文档内容
微专题：求函数零点
【考点梳理】
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程 f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)
的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，
函数y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
【题型归纳】
题型一：求函数的零点
1．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列 为等比数列，若 ， 为函数 的两个零点，则 （ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
3．函数 的零点为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
题型二： 根据零点求函数解析式中的参数
4．已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 的零点为 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．2
6．已知t和 是函数 的零点，且 也是函数 的极小值点，则 的极大值为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A．1 B．4 C． D．
【双基达标】
7．已知函数 在定义域上单调递增，且关于x的方程 恰有一个实数根，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．(0，1)
8．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列函数有变号零点的的是（ ）.
A． B． C． D．
10．函数 在 内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的零点为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或(
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．函数 的零点是（ ）
A． B． C． D．不存在
13．已知三个函数 的零点依次为 ，则 的大小关系
（ ）
A． B．
C． D．
14．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1
的正实数零点的近似值为（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4
15．已知函数 的零点构成集合 ，若 （ ， ， ， 可以相等），则满足条件
“ ”的数组 的个数为（ ）
A．33 B．29 C．27 D．21
16．函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数 ，现给出如下结论：① 是奇函数；② 是周期函数；③ 在区间
上有三个零点；④ 的最大值为 .其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
18．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知双曲正弦函数 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 在区间 上单调递减
C． 没有零点 D． 在区间 上单调递增
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．已知函数 有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．若函数 的两个零点是2和3，则函数 的零点是
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
22．已知 ， ，若 在区间 上恰有4个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
23．下列四个命题中正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
B．若正三角形 的边长为 ，则
C．已知函数 ，则函数 的零点为
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
24．若存在正实数 ，使得 ，则
A．实数 的最大值为 B．实数 的最小值为
C．实数 的最大值为 D．实数 的最小值为
25．若 是二次函数 的两个零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
26．对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数”.已知
在 上为“局部奇函数”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数 恰有 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．定义方程 的实数根x叫做函数 的“新驻点”，若函数 ， ，
的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
30．函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
31．已知函数 ，则（ ）
A．对任意的 ，函数 都有零点.
B．当 时，对 ，都有 成立.
C．当 时，方程 有4个不同的实数根.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．当 时，方程 有2个不同的实数根.
32．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 是偶函数
C．函数 的零点为0 D．当 时， 的最大值为
33．对于函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．函数 极小值为 ，极大值为
B．函数 单调递减区间为 ，单调递增区为
C．函数 最小值为为 ，最大值
D．函数 存在两个零点1和
34．给定函数 （ ）
A． 的图像关于原点对称 B． 的值域是
C． 在区间 上是增函数 D． 有三个零点
三、填空题
35．设函数 若函数 有六个不同的零点，则实数a的取值
范围为________．
36．若函数 有且仅有两个零点，则实数 的一个取值为______.
37．已知函数 则函数 的所有零点之和为___________.
38．曲线 与圆 ： 只有一个公共点，则圆 的面积为___________.
39．若 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，已知函数
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则关于 的方程 的解集是___________.
40．若二次函数 的两个零点分别是 和 ，则 的值为________.
四、解答题
41．若函数 的两个零点分别为 ，且有 ，试求出 的取值范围．
42．设函数 ．
(1)若函数 的图象关于原点对称，求函数 的零点 ；
(2)若函数 在 ， 的最大值为 ，求实数 的值．
43．设a，b，c，d不全为0，给定函数 ， .若 ， 满足① 有零
点；② 的零点均为 的零点：③ 的零点均为 的零点，则称 ， 为一对“K函数”.
（1）当a=c=d=1，b=0时，验证 ， 是否为一对“K函致”，并说明理由；
（2）若a=1， ，且 ， 为一对“K函数”，求实数c的取值范围.
44．若 求函数 的零点．
45．已知函数 ．
（1）若 ，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
结合基本函数的函数的性质和零点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，函数 的对称轴为 轴，故 是偶函数，
令 得 ，所以 的零点为 ．不符合题意；
对于B中，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
故 不是偶函数，不符合题意；
对于C中，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
故 不是偶函数，不符合题意．
对于D中，函数 ，可得 ，所以函数为偶函数，
令 ，此时方程无解，所以函数 无零点，不符合题意.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
由题知 ，进而得 或 ，再分别讨论求解即可.
