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第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
复习要点 1.了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利
用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
一 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)， 振幅 周期 频率 相位 初相
x∈[0，＋∞) A T＝ ωx ＋ φ φ
二 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点
如下表所示.
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
三 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A·sin(ωx＋φ)的图象的步骤
三角函数两种图象的变换，主要区别在于左右平移变换，可统一记忆为“左加右减”
个单位，当“ω＝1”时，即为先φ后ω变换．
常/用/结/论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单
位长度．
1．判断下列结论是否正确．
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函
数解析式为y＝sin x.()
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(√)(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．()
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的
距离为.(√)
2．将曲线C ：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，
1
纵坐标不变，得到曲线C ，则C 的方程为( )
2 2
A．y＝2sin 4x B．y＝2sin
C．y＝2sin x D．y＝2sin
解析：曲线C ：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，得到 y＝2cos＝2cos＝2sin 2x，
1
再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C 的方程为y＝2sin 4x.
2
答案：A
3．设ω＞0，函数y＝2cos－1的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值
是( )
A． B．
C． D．
解析：将y＝2cos－1的图象向右平移个单位后对应的函数为y＝2cos－1＝2cos－1，因
为函数y＝2cos－1的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝，
又因为ω＞0，所以k≥1，故ω＝≥，故选A．
答案：A
4．如图，某地一天从 6～14时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b，
A>0，ω>0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________．
解析：从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，又×＝14－6，所以ω＝.又×10＋φ＝2kπ，
k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
答案：y＝10sin＋20，x∈[6,14]
题型 “五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象
典例1设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的 最小正周期为 π ，且 f ＝ . 方程思想，主要体现于把条
件转化为含参方程．
(1)求ω和φ的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.解：(1)由题意知T＝＝π，解得ω＝2，又f＝cos＝cos＝－sin φ＝，－<φ<0，解得φ＝
－.
(2)由(1)知，f(x)＝cos，填表如下：
ωx＋φ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
五点画图法其实是关键点画图，即ωx＋φ的取值，每经过坐标轴时，都属于特殊点，
另自变量的两个端点也要注明．
图象如图：
用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤
五点作图高考试题中虽很少有考查，但此方法是一项基本功．
(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式；
(2)确定周期；
(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点；
(4)选出一个周期内与x轴的交点；
(5)列表；
(6)描点，连线．
对点练1已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|≤.若f(x)＝2，f(x)＝0，且|x －x|的最小
1 2 1 2
值为，f(0)＝1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求 f(x)在区间上的最值．
解：(1)若f(x)＝2，f(x)＝0，即x 是f(x)的最大值点，x 是f(x)的零点，且|x －x|的最
1 2 1 2 1 2
小值为，设f(x)的最小正周期为T，则＝，即T＝＝π，解得ω＝2.
由 f(0)＝1，得 f(0)＝2sin φ＝1，即有 sin φ＝，所以 φ＝＋2kπ(k∈Z)或 φ＝＋
2kπ(k∈Z)，又|φ|≤，所以φ＝.综上所述，f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得
－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)根据“五点作图法”的要求先完成表格，令X＝2x＋，则
X＝2x＋ 0 π 2π
x －
f(x) 0 2 0 －2 0
由图可知，在区间内，当x＝时，f(x)取到最大值2；当x＝时，f(x)取到最小值－.
题型 三角函数的图象变换
典例2请说明如何由y＝sin x的图象得到y＝2cos的图象．
解：y＝ 2cos ＝ 2cos ＝ 2sin ，先把 y＝sin x的图象向左平移
把x的系数先化为正值. 思路：由sin x→sin→sin→2sin.
