是 ，
由 ，
令 ，
当 时， 在 ， 递减，
所以 的最小值是 ， 的最大值是 ，
故 ，
第 13 页的最大值与最小值的和是 ，
当 时， 在 ， 单调递增，
所以 的最大值是 ， 的最小值是 ，
故 ，
故函数 的最大值与最小值之和为8，
综上：函数 的最大值与最小值之和为8，
故选：A．
11．A
【解析】
【分析】
分 两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.
【详解】
当 时， 是减函数， ，
则 ，解得 ；
当 时， 是增函数， ，
则 ，解得 ，又 ，所以 ；
综上 取值范围是 .
故选A
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式，分类讨论，属于中档题.
12．A
【解析】
令 ， 只存在最小值，结合已知可得 ，再由对数函数的定义域， 最小值为正数，建立
的不等量关系，求解即可.
【详解】
令 ，函数 有最小值，
，且 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数型函数和二次函数的性质，要注意对数函数的定义域，属于基础题.
13．A
【解析】
【分析】
第 14 页函数式变形后把 作为一个整体，结合二次函数的性质求解．
【详解】
由题意知 的定义域为 .
所以， ，
， 时等号成立．
故选：A.
【点睛】
本题考查求对数型函数的最值，解题方法利用整体思想（实质就是换元法）结合二次函数的性质求解．
14．A
【解析】
【分析】
令 ，得到 ，根据 恒成立，得到 ，即可求解.
【详解】
令 ，可得函数 表示开口向上的抛物线，且对称轴为 ，
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，即 ，解得 ，
即实数a的取值范围是 .
故选：A.
15．A
【解析】
【分析】
由f(2) =4运算可得 ，再由分段函数的最值结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】
因为f(2)=2m+8=4，所以 ，
所以当x≤3时， ，此时 ，
因为函数 存在最小值，所以当x>3时， 单调递增，且loga3≥2，
所以 ,解得a∈ .
故选：A.
第 15 页16．D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是 ，则根据指数函数的性质，列式求实数 的取值
范围.
【详解】
∵函数
∴当 时， 的范围是 ；当 时， ， ，
由题意 存在最小值，则 ，
解得 .
故选：D．
17．B
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义，即可判断 的奇偶性；画出 图象，数形结合即可判断函数的单调性以及最值.
【详解】
因为函数f(x)=lg(|x-2|+1)，所以函数f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函数.
由y=lg x的图象向左平移1个单位即可得到y=lg(x+1)的图象，
再将其进行翻折变换即可得到y=lg(|x|+1)的图象，
再将其图象向右平移2个单位即可得到y=lg(|x-2|+1)的图象.
数形结合，可知f(x)在区间(-∞，2)内是减函数，在区间(2，+∞)内是增函数.
由图象可知函数存在最小值为0.
所以①②正确.
故选： .
【点睛】
本题考查对数型复合函数图象的应用，涉及其单调性和最值的求解，属综合基础题.
18．B
【解析】
【分析】
由题意可得内层函数 要有最小正值，且外层函数 为减函数，可知0＜a＜1．再由二
次函数 的判别式小于0求得a的范围，取交集得答案．
第 16 页【详解】
解：令 ，要使函数 有最大值，
则内层函数 要有最小正值，且外层函数 为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数 要有最小正值，
则 ，解得 ．
综合得a的取值范围为 ．
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
分别讨论 和 ，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.
【详解】
由题意 解得 或 （舍去），
①当 时，函数 在定义域内为增函数，
则由题意得 ，
所以 即 ，解得 或 （舍去）；
②当 时，函数 在定义域内为减函数，
则由题意得 ，
所以 即 ，解得 ；
综上可得： 或 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.
20．A
【解析】
根据题意，先求得 ，把不等式 在 上恒成立，转化为 在
上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】
第 17 页由题意，函数 的值域为 ，可得函数 的最大值为 ，
当 时，函数 显然不存在最大值；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，函数 有最大
值，即 ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时函数 无最大值，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由 在 上恒成立，可得 ；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可得 ；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，可得函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
21．A
【解析】
【分析】
根据题意，转化为命题“ ， ”为真命题．利用不等式恒成立得出关于 的不等式求解.
【详解】
由题意知 且 ，命题“ ， ”为真命题，
当 时， ，易知 在 上单调递减，其最小值为 ，
则由 恒成立得 ，即 ；
当 时， 恒成立，则 ，此时函数 为增函数，
故 ，得 ．
第 18 页综上， ，
即实数 的取值范围是 ．
故选：A
22．A
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象与性质，分 和 两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解.
【详解】
当 时，由 ，可得 ，则 ，
又由 ，此时不等式 不成立，不合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
此时函数 在 上单调递增，
又由 在 上单调递增，
要使得不等式 在 内恒成立，
可得 ，解得 .
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
首先根据 的解集为 得到 ，根据函数 的最大值为－1，得到 ，再解
方程即可.