【详解】
解：因为 ， 为函数 的两个零点，
所以 ，所以 或
所以，当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以， .
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
令 ，求出方程的解，即可得到函数的零点.
【详解】
第 8 页解：令 ，即 ，解得 ，所以函数 的零点为 ；
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
关于 轴对称的函数为： ，
函数 与 图象上存在关于 轴对称的点，
即 有解，通过数形结合即可得解.
【详解】
关于 轴对称的函数为：
，
函数 与 图象上存在关于 轴对称的点，
即 有解，
即 ，整理的： ，
和 的图像存在交点，如图：
临界值在 处取到（虚取），此时 ，
故当 时 和 的图像存在交点，
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
由已知有 ，根据零点得到 ，利用指对数的关系及运算性质得到 关于t的表达
式，进而由指数函数的单调性确定t值即可.
第 9 页【详解】
由题设 ，由 得： ，
若 ，可得 ，
若 ，可得 ，
综上， ，故 .
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，结合三次函数的特点可得 ，再借助导数求出极大值作答.
【详解】
因函数 在 处取得极小值0，又t是函数 的另一零点，因此函数 只有两个零点，
从而有 ，求导得： ，
当 或 时， ，当 时， ，
于是， 在 处取得极小值，在 处取得极大值 ，
所以 的极大值为4.
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
由 递增，先求出 的范围，再根据 恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.
【详解】
第 10 页在定义域上单调增，∴ ，∴ ，
∵ 在 处切线为 ，即 ，
又 故 与 没有公共点
∴ 与 有且仅有一个公共点且为
∴ 在 处的切线的斜率必须大于等于1，
， ，∴ ，∴ ，
综上：
故选：C.
【点睛】
本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.
8．A
【解析】
【详解】
分析函数 的奇偶性及其在 上的函数值符号、以及函数 的零点，结合排除法可得出合适的选项.
【分析】
由 ，可得 且 ，
故函数 的定义域为 ，
，即函数 为奇函数，排除D选项；
当 时， ， ，则 ，则 ，排除C选项；
由 可得 ，排除B选项.
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
由题变号零点为零点左右领域正负相反的零点,逐个选项判断即可.
【详解】
对A, 无零点,故A错误
对B, 零点为 ,但 左右领域函数值均为正,故B错误
对C, 零点为 ,且 左边领域函数值为负,右边函数值为正,故C正确
第 11 页对D, 无零点,故D错误
故选C
【点睛】
本题主要考查变号零点的基本定义,属于基础题型.
10．B
【解析】
【分析】
在 时，解方程 ，即可得解.
【详解】
当 时，由 可得 或 .
当 时，由 可得 ，方程 在 时无解.
综上所述，函数 在 内的零点个数为 .
故选：B.
11．B
【解析】
令 结合定义域可得答案.
【详解】
函数 的定义域为 ，
令 ，得 ，零点不是点，CD错误，
故选：B.
12．C
【解析】
【分析】
求出方程 的根，即可得答案；
【详解】
函数 的零点等价于方程 的根，
函数 的零点是 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数零点的求法考查运算求解能力，属于基础题.
13．D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】
第 12 页∵函数 为增函数，又 ，
∴ ，
由 ，得 ，即 ，
∵ 在 单调递增，
又 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
14．B
【解析】
【分析】
利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.
【详解】
依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7 ，且满足|0.72-0.68|<0.1，
所以所求的符合条件的近似值为0.7.
故选：B
15．A
【解析】
【分析】
根据题意令 可得 的值，即可求得函数 的零点，对于数组 ，
列举出 的取法分析可得答案．
【详解】
根据题意，令 ，解得 或 ，
即函数 的零点为0， ， ，即 ，
若 ，且满足条件“ ”，
则 ， ， ， 的取法中最多有两个取到 ．
当 ， ， ， 都取0时，有1种情况；
当 ， ， ， 中仅有一个取到 或 时（其余取0），有 种情况；
当 ， ， ， 中有两个同时取到 或 时（其余取0），有 种情况；
当 ， ， ， 中有两个分别取 、 时（其余取0），有 种情况．
故满足条件的数组共有 个．
16．D
第 13 页【解析】
【分析】
题目中函数较为简单，可以直接求得对应的零点，从而判断所在区间即可
【详解】
当 时，令 ，即 ，所以 ；
当 时，令 ，即 ， ，不在定义域区间内，舍
所以函数 零点所在的区间为
故选：D
17．A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义，可判定①正确；根据周期的定义，可判定②错误；根据函数零点定义和三角函数的性
质，可判定③正确.根据三角函数的性质，可判定④错误，即可求解.