个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
标不变)，得到y＝sin的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
得到y＝2sin的图象，即y＝2cos的图象．
由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，应先将y＝sin x的图
象向左(或右)平移|φ|个单位长度，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍，
再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上单调递减，则
实数ω的取值范围为________．解析：(1)由题意知f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，画出函数f(x)的图象和直线y＝x－，如图．
由图象可知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝x－有3个交点，故选C．
(2)将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数 y＝sin
2ωx的图象，再将函数y＝sin 2ωx的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin 2ω＝sin的图
象．当x∈时，2ωx＋∈，因为函数g(x)在上单调递减，所以k∈Z，解得＋2k≤ω≤＋k，
k∈Z.当k＝0时，≤ω≤；当k≥1时，＋2k>＋k，不符合题意；当k≤－1时，ω≤＋k<0，不符
合题意．故实数ω的取值范围为.
答案：(1)C (2)
题型 已知函数图象求解析式
典例3已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则 f ( x ) 图象的一个
对称中心是( )
所有对称中心为，这里＝π.
本例属于由部分图象求解析式．
A． B．
C． D．
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图可知＝－＝，所以T＝2π，又ω>0，所以＝
2π，所以ω＝1，则f(x)＝2sin(x＋φ)，因为 f ＝ 2 ，所以－＋ φ ＝＋ 2 k π ，k∈Z，即φ
代入最值点，解三角方程求φ的值．
＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，
则 f ( x ) ＝ 2sin . 题眼
因为f＝2sin(－π)＝0，所以是函数f(x)＝2sin图象的一个对称中心．故选D．
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用的方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象上的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
对点练3(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与
曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________.
解析：设A，B，由五点作图法可得②－①，得ω(x－x)＝.
2 1
因为|AB|＝，所以x －x ＝，所以ω＝4.因为函数f(x)的图象经过点，所以f＝sin＝0，
2 1
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.由题图可知－10，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象
与原图象重合，则ω的最小值为( )
你如何转化这个条件？
A．3 B．6
C．9 D．12
(2)若函数f(x)＝2cos(ω>0)在区间上单调递减，则ω的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：(1)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故 为函数 y ＝ sin 的周期 ，
即 ＝ ( k ∈ N * ) ，
即：是最小正周期的整数倍. 这样才有k·＝.
则ω＝12k(k∈N*)，
故当k＝1时，ω取得最小值12.
故选D．
(2)f(x)＝ 2cos ＝ 2cos( ω>0)，
有意识地把x的系数化为正数．
当x∈且ω>0时，－<2ωx－<πω－，因为余弦函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，
2kπ＋π](k∈Z)，
所以 ⊆ ( k∈Z)，
由这个子集关系，得到关于ω的条件不等式. 由于k∈Z，赋值法可求ω的范围．
所以 解得 6 k＋1≤ω≤2k＋(k∈Z)，由2k＋≥6k＋1，得k≤.因为k∈Z且ω>0，所以k＝0,1≤ω≤.因此，ω的最大值为.
故选C．
与三角函数单调性相关的ω的取值范围问题，需要利用整体思想，结合集合之间的包
含关系，利用不等式组求解．通常要考虑三角函数的单调区间、区间的包含关系确定 ω的
范围.\s\up7( )
对点练4(2024·山东青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的
零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( )
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，所以f＝±1，
即ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，①
1 1
又f＝0，
所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z，②
2 2
由①②，得ω＝2(k－k)＋1，k，k∈Z，
1 2 1 2
又f(x)在区间上有最小值无最大值，所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由①得×15＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
1 1 1 1
又|φ|≤，
所以φ＝－，
此时f(x)＝sin，
当x∈时，
15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．
故ω的最大值为15.
答案：C
题型 三角函数实际应用的多维研讨
维度1 三角函数的实际应用
典例5(2024·浙江嘉兴考前冲刺)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在
摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知某摩天轮的转盘直径为
110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮逆时针匀速旋转，每30分钟
转一圈． 若摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处 ，下列说法中错误的是( )
转化为初相φ ＝－.
