考向15三角函数的图像变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 15 三角函数的图像变换 1．【2022 年新高考 1 卷】记函数 的最小正周期为 ．若 ，且 的函数图象关于点 中心对称，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 的函数图象关于点 中心对称，则有 ，且 ，所以 ，则 ；解得 ，由 得 ， ，故 ． 2． 【2022年浙江卷】为了得到 的图像，只要把函数 图像上所有点 A．向左平移 个单位长度 B． 向右平移 个单位长度 C． 向左平移 个单位长度 D． 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】函数图像平移满足左加右减， ，因此需要将函数图像向右平移 个单位长度，可以得到 的图像。故本题选D． 【点晴】 三角函数图象变换中的三个注意点:(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向； (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函 数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 3.【2022年甲卷文科第11题】将函数f 的图像向左平移 个单位长度后得到 曲线C，若C 关于y轴对称，则 的最小值是： A 【答案】C 【解析】记 为 向左平移 个单位后得到的曲线，则 = = 由 关于Y轴对称，可得： ， ，故有 ，所以 的最小值为 .选 C. 4．【2022年甲卷理科第11题】已知 区间在 上恰有三个极值点，两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，则 ，有两个零点可得 ，即 。又因为有三 个极值点， ，所以 ，所以 ，综上得 ,即选C．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 A,, 1、 的作用 y  Asinx A: （1） 称为振幅，与 一个周期中所达到的波峰波谷有关 2  y  Asinx  T T （2） ：称为频率，与 的周期 相关，即  y  Asinx （3） ：称为初相，一定程度上影响 的对称轴，零点 A,, 2、 的常规求法： （1）A： y  Asinx ① 对于 可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 y  y A max min y  Asinxb ② 对于 可通过一个周期中最大，最小值进行求解： 2 2  y  Asinx （2）  ：由 T 可得：只要确定了 的周期，即可立刻求出  ，而T 的值可根据对 称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解 y  Asinx x a,x ba b T 2ba ① 如果 相邻的两条对称轴为 ，则 y  Asinx a,0,b,0a b T 2ba ② 如果 相邻的两个对称中心为 ，则 y  Asinx x a,b,0 T 4 ba ③ 如果 相邻的对称轴与对称中心分别为 ，则 y  Asinx 注：在 中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.   （3） ：在图像或条件中不易直接看出 的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中  对 的限制范围1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非 φ个单位长度． 1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为. A, 2.求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于 与函数性质联系 非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T ，进而求出  ，   最后再通过代入一个特殊点，并根据 的范围确定 .   3.求 时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的 值唯一，不会出现多解的情况. 如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题. 1.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[，]上单调递减，则ω的取值范围是( ) A．[0，] B．[0，] C．[，3] D．[，3] 【答案】D 【解析】令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在[，]上单调递减，所以得：6k＋≤ω≤4k＋3. 又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3，故选D. 2．已知函数 经过 点，且 在 上只有一个零点 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为 经过 点，所以 ，因为 ，所以 ， 即 ，令 ， 因为 ，所以 ， 因为 在 上只有一个零点 ， 所以有 ，所以 的最大值为 ， 故选：C 3．若函数 的图象由函数 的图象经过以下变换得到的， 则该变换为（ ） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】由题意，函数 ， 所以函数 向右平移 个单位长度，即可得到 . 故选：D. 4．已知三角函数 ﹐（ 且 ）的部分图像如图所示，则（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】最小正周期为 ， ， ，又 ，所以 ， ， ． 故选：B． 5．已知直线 是函数 的图像的一条对称轴，为了得到函数 的图像， 可把函数 的图像（ ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】B 【解析】依题意，直线 是函数 的图像的一条对称轴， 则 ，即 ， 解得 ，因为 ，所以 ， 所以函数 ． 将 的图像， 向右平移 个单位长度得 ． 故选：B．6．已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得 到函数 的部分图象如图所示，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知 ， ，解得： , 函数 的图象向左平移 个单位长度，得 当 时， ，且 ， 得 所以 ， . 故选：A 7．