文档内容
微专题：三角函数的周期性
【考点梳理】
1. 周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝
f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2. 关于周期性的常用结论
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一. 例如，2π，4π，6π，…以及－
2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期. 同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R).
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(3)周期函数的定义域是无限集.
(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质. 因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周
期内的性质.
3. 正、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其半周期；图
象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值的点与其相邻的零点距离
为周期.
4.求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义；②利用公式 y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周
期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为；③对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的
形式再求周期；④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定.
【题型归纳】
题型一：求三角函数的周期
1．已知函数 ，则 的（ ）
A．最小正周期为 ，最小值为 B．最小正周期为 ，最小值为
C．最小正周期为 ，最小值为 D．最小正周期为 ，最小值为
2．下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．将函数 图象上所有点向左平移 个单位后，得到函数 的图象，则函数 （ ）
A．是奇函数，最小正周期为
B．是偶函数，最小正周期为
C．是奇函数，最小正周期为
D．是偶函数，最小正周期为
题型二：根据三角函数的周期求参数
4．已知函数 的最小正周期为π， 图象的一个对称中心为 ，则
=（ ）
A． B． C． D．
5．已知奇函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位得到函
数 的图象，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
6．若函数 图象的两个相邻最高点间的距离为 ，则 在下列区间中单调递增的区间是
（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
7．下列函数中，既是奇函数又以 为最小正周期的函数是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
8．函数 的最小正周期和最大值分别为（ ）．
A． ，1 B． ， C． ， D． ，
9．函数 是一个（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
10．定义在 上的函数 ， 既是偶函数又是周期函数.若 的最小正周期是 ，且当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，下面结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上是增函数
C．函数 的图像关于直线 对称
D．函数 是偶函数
12．已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向左平移 个单位长
度后得到函数 的图象，则函数 在区间 上的值域为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
13．函数 的最小正周期是 ，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．2或
14．已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B．函数 的最小正周期为
C．曲线 关于 对称 D．
15．函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
16．设函数 （其中 ）的大致图象如图所示，则 的最小正周期为
（ ）
A． B． C．2 D．4
17．在① ，② ，③ ，④ 中，最小正周期为 的所有函数为
（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．设函数 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的值域为 B． 是偶函数
C． 不是周期函数 D． 不是单调函数
19．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C． 的最大值为 D． 的图象关于直线 对称
20．函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
21．将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，
纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数 ( ， ， )，满足 且对于任意的 都有
，若 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
23．设函数 ，则下列结论正确的是
A． 的一个周期为 B． 的图象关于直线对称
C． 的一个零点是 D． 在 单调递增
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．函数 ，则 的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
25．若点 是函数 的图象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴
的距离的最小值为 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的值域为
C． 的初相 D． 在 上单调递增
【高分突破】
一、单选题
26．函数 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
27．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
28．在下列函数中，同时满足：①在 上单调递增；②最小正周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
29．设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
30．关于函数 描述正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是
C．一条对称轴是 D．一个对称中心是
31．直线 与函数 的图像相交，则相邻两交点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图
是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.
经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足 ，
则下列叙述正确的是（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．
B．当 时，函数 单调递增
C．当 时，点 到 轴的距离的最大值为
D．当 时，
33．已知函数 在 上是单调函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．当 时， 的取值范围是
B．当 时， 的取值范围是
C．当 时， 的取值范围是
D．当 时， 的取值范围是
34．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 的最小正周期是 ，则
B．当 时， 的对称中心的坐标为
C．当 时，
D．若 在区间 上单调递增，则
35．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的定义域为
C． 的图象的对称中心为
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D． 在区间 上单调递增
三、填空题
36．关于函数 有如下四个命题：
① 的最小正周期为2；
② 的图象关于点 对称；
③若 ，则 的最小值为 ；
④ 的图象与曲线 共有4个交点．
其中所有真命题的序号是__________．
37．已知函数 ，给出下列四个结论：
① 的值域是 ；
② 是以 为最小正周期的周期函数；
③ 在 上有 个零点；
➃ 在区间 上单调递增．
其中所有正确结论的编号是___________．
38．设 ，则 ______.
39．函数 的部分图象如图所示，给出以下结论：
① 的最小正周期为2；
② 的一条对称轴为 ；
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③ 在 ， 上单调递减；
④ 的最大值为 ；
则错误的结论为________.
40．已知 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 ：___________.
①定义域为R；② ；③ ；④ .
