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专题 07 幂的运算与整式的乘法之七大题型
判断幂的运算、整式运算正确
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方以及整式的乘除运算法则进行判断即可．
【详解】解：A、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故此选项计算正确，符合题意；
C、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的相关运算以及整式的乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关
键．
【变式训练】
1．（2023下·四川达州·七年级校考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别运用同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法运算即可．【详解】解：A、 ，所以此选项错误；
B、 ，不能运算，所以此选项错误；
C、 ，所以此选项错误；
D、 ，所以此选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法运算，掌握运
算法则是解题的关键．
2．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方运算法则，即可判断A；根据合并同类项法则，即可判断B；根据单项式乘
以单项式运算法则，即可判断C；根据多项式除以单项式的运算法则，即可判断D．
【详解】解：A、 ，故A不正确，不符合题意；
B、 ，不是同类项，不能合并，故B不正确，不符合题意；
C、 ，故C不正确，不符合题意；
D、 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则和运算
顺序．
幂的运算
例题：（2023下·山东青岛·七年级统考期末）计算 ．【答案】 /
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023下·广东揭阳·七年级统考期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键．
2．（2023下·湖南永州·七年级统考期末）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出 ，再根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方
的逆运算法则进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算，灵活运用所
学知识是解题的关键．
整式的四则混合运算
例题：（2023下·山东青岛·七年级统考期末）计算：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据实数的乘方、零指数幂和负指数幂运算法则进行化简求值即可．
（2）根据单项式的乘法与同底数幂的运算法则进行运算即可．
（3）根据整式的混合运算与积的乘方运算法则进行运算即可．
【详解】（1）
（2）（3）
【点睛】本题考查了实数与整式的混合运算，涉及乘方、零指数幂、负指数幂、积的乘方等知识点，
解题的关键是熟知相关的运算法则．
【变式训练】
1．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可；
（2）首先计算积的乘方，单项式乘以多项式，然后计算加减．
【详解】（1）
；
（2） ．
【点睛】此题考查了多项式除以单项式的运算，积的乘方，单项式乘以多项式，解题的关键是熟练
掌握以上运算法则．
2．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期末）计算：
(1) (2) ．
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】（1）根据积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算先计算，再利用合并同类
项计算即可得到答案；
（2）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则分别计算后，利用整式加减运算法则求
解即可得到答案；
（3）根据乘方运算、零指数幂运算及绝对值运算先求解，再由有理数加减运算法则计算即可得到
答案；
（4）根据积的乘方运算、单项式乘以单项式及单项式除以单项式分别计算后，利用合并同类项计
算即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题考查实数混合运算及整式加减乘除四则运算，熟记相关公式及运算法则是解决问题的
关键．
已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）若 的展开式中不含 项，则n的值
为 ．
【答案】
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开，再根据不含 项，令系数为0，即可得出答案．
【详解】解：的展开式中不含 项，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，关键是熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）若 的展开式中不含 项、
项（ 为常数），则 ．
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可．
【详解】解：
∵展开式中不含 项， 项，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若 的积中不含 项与
项．则代数式 的值为 ．
【答案】 /0.5【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后根据题意可得 ， ，从而可
得m，n的值，最后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
的积中不含 项与 项，
， ，
， ，
，
代数式 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
多项式乘多项式——化简求值
例题：（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）先化简，再求值： ，其中， ．
【答案】
【分析】先算多项式乘多项式，再合并同类项，接着算整式的除法，最后把相应的值代入运算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
将 ， 代入，
原式 ，
，
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算以及化简求值，解答的关键在于掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2023下·广东揭阳·七年级统考期末）先化简再求值： ，
其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键．
2．（2023下·北京昌平·七年级统考期末）先化简，再求值： ，其
中 ．
【答案】 ，原式
【分析】先利用多项式乘以多项式，积的乘方，多项式除以单项式法则化简，再合并同类项，然后
将 的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，能够熟练运用多项式乘以多项式，积的乘方公式，多项
式除以单项式法则是解答此题的关键．
多项式乘多项式与图形面积
例题：（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图，有一块长为 米，宽为 米的长方