【详解】
对于①中，函数 的定义域为 关于原点对称，
由 ，
所以 是奇函数，所以①正确.
对于②中，假设存在周期 ，则 ，
，
所以 ①，
存在 ，使得 ，而 ，
， ，
由于 ，故 ，
所以
所以 ， ，
可得 ， ， ，所以 ，矛盾，
所以函数 ，没有周期，所以②错误.
对于③中，函数 ，
函数的零点为方程 ，可得 或 ，
即 ，所以 在区间 上有三个零点，故③正确.
第 14 页对于④中，函数 ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ， ，
所以 ， 和 ， 两者不会同时成立，
即 和 不可能同时成立，故 的最大值不是 ，所以④错误；
则四个命题中正确的为①③；
故选：A.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周
期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的
判定，防止错解.
18．C
【解析】
【分析】
本题先运用 判断是否为奇函数，再求零点判断即可.
【详解】
A选项： ，函数不是奇函数，故A选项错误；
B选项： ，函数是奇函数，但不存在零点，故B选项错误；
C选项： ，函数是奇函数，且 ，故C选项正确；
D选项： ，函数不是奇函数，故D选项错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判定，函数是否存在零点，是基础题.
19．D
【解析】
【分析】
A. 利用奇偶性的定义判断；BD.利用导数法判断； C. 令 求解判断.
【详解】
A. 因为 ，所以 为奇函数，故错误；
第 15 页B.因为 ，所以 在区间 上单调递增，故错误；D正确；
C. 令 ，解得 ，所以 有零点，故错误；
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
函数 有两个零点，即方程 有两个根，设 ，求出 ，研究出
函数 的单调性，由 的图象与 有两个交点，得出 参数的范围,得到答案.
【详解】
函数 有两个零点
由题意得方程 有两个根.
设 ，则
设 ，则
所以 在 上单调递减，又
当 ，所以 在 上单调递增,
当 ，所以 在 上单调递减,
又 ， ，当 时， ，则
所以存在 ， ，即在 上 ，
又当 时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知 时，
作出函数 的大致图象如下.
第 16 页所以方程 有两个根，即 的图象与 有两个交点，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B
【点睛】
本题考查已知函数的零点个数求参数取值范围的问题，考查分离参数的方法，考查利用导数研究函数的单调性，
属于难题题.
21．B
【解析】
【分析】
函数 的两个零点是2和3，由函数的零点与方程根的关系知方程 的两根为2和3，这
样利用根与系数关系可以求出 ，因此可以求出方程 的两个根，即求出函数
的零点.
【详解】
因为函数 的两个零点是2和3，所以 的两根为2和3，因此有 ，
所以 ，于是
或 ，
所以函数 的零点是 和 ，故本题选B.
【点睛】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了解一元二次方程的求根能力，考查了一元二次方程根与系数关
系，考查了数学运算能力.
22．C
【解析】
【分析】
x∈ ，数形结合确定 的范围使得 图像和 恰好有四个交点.
【详解】
，
在区间 上恰有4个零点，等价 与 图象恰好有4个交点，因为x∈ ，所
以 ，
如图所示，
第 17 页则应该满足 ，解得 .
故选：C.
23．D
【解析】
【分析】
利用抽象函数的定义域可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用函数零点的定义可判断C
选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项.
【详解】
对于A选项，若函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则有 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，A错；
对于B选项，若正三角形 的边长为 ，则 ，B错；
对于C选项，已知函数 ，令 ，解得 ，
所以，函数 的零点为 ，C错；
对于D选项，若 ，则 、 无意义，即“ ” “ ”；
若 ，可取 ， ，则 ，即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，D对.
故选：D.
24．C
【解析】
【分析】
将题目所给方程转化为关于 的一元二次方程，根据此方程在 上有解列不等式组，解不等式组求得 的取值
范围，进而求出正确选项.
