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§4.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，
φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体
会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， 振幅 周期 频率 相位 初相
ω>0)，x≥0 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
微思考
1．如图所示为函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx＋φ取哪些值？
1
提示 2kπ＋π，k∈Z.
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？
提示 对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，
对称中心是点(k∈Z)．题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解
析式为y＝sin x.( × )
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( √ )
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( × )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
( √ )
题组二 教材改编
2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍得到的图象对应
的函数解析式是________．
答案 y＝sin x
解析 根据函数图象变换法则可得．
4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则
这段曲线的函数解析式为__________________________．
答案 y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
题组三 易错自纠
5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
答案
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
6．将曲线C ：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐
1
标不变，得到曲线C ，则C 的方程为( )
2 2
A．y＝2sin 4x B．y＝2sin
C．y＝2sin x D．y＝2sin
答案 A
解析 将曲线C ：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，可得 y＝2sin 2x的图象，再将各点
1
横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C ：y＝2sin 4x，故选A.
2
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2020·天津)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f 是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案 B
解析 T＝＝2π，故①正确．
当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故②错误．
y＝sin x的图象―――――――――→y＝sin的图象，故③正确．
(2)(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的
对称轴的方程是________．
答案 x＝－
解析 将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，
所得图象的函数解析式为y＝3sin＝3sin.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴的方程为x＝＋，k∈Z，
分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－，与y轴最近．
思维升华 (1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先
平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．跟踪训练1 (1)(2020·广州测试)由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案 A
解析 由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得 y＝2sin＝2sin＝2sin的图象，再把所得
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故所得图象对应的函数解
析式为y＝2sin，选A.
(2)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单
位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g的值为________．
答案 π 3
解析 由题意知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，
再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，
则T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)
的解析式
1．(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(
)
A．f(x)＝cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
答案 B
解析 由图象知π0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的
部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则 f(1)＝
________.
答案 －
解析 由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，
所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
例2 (2020·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递
减区间为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝
π，即＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin
的图象，因为g(x)为偶函数，所以＋θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．又因为－≤θ≤，
所以θ＝，所以f(x)＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
当k＝0时，得到一个单调递减区间为.
又⊆，故选B.
命题点2 函数零点(方程根)问题
例3 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范
围是____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是
__________．
答案 [－2,1)
解析 同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数模型
例4 (2020·山东省八所重点中学联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2
的圆上的动点．动点A从初始位置A 开始，按逆时针方向以角速度 2 rad/s做圆周运动，同
0
时点B从初始位置B(2,0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点
0
A，B的纵坐标分别为y，y.
1 2
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y＋y，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
1 2
解 (1)连接AB，OA，OB(图略)，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos ＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y＝sin，y＝－2sin 2t，
1 2
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t>0)，
当t∈时，2t＋∈，
所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结
合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练2 (2020·南昌模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A(0，)，C(2,0)，
并且AB∥x轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)求cos∠ACB的值．解 (1)由已知得f(0)＝2sin φ＝，又|φ|<，
所以φ＝，所以f(x)＝2sin.因为f(2)＝0，即2sin＝0，所以2ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝π－，k∈Z，而0<ω<，所以ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，令f(x)＝，
得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以x＝6k或x＝6k＋1，k∈Z.由题图可知，B(1，)．所以CA＝(－2，)，CB＝(－1，)，所以|
CA|＝，|CB|＝2，所以cos∠ACB＝＝＝.
课时精练
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
答案 A
解析 令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D项，由f ＝0，f ＝0，排除C项，故选A.
2．(2021·西安五校联考)将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2
倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x
答案 A
解析 y＝sin→y＝sin→y＝sin＝sin x.
3．若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则
φ的最小正值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应
的函数为y＝cos，且该函数为偶函数，
故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为.4．(2021·石家庄检测)若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx
的图象重合，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象对应的解析式为y＝cos＝cos，
其图象与函数y＝sin ωx＝cos，k∈Z的图象重合，
∴－＋2kπ＝－＋，k∈Z，
∴ω＝－6k＋，k∈Z，
又ω>0，
∴ω的最小值为，故选B.