形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？
并求出当 ， 时的绿化面积．
【答案】 平方米，124平方米【分析】长方形的面积等于： ，中间部分面积等于： ，阴影部分面积等于
长方形面积﹣中间部分面积，化简出结果后，把a、b的值代入计算．
【详解】解：
（平方米），
当 ， 时，
原式
（平方米）．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式训练】
1．（2023上·江西上饶·八年级校联考期末）如图，某小区有一块长为 米，宽为 米
的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地
块将铺设草坪．
(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）
(2)若 ，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
【答案】(1) 平方米
(2) 元
【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入 求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
【详解】（1）解：
平方米，∴铺设的草坪的面积为 平方米；
（2）解：当 时， 平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为 元．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项
式的计算法则是解题的关键．
2．（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为 ，宽为
的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有
宽度为b的人行通道．
(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
(3)当 ， 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据长方形的面积列式并计算即可；
（2）根据“长为 ，宽为 的长方形空地，两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行
通道”列式计算即可；
（3）把 ， 代入（2）中得到结果计算即可．
【详解】（1）解： ，
答：该长方形空地的面积为 ．
（2） ．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为 ．
（3）当 ， 时，这两个长方形喷泉池的总面积为．
即这两个长方形喷泉池的总面积为 ．
【点睛】此题考查了列代数式、多项式乘法的应用、代数式的值等知识，根据题意正确列出代数式
是解题的关键．
多项式乘积中的规律性问题
例题：（2023上·重庆永川·八年级统考期末）根据多项式乘法法则可得： ；
； ；……．而早在宋朝，数学家
杨辉就用下面的图形来揭示 的系数规律，这个图形被称为“杨辉三角形”．请根据杨辉三
角形及前面的几个等式直接写出：计算 的结果中，字母部分为 的项的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据“杨辉三角形”，计算出 ，即可确定字母部分为 的项的系数．
【详解】解：根据“杨辉三角形”，可知 ，
∴字母部分为 的项的系数为10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，规律型，理解“杨辉三角”中系数的规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·甘肃酒泉·七年级统考期末）观察下列各式……
(1)根据以上规律，则 ______
(2)若 ，则 ______
(3)能否由此归纳出一般性规律： ______
(4)由（3）直接写出结果： ______
(5)根据（3）求： 的结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据题目中给出的式子总结规律，得出答案即可；
（2）根据题目中给出的规律得出 ，即可得出答案；
（3）根据规律得出结果即可；
（4）由 ，根据题目中给出的规律得出结果即可；
（4）用题目中提供的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据以上规律，可得 ，
故答案为： ；（2）解：根据以上规律，可得：若 ，则 ，
故答案为： ；
（3）解：由所给算式可得规律为： ，
故答案为： ；
（4）解：∵ ，
∴原式
；
故答案为： ；
（5）解：根据以上规律可得：
．
【点睛】本题主要考查了规律探究，解题的关键是根据题干得出一般规律
．
一、单选题
1．（2023下·山东东营·六年级统考期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C．m D．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握 ．
2．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法进行计算即可．
【详解】解：A. ，故A选项运算错误；
B. ，故B选项运算错误；
C. ，故C选项运算错误；
D. ，故D选项运算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握以上运
算法则是解题的关键．
3．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）若 的积中 系数为 ，x的系数7，则a、
b的值为（ ）．
A．1、1 B． 、2 C．1、 D． 、1
【答案】B
【分析】先化简 ，根据 系数为 ，x的系数7，得出，求出a、b的值即可．
【详解】解： ，
∵若 的积中 系数为 ，x的系数7，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法运算法则．
4．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）下列计算中，正确的个数有（
）
（1） （2）
（3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据整式的混合运算法则，逐个进行计算，即可得出结论．
【详解】解：（1） ，故（1）正确，符合题意；
（2） ，故（2）不正确，不符合题意；
（3） ，故（3）不正确，不符合题意；
（4） ，故（4）不正确，不符合题意；
综上：正确的有（1），共1个，
故选：A．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘以（除以）单项式，多
项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算法则．
5．（2023下·广东深圳·七年级统考期末）【观察】① ；
② ；
③ ；
……
【归纳】由此可得： ；
【应用】请运用上面的结论，计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据所给规律求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了多形式与多项式的乘法的规律问题，灵活运用规律求解是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据同底数幂相除，幂的乘方的逆运用计算，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了同底数幂相除，幂的乘方的逆运用，熟练掌握同底数幂相除，幂的乘方的