A． 经过 10 分钟，点 P 上升了 82.5 米
相对于最低点时，相对升高了82.5米．
B．在第10分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同
C．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟D．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度
的2倍
解析：由已知得P点从最低处开始，转动时间与其距地面高度的关系可以用正弦型函
数 f ( t ) ＝ A sin( ωt ＋ φ ) ＋ b (A，ω>0)表示．
A值对应摩天轮的半径，ω由周期决定，φ是初相，b的值对应80米．
∵每30分钟转一圈，∴最小正周期T＝＝30，∴ω＝.
∵摩天轮直径为110米，∴振幅A＝110÷2＝55.
∵摩天轮中心距地面80米，∴b＝80.
将P(0,25)代入可得55sin φ＋80＝25，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－.
故 f ( t ) ＝ 55sin ＋ 80( t ≥0) ．
确定解析式后，才能对选项进行计算．
对于A项，经过10分钟，则f(10)＝107.5＝82.5＋25，故点P上升了82.5米，故A正
确；
对于B项，周期为30分钟，40分钟比10分钟正好多一个周期，故距离地面高度相同，
故B正确；
对于C项，当旋转5分钟时，f(5)＝55sin＋80＝52.5<55，此时P距离地面52.5米，从
而高度低于55米的时间大于10分钟，即不低于55米的时间小于20分钟，故C错误；
对于D项，f(10)－f(5)＝107.5－52.5＝55，f(15)－f(10)＝55＋80－107.5＝27.5，故D正
确．
故选C．
面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，这个过程并不神
秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”， 这个
过程就是数学建模的过程．
提炼概念，本例中需要弄清振幅、角速度、初相.
对点练5(多选)(2024·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水
转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车大约于东汉时出现
在我国拥有悠久的使用历史，是我国的一项古老的发明，也是我国利用自然和改造自然的
象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀
速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，
其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是( )
A．水斗作周期运动的初相为－
B．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
解析：对于A，由A(3，－3)，知R＝＝6，T＝120，所以ω＝＝.当t＝0时，点P在点
A位置，有－3＝6sin φ，解得sin φ＝－，又|φ|<，所以φ＝－，故A正确；对于B，可知
f(t)＝6sin，当t∈(0,60]时，t－∈，所以函数f(t)先增后减，故B错误；对于C，当t∈(0,60]
时，t－∈，sin∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当t＝100时，
t－＝，P的纵坐标为y＝－3，横坐标为x＝－3，所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确．故选
AD．
答案：AD
维度2 三角函数图象与性质的综合应用
典例6已知f(x)＝ sin ωx － cos ωx ， ω >0 . 考查系数比为“1∶”型的恒等变形．
(1)若 函数 f ( x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求 f的值；
暗指周期，可知ω的值．
(2)若函数f(x)的图象关于对称，且函数f(x)在上单调，求ω的值．
解：(1) f ( x ) ＝ sin ωx － cos ωx
＝ 2
＝ 2sin . 题眼．
因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以函数f(x)的最小正周期为π，
则＝π，又ω>0，故ω＝2.
所以f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2sin＝.
(2)因为函数f(x)的图象关于对称，
所以2sin＝0，即sin＝0，所以 ω －＝ k π ， k ∈ Z ，即 ω ＝ 3 k ＋ 1 ，k∈Z.
利用对称中心得到ω的通项公式，这是对ω的第一个条件限制．
当x∈时，ωx－∈.
此区间的始点为－，由单调性，仅对右端点作条件限制，得到ω的第二个限制关系．
因为函数f(x)在上单调，所以－≤， 题眼．
则ω≤，故0<ω≤.
由0<3k＋1≤，解得－1，
所以1<ω≤4，所以ω＝3.
因为f(x)的图象经过点A，所以2cos＝－2，
所以＋φ＝2tπ＋π(t∈Z)，所以φ＝2tπ＋(t∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝.
故f(x)＝2cos.
(2)因为x∈，所以3x＋∈，
当3x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值，
最小值为f＝2cos π＝－2.
因为对任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，
所以2m2－5m＋1≤－2，
所以2m2－5m＋3≤0，即(2m－3)(m－1)≤0，解得1≤m≤.