【详解】
因为 的解集为 ，所以 ，
因为 ，函数 的最大值为－1，
则 ，解得 .
故选：B
24．B
【解析】
分类讨论最值，当 时，当 时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】
第 19 页由题：函数 （ ，且 ）在区间 上的最小值为2，
当 时， 在 单调递增，
所以最小值 ，解得 ；
当 时， 在 单调递减，
所以最小值 ，解得 ，不合题意，
所以 .
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数的最值求参数的取值，需要分类讨论，关键在于熟练掌握对数函数的单调性.
25．B
【解析】
讨论 的取值范围，利用指数函数、对数函数的单调性，即可求出函数的最大值．
【详解】
解：因为 ( 且 )，即 ( 且 )，①当 时， ，函数
在 上单调递减，所以 ；②当 时， ，函数 在
上单调递增，所以 ；
所以 的最大值为 或
故选：B
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性的性质，利用函数单调性与 的关系是解决本题的关键，注意要对 进行分类讨论．
26．B
【解析】
【分析】
分类讨论，分析复合函数的单调性，明确函数的最大值，解不等式即可.
【详解】
令 ，则 ，
当 时， ，对称轴为 ，
此时， 在 上单调递减，而 单调递增，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，即 ，不适合题意；
当 时， ，对称轴为 ，
第 20 页此时， 在 上单调递减，而 单调递减，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
综上，a的取值范围是(0，1)
故选：B.
27．A
【解析】
【分析】
本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.
【详解】
解：∵对任意 ，存在 ，使得 ，
∴
∵ ，∴ ，
∵ ，∴
∴ ，解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.
28．B
【解析】
【分析】
分别求出分段函数每一段函数得最大值，然后取大者即可的解.
【详解】
解：当 时， ，
则 ，
当 时， ，
因为 ，则 ，
所以 ，
综上所述，
第 21 页故选：B
29．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性分类讨论得最大值，从而求得参数值．
【详解】
当 时， 在 上单调递增， ，
即 ，解得 ；
当 时， 在 上里调递减，即
解得 ；综上： 或 ，
故选：D．
30．A
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性，可判断 ，再由对数函数的单调性，求得 的单调性和最大值，解不等式
可得所求范围．
【详解】
解：由于 ， ，可得 ， ，
当 时 ，则 ，在 不恒成立；
故 ，
由 在 单调递增，
在 单调递减，
可得 在 单调递增，
则 的最大值为 ，
由题意可得 ，
即有 ，
解得 ，
故选： ．
【点睛】
第 22 页本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力．
31．BCD
【解析】
化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断，即
可得出结果.．
【详解】
，由 得，函数的定义域为 ；
令 ，则 ，
二次函数 开口向下，其对称轴为直线 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又函数 在 上单调递增；
由复合函数的单调性，可得 在 上单调递增，在 上单调递减；
故A错；
因为 时， ，即 ，所以 在 上的最大值为 ，无最小值；
故BC正确；
因为 ，
，即 ，
所以 的图象关于直线 对称，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】
思路点睛：
求解对数型复合函数的单调性及最值时，一般根据对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判定方法，先判断
函数单调性，再由函数单调性，即可求出最值等.
32．BD
【解析】
【分析】
根据偶函数定义求得 ，由复合函数的单调性得出 的单调性，从而可判断各选项．
【详解】
是偶函数，则 ， ， ， 恒成立，所以 ，A错；
，
由勾形函数性质知 在 时是增函数，又 在 时有 且为增函数，
所以 在 上是增函数，B正确，
第 23 页为偶函数，因此 在 上递减，所以 ，C错；
易知 时， ，即 的值域是 ，
所以 有两个不相等的实根．D正确．
故选：BD．
33．ABD
【解析】
【分析】
A.利用分数指数幂的互化公式计算；B.利用函数相等的定义判断；C.利用换底公式以及对数运算公式计算；D.利用
函数的奇偶性和函数的最值判断.
【详解】
A.根据根式与分数指数幂的运算公式可知 正确，故A正确；
B. ，根据函数相等的定义，可知 与 表示同一个函数，故B正确；
C. ，故C不正确；
D.首先设 ，函数的定义域是 ， ，所以函数 是奇函
数， 的最大值和最小值互为相反数，即 的最大值和最小值之和为0，所以 的最大值和最
小值的和为4，故D正确.
故选：ABD
34．ABC
【解析】
【分析】
先求出 ，得到 时，
再由题意得到 ，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案.
【详解】
定义域为 .
由题意知 时， ，即 .
此时 ，
时，
时， ，由 得 .
对照四个选项，可以选:ABC.
故答案为：ABC
第 24 页35．
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数 的
不等式组，由此可解出实数 的取值范围.
【详解】
当 时，外层函数 为减函数，对于内层函数 ， ，则 对任意的实数
恒成立，
由于二次函数 有最小值，此时函数 没有最小值；
当 时，外层函数 为增函数，对于内层函数 ，
函数 有最小值，若使得函数 有最小值，
则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是中档题．
36．
【解析】
【分析】
根据题意 必须取得一切正数，进而结合二次函数的图像和性质即可得到答案.