41．函数 的最小正周期 满足 ，则自然数 的值为_______．
四、解答题
42．若定义域为 的函数 满足：对于任意 ，都有 ，则称函数
具有性质 ．
（1）设函数 ， 的表达式分别为 ， ，判断函数 与 是
否具有性质 ，说明理由；
（2）设函数 的表达式为 ，是否存在 以及 ，使得函数
具有性质 ？若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数 具有性质 ，且在 上的值域恰为 ；以 为周期的函数 的表达
式为 ，且在开区间 上有且仅有一个零点，求证： ．
43．已知函数
(1)求函数 的最小正周期及对称轴；
(2)若 ，求函数 的值域．
44．在①函数 为偶函数；② ；③ ， 这三个条件中任选一个，补充在下面
的横线上，并解答．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司已知函数 的图象与直线 的两个相邻交点间的距离为 ，且______．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在 上的增区间．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
45．已知函数 ，求：
（1） 的最小正周期；
（2） 的单调递增区间；
（3） 取最大值时自变量x的集合.
46．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 且 ，求 的值．
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值.
【详解】
因为 ，
所以最小正周期为 ,最小值为 .
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
利用最小正周期为 排除选项AC；利用在区间 上单调递减排除选项D；选项B以 为最小正周期，且在区
间 上单调递减，判断正确.
【详解】
选项A： 最小正周期为 .判断错误；
选项B： 最小正周期为 ，且在区间 上单调递减.判断正确；
选项C： 最小正周期为 .判断错误；
选项D： 在区间 上单调递增. 判断错误.
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
根据平移得出 即可判断奇偶性和最小正周期.
【详解】
向左平移 个单位后得 ，
所以 为奇函数，最小正周期为 .
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
第 12 页利用二倍角公式公式将函数化简，根据函数的周期求出 ，再根据函数的对称性求出 .
【详解】
解：因为 ，所以 ，得 .
因为 图象的一个对称中心为 ，所以 ，所以
，得 ，
因为 ，所以 ， .
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
先由奇函数及周期求得 ，再由平移求得 ，再利用正弦函数的对称性求解即可.
【详解】
因为 是奇函数，则 ，又 ，则 ，又因为最小正周期 ， ，则
，
则 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ， 时， ， 时， ，即函数 关于点
对称，A正确，B错误；
令 ，解得 ，当 时， ， 时， ，C错误，D错误.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
首先根据题意得到 ，再求其单调增区间即可.
【详解】
因为 图象的两个相邻最高点间的距离为 ，
所以 ，解得 ， .
第 13 页， 解得 ， .
当 ， .
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.
【详解】
解：A选项： 是周期为 的偶函数，故A不正确；
B选项： 是周期为 的奇函数，故B正确；
C选项： ，周期为 且非奇非偶函数，故C不正确；
D选项： 是周期为 的奇函数，故D不正确.
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
利用和角的正弦、余弦公式化简，再利用三角函数的性质即可得解.
【详解】
依题意， ，则 ， ，
当 ，即 时， ， ，
所以原函数的最小正周期和最大值分别为 ， .
故选：D
9．A
【解析】
【分析】
根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
因为 ，所以函数 的最小正周期为 ；
因为 ，所以函数 是奇函数，
所以函数 是一个周期为 的奇函数.
故选：A.
10．B
第 14 页【解析】
【分析】
将函数值利用周期性和奇偶性变形为 ，然后结合函数解析式求解出结果.
【详解】
因为 的最小正周期是 ，所以 ，
又因为 是偶函数，所以 ，
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
先化简函数得 ，然后逐个分析判断即可
【详解】
解： ，
对于A， 的最小正周期为 ，所以A正确；
对于B， 在区间 上是减函数，所以B错误；
对于C，因为 ，所以 的图像关于直线 对称，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 是偶函数，所以D正确，
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
根据最小正周期为 可得 ，再根据三角函数图象平移的性质可得 ，结合三角函数图象的性质即可得
值域
【详解】
因为 的最小正周期为 ，所以 ．将 的图象
向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，当 ，
，所以 的值域为 ．
故选：C
13．D
第 15 页【解析】
【分析】
利用 求出答案即可.
【详解】
的最小正周期是 ，
所以 ，解得 .
故选：D
14．C
【解析】
根据二倍角公式及诱导公式可得 ，结合正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
函数 ，
由于 ，即 是奇函数，故A错误；
的最小正周期为 ，故B错误；
由于 为最值，即曲线 关于 对称，故C正确；
由于 ， ， ，故D错误；
故选：C.