函数 的部分图像如图所示，现将 的图像向左平移 个单 位长度，得到函数 的图像，则 的表达式可以为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图像可知： ， ； 又 ， ，又 ， ， ，由五点作图法可知： ，解得： ， ； . 故选：B. 8.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]∪[，＋∞) 【解析】显然ω≠0.若ω>0，当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2， 所以－ω≤－，解得ω≥.若ω<0，当x∈[－，]时，ω≤ωx≤－ω， 由题意知ω≤－，即ω≤－2.所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪[，＋∞)．1．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在 上的函数 ， 若 的最大值为 ，则 的取值最多有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】若 的最大值为 ，分两种情况讨论： ①当 ，即 时，根据正弦函数的单调性可知， ，解得 ； ②当 ，即 时，根据正弦函数的单调性可知， 在 上单调递增，所以 ，结合函数 与 在 上的图像可知，存在唯一的 ，使得 . 综上可知，若 的最大值为 ，则 的取值最多有2个. 故选：A．2．（2022·上海松江·二模）设函数 图像的一条对称轴方程为 ，若 、 是 函数 的两个不同的零点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知 ，则 ， 因为 ，所以 所以 易知 的最小值为 . 故选：B π 3．将函数 f(x)2sin(x )(0)的图象向左平移  个单位，得到函数 的图象，若 在 3 3 yg(x) yg(x) π [0, ]上为增函数，则 最大值为（ ） 4  5 A． B． C． D． 2 3 4 2 【答案】A   π π π π 【解析】依题意，g(x)2sin[(x ) ]2sinx，由 x ， 得： x ，于是 3 3 2 2 0 2 2π π π π π π 得 的一个单调递增区间是[ , ]，因 在[0, ]上为增函数，因此，[0, ][ , ]， yg(x) 2 2 yg(x) 4 4 2 2 π π 即有  ，解得 ，即 最大值为 ． 2 4 02  2 故选：A. 4．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 的一个对称中心为 ， 在区间 上不单调，则 的最小正整数值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由函数 的一个对称中心为 ， 可得 ， 所以 ， ， ， ， ，由 在区间 上不单调， 所以 在区间 上有解， 所以 ，在区间 上有解， 所以 ，所以 ， ， 又 ，所以 ，所以 ，当 时， ，此时 的最小正整数为 . 故选：B 5．已知函数 的部分图象如图所示．将函数 的图象向左平移 个单位得 到 的图象，则（ ） A． ） B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象知， ，∵ ， ∴ ，又 ，∴ ，∴ ， ∵将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象， ∴ ，故选：D． 6．（2022·青海·模拟预测（理））若 ， 分别是函数 的零点和极 值点，且在区间 上，函数 存在唯一的极大值点 ，使得 ，则下列数值中， 的 可能取值是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数 的最小正周期为T,由题意得 则 其中 在区间 上， 函数 存在唯一的极大值点 ，使得 ， 所以 解得 即 解得 对于D.若 ，则 由 且 可知 可使 成立， 当 时 当 或 时， 都成立， 故不符合； 对于C. 若 ，则 ， 且 可知 可使 成立，当 时 ，当 时，存在唯一的极大值点 ，使得 ，故符合条件； 对于B. 若 ，则 由 且 可知可使 成立，当 时 ， 当 或 时， 都成立，故不符合； 对于A. 若 ，则 由 且 可知 可使 成立，当 时， ， 当 或 时， 都成立，故不符合； 故选：C 7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））将函数 的图象向右平移 个单位长 度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，则当 时，函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将 的图象向右平移 个单位长度得： 的图象， 再将图象上各点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变）得： 的图象， 因为 ，所以 ，所以 ．所以函数 的值域为 ．故选：D 8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数 ，若函 数f(x)在 上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 ， 由函数f(x)在 上单调递减，且 ， 得 ， ，解 ， . 又因为ω>0， ，所以k＝0，所以实数ω的取值范围是 . 故选：B 9．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数 ，若 时， 的最小值为 ，则（ ） A．函数 的周期为 B．将函数 的图像向左平移 个单位，得到的函数为奇函数C．当 ， 的值域为 D．函数 在区间 上的零点个数共有6个 【答案】D 【解析】由题意，得 ，所以 ，则 ，所以 选项A不正确； 对于选项B：将函数 的图像向左平移 个单位，得到的函数是 为偶函数，所以选项B错误； 对于选项C：当时 ，则 ，所以 的值域为 ，选项C不正确； 对于选项D：令 ，所以当 时， ，所以函数 在 区间 上的零点个数共有6个，D正确， 故选：D. 10．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数 (其中 )图象的一 个对称中心为 ，其相邻一条对称轴方程为 ，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到 的图象，则只要将f（x）的图象（ ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【答案】D 【解析】函数 图象的一个对称中心为 ，其相邻一条对称轴方程为 ，所以 ，所以 . 因为函数 在 时取得最小值，所以 ， ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ 根据平移变换规律可知， 向左平移 个单位，可得函数 ， 所以 向左平移 个单位可得 的图象， 故选：D. 二、多选题 11．