【详解】
若函数 的值域为 ，可得 取得一切正数，
于是 .
故答案为： .
37．
【解析】
【分析】
由题意得 在 上恒成立，又 ，所以 在 上恒成立，即 在
上恒成立，令 ， ，设 ，研究 的最小值即可．
第 25 页【详解】
解：因为函数 与 是区间 上的“2阶依附函数”，
所以 在 上恒成立，
又 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
，
令 ， ，设 ，易知 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
38．
【解析】
【分析】
把不等式变形为 ，分 和 情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】
解： 变形为： ，即 在 上恒成立．
令 ，
若 ，此时 在 上单调递减， ，而当 时，
，显然不合题意；
当 时，画出两个函数的图象，
第 26 页要想满足 在 上恒成立，只需 ，即 ，解得： ．
综上：实数a的取值范围是 .
故答案为：
39．-2
【解析】
【分析】
通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.
【详解】
因为 ，则 ，
由于 是减函数，所以 ，
故答案为：-2
40．2
【解析】
设 ，则 ，即求 在 上的最大值，根据对数函数的单调性可得答案.
【详解】
设 ，则 ，即求 在 上的最大值，
由 在 上是单调递增函数，
所以当 ，即 时，函数有最大值2.
故答案为：2.
41．（1） ；（2）当 时， 的解集为 ，当 时； （3）
第 27 页.
【解析】
【分析】
（1）将 直接代入解析式计算即可.
（2）将 整理为 ，解得 或 ，再对 讨论
即可解不等式.
（3）将问题转化为 ，分别分 和 讨论，求 最小值，令其大于 ，即可求解.
【详解】
（1）当 时，
（2）由 得：
或
当 时，解不等式可得： 或
当 时，解不等式可得： 或
综上所述：当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为
（3）由 得：
或
①当 时， ，
或 ，解得：
②当 时， ，
或 ，解得：
综上所述： 的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.
42．（1） ；（2）① ， ；② ，理由见解析.
【解析】
（1）根据对数的运算性质解得 ，舍去负值可得结果；
（2）将 化为 ，利用
第 28 页为增函数可得 ， ，即 .
【详解】
（1）由已知得， ， ，
∴ ， ，
∴ ，但 ，∴ .
（2）① ，由 ，得 ，∴ 的定义域 .
由于 ，
∴当 时， ，
②由 ，得 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
考虑函数 ，所以 ，
因 ， ， 都是增函数，所以 为增函数，∴ ，∵ ，
故始终有 成立.
【点睛】
关键点点睛：令 ，转化为 ，利用单调性求解是解题关键.
43．（1）6；（2） ；（3） ，此时 ； ，此时 ．
【解析】
【分析】
（1）根据题目函数的解析式，代入 计算函数值；
（2）因为 ，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围；
（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时
对应的x的值.
【详解】
（1） ；
（2） ，又 ， ， ，所以t的取值范围为 ；
第 29 页（3）由 ，
令 ， ，
当 时， ，即 ，解得 ，
所以
，此时 ；
当 时， ，即 ，
，此时 ．
【点睛】
求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
44．（1） ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性求出 的值；
（2）根据函数的单调性的定义证明函数为减函数，根据函数的单调性得到 对 ， 恒成立，
令 ，问题转化为 对 ， 恒成立，令 ， ， ，根据函数的单调性求出
的范围即可．
【详解】
（1） 函数是定义域为 的奇函数，
，解得 ．
经检验，当 时，函数 为奇函数，即所求实数 的值为 ；
（2）设 ， 且 ，
则 ，
， ， ，
，即 ，
所以 是 上的减函数，
由 ，可得 ．
第 30 页是 上的奇函数， ，
又 是 上的减函数，
所以 对 ， 恒成立，
令 ， ， ， ， ，
对 ， 恒成立，
令 ， ， ，
，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ， ．
45．（1） ；（2）当 时 ，当 时 ，当 时， .
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 ，根据二次函数的性质计算可得；
（2）由 得 ，令 ， 对一切的
恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；
【详解】
（1）因为 ， ，
令 ，
∵ ，∴ ，所以当 ，即 时取最大值 ，当 或 ，即 或
时取最小值 ，
∴函数 的值域为 .
（2）由 得 ，
令 ，∵ ，∴ ，
∴ 对一切的 恒成立，
①当 时，若 时， ；
当 时， 恒成立，即 ，
函数 在 单调递减，于是 时取最小值-2，此时 ，
于是 ；
②当 时，此时 时， 恒成立，即 ，
第 31 页∵ ，当且仅当 ，即 时取等号，即 的最小值为-3， ；
③当 时，此时 时， 恒成立，即 ，
函数 在 单调递增，于是 时取最小值 ，
此时 ，于是 .
综上可得：当 时 ，当 时 ，当 时，
第 32 页第 33 页