15．A
【解析】
【分析】
化简可得 ，根据奇偶性的定义，可判断 的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案.
【详解】
由题意得 ，
所以 ，故 为奇函数，
周期 ，
故选：A
16．C
【解析】
【分析】
第 16 页根据图象求得 ，从而求得 的最小正周期.
【详解】
由图象可知函数的最低点的纵坐标为-2，所以A=2，函数的图象与 轴的交点的坐标为（0，1），所以
，根据单调性可得： ，所以 .
又函数的图象与 轴的正半轴的第一个交点的坐标为 ，所以 ，
则根据单调性可得 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 的最小正周期为 .
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期以及周期公式即可解出．
【详解】
最小正周期为 的所有函数为②③，函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ．
故选：C．
18．C
【解析】
【分析】
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数 ， ，所以函数的值域为 ， ，A正确．
因为 ，所以函数是偶函数，B正确．
因为 ，所以函数是周期函数，C不正确．
因为 ，不具有单调性，D正确．
故选：C．
19．D
【解析】
【分析】
利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结
论.
【详解】
解：
对于 选项，因为 ，故 不正确；
第 17 页对于 选项，因为 ，故 不正确；
对于 选项，因为当 时， ，故 不正确；
对于 选项，因为 ，是 的最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故 正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
20．C
【解析】
【分析】
先由诱导公式化简函数解析式，根据最小正周期公式求函数的最小正周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇
偶性.
【详解】
函数 , 其最小正周期为
由 ，可得函数为奇函数.
故选：C
21．A
【解析】
根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出 的范围，再利用余弦函数
的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数 的图象先向右平移 个单位长度，
可得 的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，
得到函数 的图象，
∴周期 ，
若函数 在 上没有零点，
第 18 页∴ ，
∴ ，
，解得 ，
又 ，解得 ，
当k=0时，解 ，
当k=-1时， ，可得 ，
.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解
可得，属于较难题.
22．C
【解析】
由函数的对称性可得 、 ，两式相减进一步化简可得 ，
根据正弦型函数的单调性得 ，代入周期计算公式可得 ，取 验证函数 的
单调性即可.
【详解】
由于 ，则 关于 对称，即 是函数 的一条对称轴，
，①
，②
①-②得 ，
令 ， ，则 ， ，
， ， 的最小正周期 ，
在 上单调， ，
第 19 页，解得 ，
当 时， ，则②式为 ， ，
又 ， ，此时 ，
当 时， ，
在 上不单调，不符合题意舍去；
当 时， ，则②式为 ， ，
又 ， 当 时， ，此时 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ，此时 ，
当 时， ， 单调递减.
的最大值为9.
故选：C
【点睛】
解决三角函数中已知单调区间求参数 范围时，首先要有已知的单调区间是函数 单调区间的子
集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个
周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
23．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据 的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间 的长
度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为 ，所以选项A错误；
因为 ，所以选项B正确；
因为 ，所以选项C错误；
第 20 页的最小正周期为 ，在 内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
24．B
【解析】
【分析】
化简已知得 ，即得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
解： 函数
则 的最小正周期为 ，最大值为 .
故选：B
25．D
【解析】
【分析】
根据函数 的性质求出 ，再根据 得到函数的最小正周期、值域、单调性、初相，从
而可得答案.
【详解】
由题意得 ，且函数的最小正周期为 ，
故 .代入 ，得 ，
又 ，所以 .
所以 .
故函数 的值域为 ，初相为 .故A，B，C不正确，
当 时， ，而 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故
正确.
故选：D.
【点睛】
第 21 页本题考查了由函数的性质求正弦型函数解析式中的参数，考查了正弦型函数的周期、值域、单调性，属于中档题.
26．C
【解析】
【分析】
求出最小正周期可得．
【详解】
函数的最小正周期是 ，因此相邻两条对称轴之间的距离是 ．
故选：C．
27．D
【解析】
求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答案.
【详解】
A中,函数 是奇函数，最小正周期为 ，不合题意；
B中,函数 是偶函数，最小正周期为 ，不合题意；
C中,函数 是偶函数，最小正周期为 ，不合题意；
D中,函数 是偶函数，最小正周期为 ，符合题意．
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项AD，结合正切函数图象可知， 和 的最小正周期都为 ，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知， 在 上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知， 在 上单调递增，且最小正周期 ，故C正确.
故选：C.
29．C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与 轴负半
第 22 页轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
30．D
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简 得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.