【详解】
由 得 ，当 时，方程为 不和题意，故这是关于 的一元二次方
第 18 页程，依题意可知，该方程在 上有解，注意到 ，所以由 解得 ，故实
数 的最大值为 ，所以选C.
【点睛】
本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
25．D
【解析】
【分析】
解方程可得 ，代入运算即可得解.
【详解】
由题意，令 ，解得 或 ，
不妨设 ，代入可得 .
故选：D.
26．B
【解析】
【分析】
由 得出 （用 表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，则 .因为 （当且仅
当 时，等号成立），所以 ，即 .
故选：B．
27．A
【解析】
画出图象，通过移动 结合函数的零点与方程的解的判断即可得结果.
【详解】
由题意，函数 ，的图象如图：
第 19 页方程 的解为 ，方程 的解为 或 ；
①当 时，函数 恰有两个零点 ，3；
②当 时，函数有2个零点 ，5；
则实数m的取值范围是： ．
故选：A.
28．D
【解析】
【分析】
由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分 三种情况，数
形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
第 20 页综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
29．D
【解析】
【分析】
利用 得 ；利用 ，构造函数 ，利用单调性可得 ；利用
，构造函数 ，利用单调性可判断零点 ，从而可得答案.
【详解】
， ， ，由题意得：
，即 ，解得 ，所以 ，
， ，
令 ，所以 为单调递减函数，
，
可得 ，所以 ，
第 21 页， ，
令 ，则 ，得 或 ，
当 或 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
所以当 时 有极大值为 ，
当 时 有极小值为 ，
因为 ， ，
所以 ， .
故选：D.
30．B
【解析】
令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由 ，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方
程思想解题．
31．AC
【解析】
【分析】
讨论 的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当 时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；
当 时，令 ，由 得 或 ，结合图象可判断C；当 时，方程 ，则
，结合图象可判断D．
【详解】
当 时， ；当 时， ；
所以当 时，函数 只有 个零点，当 时，函数 只有 个零点，
时，函数 只有 个零点，故A正确；
当 时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数 为单调递增函数，故B错；
当 时，令 ，由 得 或 ，作出函数 的图象
第 22 页如图所示，当 时，方程 有两个解； 方程 有两个解；
所以方程 有4个不同的实数根，故C正确；
当 时，方程 ，则 ，如图所示，有1个不同的交点，
则故D错误．
故选：AC
32．AD
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.
【详解】
对A，由解析式可知 的定义域为 ，故A正确；
对B，因为 ，可知 是奇函数，故B不正确；
对C, ，得 ，故C不正确；
对D, 当 时， ，当且仅当 时取等号，
故D正确.
故选：AD
33．AD
【解析】
【分析】
先求得 的奇偶性，当 时，利用导数求得 的单调区间和极值，即可判断A、B、C的正误；令 ，
可得零点，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
的定义域为 ，
第 23 页所以 ，
所以 为奇函数，
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ，则 为单调递增函数，
当 时， ，则 为单调递减函数，
因为 为奇函数，图象关于原点对称，
所以 在 上单调递减，在 是单调递增，
所以 的极小值为 ，极大值为 ，故A正确；
的单调递减区间为 ，单调递增区为 ，故B错误；
在 无最值，故C错误；
令 ，解得 ，结合 的单调性可得， 存在两个零点1和 ，故D正确.
故选：AD
34．AB
【解析】
【分析】
对于A：由函数 的定义域为R， ，可判断；
对于B：当 时， ，当 时， ，由 或 ，可判断；
对于C：由 在 单调递增可判断；
第 24 页对于D：令 ，解方程可判断.
【详解】
解：对于A：因为函数 的定义域为R，且 ，所以函数 是奇函数，所
以 的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当 时， ，
当 时， ，又 或 ，所以 或 ，
综上得 的值域为 ，故B正确；
对于C：因为 在 单调递增，所以由B选项解析得， 在区间 上是减函数，故C不正确；
对于D：令 ，即 ，解得 ，故D不正确，
故选：AB.
35． ．
【解析】
【分析】
利用数形结合即求.