5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，
给出下列函数中是“互为生成”函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x
B．f(x)＝(sin x＋cos x)
C．f(x)＝sin x
D．f(x)＝sin x＋
答案 AD
解析 f(x)＝sin x＋cos x＝sin与f(x)＝sin x＋经过平移后能够重合．
6．(多选)将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到
函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质( )
A．最大值为，图象关于直线x＝－对称
B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π
D．图象关于点成中心对称
答案 BCD
解析 将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，
得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x 的图象．
对于函数g(x)，它的最大值为 ，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于
直线x＝－对称，故A错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
它的最小正周期为＝π，故C正确；
当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．7．(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______．
答案 3
解析 由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.
∵x∈[0，π]，
∴3x＋∈，
∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3.
8．(2020·济南模拟)已知曲线C ：y＝cos x，C ：y＝sin，则为了得到曲线C ，首先要把C
1 2 1 2
上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移
________个单位长度．(本题所填数字要求为正数)
答案 2
解析 ∵曲线C ：y＝cos x＝sin
1
＝sin，
∴先将曲线C 上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
2
再把得到的曲线y＝sin向右至少平移个单位长度．
9．函数y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则
φ＝________.
答案
解析 把函数y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos(2x－π＋φ)
的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos(2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，
所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，则φ＝.
10．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递
增区间为____________________．
答案 2 (k∈Z)
解析 由图象知＝－＝，
则周期T＝π，即＝π，
则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由2×＋φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，
则f(x)＝2sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
解 (1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x)＝2sin 1 2 0 －2 0 1
画图如下：
12．(2020·黄岗中学模拟)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周
期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最
大值．
解 (1)由题意知f(x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx
＝2sin＋1，
∵周期T＝π，即＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin＋1，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
当x∈时，≤2x－≤，
∴当2x－＝，即x＝时，g(x) ＝2×1＋1＝3.
max
13.(2020·湖南衡阳高中毕业联考)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象
上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部
分图象如图所示，则( )
A．函数f(x)的最小正周期为，最大值为2
B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称
C．函数f(x)的最小正周期为，图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上单调递减
答案 D
解析 对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin(3x＋φ)，又由g
＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误．
对于选项 B，令 2x＋＝kπ(k∈Z)，所以 x＝－，k∈Z，所以函数 f(x)图象的对称中心为
(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上单调递减，所以选项D正
确．故选D.
14．将函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋的图象向左或向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数
y＝g(x)的图象，若g＝g(x)对任意实数x成立，则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
则g(x)＝2sin，
由g＝g(x)得函数g(x)的对称轴为x＝，
所以－±2a＝kπ＋，k∈Z，
所以±a＝π＋，k∈Z，
因为a>0，所以当k＝－1时，可得－a＝－，即a＝，即a的最小值为.
15．如图，将绘有函数f(x)＝sin(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的
空间距离为，则f(－1)＝________.
答案
解析 由题设并结合图形可知，
AB＝＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin＝sin ＝.
16．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可
以从高处俯瞰四周的景色(如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离
地面为10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转
动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．
摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝
Asin(ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，
记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
解 (1)由题意可知H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，B≥0)，摩天轮的最高点距离地面的高
度为90米，最低点距离地面10米，
得A＝40，B＝50.
又函数周期为30，ω＝＝，
所以H(t)＝40sin＋50(0≤t≤30)，
又t＝0时，H(t)＝10，所以10＝40sin＋50，
即sin φ＝－1，φ可取－，
所以H(t)＝40sin＋50＝－40cos t＋50(0≤t≤30)．
(2)H(t)＝－40cos t＋50＝30，cos t＝，
解得t＝5，
所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米．
(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为，游客甲，乙中间相隔5个座舱，
则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了t(5≤t≤30)分钟，则游客乙在
摩天轮上坐了t－5分钟，
所以高度差为
h＝－40cos t＋50－
＝－40
＝－40
＝－40cos，
因为5≤t≤30，所以≤t＋≤，
当t＋＝π，即t＝10时，h取得最大值40.