【详解】
解：由题意得：
选项A：函数的最小正周期为 ，故A错误；
选项B：由于 ，函数的最大值为 ，故B错误；
选项C：函数的对称轴满足 ， ，当 时， ，故C错误；
选项D：令 ，代入函数的 ，故 为函数的一个对称中心，故D正确；
故选：D
31．C
【解析】
第 23 页【分析】
利用正切函数的周期，即可求解.
【详解】
因为直线 与函数 的图像相交，根据正切函数的图像可知，相邻交点间的距离是一个周期，周
期 .
故选：C
32．AD
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.
【详解】
由题意，R＝ ＝6，T＝120＝ ，∴ω＝ ，当t＝0时，y＝f(t)＝ ，
代入可得 ＝6sin φ，∵ ，∴φ＝－ .故A正确；
所以 ，当 时， ，所以函数 在 不是单调递增的，故
B不正确；
因为 ， ，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当 时， ，此时 ，点 ， ，故D正确，
故选：AD．
【点睛】
本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角
函数的相应的性质求得结果，属于中档题.
33．AD
【解析】
【分析】
根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.
【详解】
根据题意，易知 ，即 ，因此 .
当 时， ，因为 ，所以 ，
又因为函数 在 上是单调函数，所以 ，
解得 ，故A正确，C错误；
第 24 页当 时， ，因为 ，所以 ，
又因为函数 在 上是单调函数，所以 ，
解得 ，故B错误，D正确.
故选：AD.
34．AD
【解析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解:对于A选项，当 的最小正周期是 ，即： ，则 ，故A选项正确；
对于B选项，当 时， ，所以令 ，解得： ，所以函数的对称
中心的坐标为 ，故B选项错误；
对于C选项，当 时， ， ，
，由于 在 单调递增，故 ，故C选项错误；
对于D选项，令 ，解得： 所以函数的单调递增区间为：
，因为 在区间 上单调递增，所以 ，解得：
，另一方面， ， ，所以 ，即 ，又因为 ，所以
，故 ，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的
解决先需根据正切函数单调性得 ，再结合 和 得 ，进而得答案.
35．ACD
【解析】
【分析】
利用正切函数的周期性可判断A选项；解不等式 可判断B选项；利用正切型函数的对称性可
判断C选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.
第 25 页【详解】
对于A选项，函数 的最小正周期为 ，A对；
对于B选项，由 ，解得 ，
故函数 的定义域为 ，B错；
对于C选项，由 ，解得 ，
所以，函数 图象的对称中心为 ，C对；
对于D选项，当 时， ，故函数 在区间 上单调递增，D对.
故选：ACD.
36．①②④
【解析】
【分析】
结合正弦函数的性质判断各命题的真假．
【详解】
由图可得： ， 的最小正周期为2，①正确；
， 的图象关于点 对称，②正确；
离 轴最近的对称轴为 ，所以若 ，则 的最小值为 ，③错误；
在 轴右边离 最近的对称为 ， ，而 ， 在 上是减函数，因此 的图象在第
一象限每个周期内与 的图象都有两个交点，在区间 上有两个交点，在区间 上有两个交点，从
而在 上有4个交点，④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
思路点睛：本题考查正弦型三角函数的性质，解题方法是利用正弦函数性质求得 的最小正周期，对称中心，
对称轴，利用周期性确定函数图象交点个数，最终得出结论．
37．①②③
【解析】
【分析】
第 26 页化简函数 的解析式为 ，利用余弦型函数的值域可判断①的正误；利用周期的定义可判断
②的正误；在 上解方程 ，可判断③的正误；利用余弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】
因为 .
对于①， ，则 ，①正确；
对于②， ，
作出函数 的大致图象，如图所示．
由图可知，函数 的最小正周期为 ，②正确；
对于③，当 时， ，
由 ，可得 ，可得 ，
分别令 、 、 、 ，可得 、 、 、 ，
所以，函数 在在 上有 个零点，③正确；
对于④，当 时， ，则 ，
所以，函数 在区间 上不单调，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调
区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
38．0
【解析】
【分析】
由已知求得 ， ， ， ，由三角函数的特征求得函数的周期为4，由此可求得
答案.
第 27 页【详解】
解：因为 ，所以 ， ，
，
，
又函数 的周期为 ，
所以 ，
故答案为：0.