逆运用是解题的关键．
7．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关
键．
8．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）某学校要新建一座教学实验楼，量得地基为长方形，长
为 ，宽为 ，当 时，地基的面积是 平方米．
【答案】
【分析】根据题意列代数式，化简后代入字母的值即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
当 时，
原式
故答案为：
【点睛】此题考查了整式化简求值的应用，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．9．（2023上·河南漯河·八年级校考期末）若 ，则以m、n为边长的等腰
三角形的周长为 ．
【答案】12
【分析】先计算多项式乘多项式，利用恒等式，对应项相同，求出 的值，再根据等腰三角形的
定义，进行求解即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
当 为腰时， ，不能构成三角形，不符合题意；
∴ 是腰长，
∴等腰三角形的周长为 ；
故答案为：12．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，等腰三角形的定义．解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的
法则，正确的计算．
10．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）用如图1所示的 张长为 ，宽为 （ ）的小长方
形纸片，按图 的方式不重叠地放在矩形 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．
设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 ，当 的长度发生变化时，按照同样的放置方式，
始终保持不变．则 ， 之间满足的关系式为 ．
【答案】 /
【分析】设左上角阴影部分的长为 ，宽为 ，右下角阴影部分的长为 ，宽为 ，列式
表示阴影部分面积之差，可得 变化， 不变，则 与 无关，则 ，即 ．
【详解】设左上角阴影部分的长为 ，宽为 ，
则右下角阴影部分的长为 ，宽为 ，
阴影部分面积之差，
变化， 不变，则 与 无关，
则 ，即 .
故答案为：
【点睛】本题考查了阴影部分的问题，掌握矩形面积公式、整式的运算法则是解题的关键．
三、解答题
11．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项即可；
（2）利用多项式乘多项式法则计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【点睛】本题考查积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式等知识点，解题的关键是熟练掌握
各项运算法则并正确计算．
12．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算单项式的乘除法；
（2）利用多项式乘多项式法则计算，再合并．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2） ，
，
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解决本题的关键．
13．（2023下·山东东营·六年级统考期末）（1）已知a、b满足代数式： ．求代
数式 的值．
（2）关于x的代数式 化简后，不含 项和常数项，求a，b的值．
【答案】（1） ；56（2）【分析】（1）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a，b的值代入化简后的
式子进行计算，即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后根据题意可得 ， ，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
原式 ；
（2）
，
∵化简后不含 项和常数项，
∴ 且 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，绝对值和偶次方的非负性，平方差公式，准确熟
练地进行计算是解题的关键．
14．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）已知 ．
(1)求A和B；
(2)若y满足 ，请用含x的代数式表示y；
(3)在（2）的条件下，当 时，求 的值．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）利用多项式除以单项式法则得到A，利用单项式乘以多项式法则即可得到B；
（2）把（1）中求得的A和B代入 即可得到答案；
（3）把 代入（2）中关系式得 求得 ，再整体代入即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
；
（2）由 ，得到
；
（3）把 代入（2）中关系式得 ，
解得 ．
原式 ．
【点睛】此题考查了整式的乘法和除法，代数式的求值，熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式
乘以多项式法则、整体代入是解题的关键．
15．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）甲、乙两个长方形，其边长如图所示（ ），其面
积分别为 ， ．
(1)用含m的代数式表示： ______， ______；（结果化为最简形式）
(2)用“＜”、“＞”或“=”填空： ______ ；(3)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为 ，试探究：
与 的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3)是，
【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可；
（2）利用求差法可比较两个式子大小；
（3）先求出正方形的边长，得到大正方形面积，再结合（1）列出相应的式子，进行运算即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）∵ ，
∴
故答案为： ；
（3）解：大正方形的边长为： ，
大正方形面积为： ，
，
．
答： 与 的差为定值，值为10．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是
解题的关键．
16．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）阅读材料：我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，则 ．
“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，
尝试应用整体思想解决下列问题：
(1)把 看成一个整体，合并 ；
(2)已知 ，求 的值；
(3)已知 ， ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 提出了进行计算即可得；
（2） ，把 代入进行计算即可得；
（3） ，把 ， ，
代入进行计算即可得．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ，
把 代入得，原式 ．
（3）解：
把 ， ， 代入得，
原式 ．
【点睛】本题考查了多项式的变形和整体代入的思想，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