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ） A． 是奇函数 B． 的最小正周期是π C． 的一个对称中心是 D． 的一个递增区间是 【答案】BD 【解析】B． 的最小正周期是 ，B正确； A．由于 的图象关于直线 对称，且最小正周期是 ，因此 的图象也关于直线 对称，故 是偶函数，A错误； C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则 或 ，根据 可得解析式为 前者． 的对称中心为 ， ，C错误；D．由于 ， 在 单调递增，D正确． 故选：BD. 12．（2022·全国·模拟预测）函数 的部分图像如图所示，则（ ） A． B． C．函数 在 上单调递增 D．函数 图像的对称轴方程为 【答案】AD 【解析】由图像知函数的周期 ，解得： ，所以A对； 由五点对应法得 ，因为 ，所以 ，所以B错误，所以 ． 当 时，函数 单调递减.取 ，得 的一个单调递减区间为 ，所以C错，函数 图像的对称轴方程为 ，即 ，所以D对． 故选：AD 三、填空题 13．（2022·上海闵行·二模）若函数 的图像向右平移 个单位后是一个奇函数的图像，则 正数 的最小值为___________； 【答案】 【解析】 ，向右平移 个单位后解析式为 ， 则要想使得 为奇函数，只需 ， 解得： ， 因为 ，所以 ， ，解得： ， ， 当 时，正数 取得最小值，所以 . 故答案为： 14．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数 ，其中 ， ， 恒成立，且 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是______________． 【答案】 【解析】由已知得： 恒成立，则 ， ， 由 得 ，由于 在区间 上恰有3个零点， 故 ，则 ， ， 则 , 只有当 时，不等式组有解，此时 ，故 ， 故答案为： 1.（2021·全国·高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的 图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，根据已知得到了函数 的图象，所以 ， 令 ,则 , 所以 ,所以 ； 解法二：由已知的函数 逆向变换， 第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象， 即为 的图象，所以 . 故选：B.   2.（2017·山东·高考真题（理））设函数 f(x)sin(x )sin(x )，其中 .已知 . 6 2 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平 移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) . 【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知 及 可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得从而 . 根据 得到 ，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ， 所以 由题设知 ，所以 ， .故 ， ，又 ，所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以 . 因为 ，所以 ，当 ，即 时， 取得最小值 . 3.（2018·天津·高考真题（理））将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函 数 A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减 C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减 【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知： 将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为： .则函数的单调递增区间满足： ， 即 ， 令 可得一个单调递增区间为： .函数的单调递减区间满足： ， 即 ， 令 可得一个单调递减区间为： ，本题选择A选项. 4.（2019·天津·高考真题（文））已知函数 是奇函数，将 的 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正 周期为 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 为奇函数，∴ ； 又 ， ，又 ∴ ， 故选C． 5（2020·天津·高考真题）已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； ② 是 的最大值； ③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B【解析】因为 ，所以周期 ，故①正确； ，故②不正确； 将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象， 故③正确.故选：B. 6.【多选题】（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A, 不妨令 , 当 时， ， 解得： ， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 7.（2021·全国·高考真题（理））已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为________．【答案】2 【解析】由图可知 ，即 ，所以 ； 由五点法可得 ，即 ； 所以 . 因为 ， ； 所以由 可得 或 ； 因为 ，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ， 解得 ，令 ，可得 ， 可得 的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最 小正整数为2. 故答案为：2. 8.（2021·全国·高考真题（文））已知函数 的部分图像如图所示，则 _________.【答案】 【解析】由题意可得： ， 当 时， ， 令 可得： ， 据此有： . 故答案为： . 【规律方法】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，B＝ . (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝ . (3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间 上)或把图象的最高点或最低点代入．