39．② ④
【解析】
根据图象判断函数的解析式 ，结合三角函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：由图易知函数的最小正周期为 ，①正确；
由图知，左侧第一个零点为： ，
所以对称轴为： ，
所以 不是对称轴，②不正确；
由图可知 ，
即 时函数 是减函数，
所以③正确；
因为 正负不定，所以④不正确．
所以只有② ④不正确．
故答案为：② ④ .
40． （答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据 ，可得 ，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据 ，可得
函数的周期，然后根据 得到答案.
【详解】
由 ，得 ，
第 28 页联想到 ，可推测 ，
由 ，得 ，则 ，
又 ，所以 （ ， 为偶数，且 ），
则当k=2时， .
故答案为： （答案不唯一）.
41． 或
【解析】
【分析】
由正切型函数的最小正周期可构造不等式，结合 为自然数可求得结果.
【详解】
的最小正周期 ， ，又 为自然数， ，
解得： ， 或 .
故答案为： 或 .
42．（1）函数 具有性质 ， 不具有性质 ，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证
明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据具有性质 的定义依次讨论即可得答案；
（2）假设函数 具有性质 ，则有 ，即 ，进而得 ，再根
据 并结合函数的值域为 得 ，故 ，此时 ，在验证
不具有性质 ，进而得到答案；
（3）结合（2），并根据题意得 ，进而得 在 的值域为 ，当
时，与 零点唯一性矛盾得 或 ，再讨论当 时不成立得 ，即 ．
【详解】
（1）函数 具有性质 ， 不具有性质 ，说明如下：
，
，
对任意 ，都有 ，
所以 具有性质 ，
， ，
第 29 页所以 ，
所以 不具有性质 ；
（2）若函数 具有性质 ，
则有 ，即 ，
于是 ，结合 知 ，
因此 ；
若 ，不妨设
由 可知：
（记作*），其中
只要 充分大时， 将大于1
考虑到 的值域为为 ，等式（*）将无法成立，
综上所述必有 ，即 ；
再由 ， ，从而 ，而
当 时， ，
而 ，显然两者不恒相等（比如 时)
综上所述，不存在 以及 使得 具有性质 ；
(3）由函数 具有性质 以及（2）可知 ，
由函数 是以 为周期的周期函数，有 ，
即 ，也即
由 ， 及题设可知
在 的值域为
当 时，当 及 时，均有 ，
这与零点唯一性矛盾，因此 或 ，
当 时， ， 在 的值域为
此时
于是 在 上的值域为 ，
由正弦函数的性质，此时 当 时和 的取值范围不同，
因而 ，即 ．
第 30 页【点睛】
本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质
P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.
43．(1) ， （ ）
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换得到 ，再计算周期和对称轴得到答案.
（2） ，则 ，得到函数值域.
(1)
，
，对称轴满足： ，对称轴为 ， .
(2)
，则 ， ， .
故函数 的值域为 .
44．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)首先根据 性质可知， 的最小正周期 ，然后利用最小正周期求出 ，结合已知条件，若选用条件
①，根据三角函数奇偶性和诱导公式即可求解；若选用条件②，根据三角函数值求角并结合 的范围求解即可；若
选用条件③，利用 取得最大值时， ， ，并结合 的范围即可求解；(2)利用整体代入法和
正弦函数的性质即可求解.
(1)
∵ 的图象与直线 的两个相邻交点间的距离为 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
选条件①：
第 31 页∵ 为偶函数，
∴ ，即 ， ，
∵ ，从而 ，
∴ ；
选条件②：
∵ ，∴ ，
∴ ， 或 ， ，
∴ ， 或 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
选条件③：
∵ ， ，∴ 为 的最大值，
∴ ， ，即 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ．
(2)
由(1)中知，
令 ， ，
得 ，
令 ，得 ，
从而函数 在 上的增区间为 ．
45．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
第 32 页利用诱导公式化简得到 ，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
由诱导公式得
.
（1）由 ，得 的最小正周期为 .
（2）由 ，
得 .
因此 的单调递增区间为 .
（3）由 ，解得 .
故 取最大值时自变量x的集合为 .
46．(1) 在 ， 上递增
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简函数解析式，结合正弦型函数的图象与性质即可求出结果；
（2）根据已知条件求出 的值，进而结合同角的平方关系求出 的值，然后凑角结合两角差的
正弦公式即可求出结果.
(1)
所以最小正周期 ,
因为 ，即 ，
第 33 页因此函数 的单调递增区间为 ,
(2)
∵ ，∴
∵ ∴ ，∴
.
第 34 页第 35 页