【详解】
函数 的零点即为方程 的解，也即 的解，
令 ，则原方程的解变为方程组 的解，
作出函数 和直线 的图象如图所示．
由图可知，当 时，有两个不同的x与之对应；
第 25 页当 时，有一个x与之对应，当 时，没有x与之对应．
由方程组 有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于 ，
作出函数 和直线 的图象如图所示，
由图可知当 时满足要求，
综上，实数a的取值范围为 ．
故答案为：
第 26 页36． （答案不唯一）
【解析】
【分析】
由零点的概念求解
【详解】
令 ，当 时，由 得 ，即 为函数 的一个零点，
故当 时， 有一解，得
故答案为： （答案不唯一）
37．
【解析】
【分析】
利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 的所有零点，从而得解．
【详解】
解： 时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
函数 的所有零点为 ， ， ， ，所以所有零点的和为
故答案为： ．
38．
【解析】
【分析】
联立曲线与圆 方程，消去 ，利用换元法以及根与系数的关系解出 ，可得圆 的面积．
【详解】
联立曲线 与圆 ： ，
可得 ，即
令 ，则
，且 ，解得
则圆 的面积为
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到 分别是直线 与函数 ､函数 图象交点的横坐标的值，再由 和
第 27 页图象关于 对称，求出 ，进而可求出对应方程的解.
【详解】
依题意， 是方程 的解， 是方程 的解，
因此 分别是直线 与函数 ､函数 图象交点的横坐标的值，
又 和 图象关于 对称，则由 ，所以 ，
则方程 ，即为 ，解得 或
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据互为反函数的两函数的对称性求出 ；先由题中条件，将题中条件转化为 分别是
直线 与函数 ､函数 图象交点的横坐标的值，再由 与 互为反函数，即可求出 .
40．
【解析】
【分析】
根据函数零点的定义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】
因为二次函数 的两个零点分别是 和 ，
所以一元二次方程 的两个根分别是 和 ，
由一元二次方程根与系数关系得： ，解得 ，
因此， .
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数零点的定义，考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，考查了数学运算能力.
41． .
【解析】
【分析】
根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数 的取值范围．
【详解】
令 ，
则 得 的取值范围是 ．
故实数 的取值范围为 .
【点睛】
第 28 页本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
42．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过 ，求出 ．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可．
（2）利用换元法令 ， ， ，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．
(1)
解： 的图象关于原点对称，
为奇函数，
，
，
即 ， ．所以 ，所以 ，
令 ，
则 ，
，又 ，
，解得 ，即 ，
所以函数 的零点为 ．
(2)
解：因为 ， ，
令 ，则 ， ， ，
对称轴 ，
当 ，即 时， ， ；
②当 ，即 时， ， （舍 ；
综上：实数 的值为 ．
43．（1）不是，理由见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据 函数的定义进行判断.
（2）结合换元法以及 函数的定义进行讨论，由此求得 的取值范围.
【详解】
（1） ，
第 29 页得 ， ，故 不是 的零点，所以 、 不是一对“ 函
数”.
（2） ， ，
， .
，
，
由 得 或 .
，
依题意 的零点均为 的零点，
当 时， ， ， ， 符合题意.
当 时，依题意可知 没有实数根，
设 ，则 没有实数根，
当 时， ， ，
所以 ，即 ，解得 .
当 时， ， ，
所以 ，即 ，解得 （舍去）.
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】
有关函数新定义的题目，解题关键是围绕着新定义去进行求解.
44． 和1．
【解析】
【分析】
根据题意，分类讨论取不同范围的 值时，解方程 的根即可求解.
【详解】
函数 的零点即为方程 的根．
当 时，方程 ，变形为 ，即 ，
解得 或 ，因为 ，所以 ；
第 30 页当 时，方程 ，变形为 ，符合题意．
综上，函数 的零点为 和1．
45．（1） ；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
【解析】
【分析】
（1）根据解析式，求得定义域，当 时，令 ，解得 ∈[﹣1，1]，所以零点为
.
（2）若f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）
＝f（1），解得a=0，经检验符合题意，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，函数 ，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，
由 ，得 ，
化简得 ，即 ，则 ∈[﹣1，1]，
所以，函数f（x）的零点为 ；
（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；
代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是 无解，所以函数f（x）不能为奇函数，
若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；
又当a＝0时， ，
则 ；
对任意x∈[﹣1，1]都成立，
综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
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