文档内容
微专题：幂函数的定义
【考点梳理】
1. 幂函数
(1)定义：一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
性质
函数 图象
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y＝x R R 奇 在R上单调递增
y＝x2 R { y | y ≥0} 偶 在 ( －∞， 0] 上单调递减；在 [0 ，＋∞ ) 上单调递增
(1 ， 1)
y＝x3 R R 奇 在R上单调递增
非奇
y＝x { x | x ≥0} { y | y ≥0} 在 [0 ，＋∞ ) 上单调递增
非偶
y＝x－1 { x | x ≠0} { y | y ≠0} 奇 在 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 上单调递减
2. 幂函数相关常用结论
(1)一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，
＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0).
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，最多只能同时出现在两个象限内.
(3)形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上
为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当 m为偶数，n为奇数时，幂函数在定
义域上为偶函数.
【题型归纳】
题型一：求幂函数的值
1．幂函数 在区间 上单调递增，则 （ ）
A．27 B． C． D．
2．已知幂函数 的图像过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．函数 的图像恒过定点 ，点 在幂函数 的图像上，则 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
题型二：求幂函数的解析式
4．若幂函数 的图象经过点 ，则函数 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．幂函数 的图象经过函数 且 所过的定点，则 的值等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．已知幂函数 的图象过点 ，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据函数是幂函数求参数值
7．已知幂函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C． 或3 D．
9．已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数 （ ）
A．－1 B．－1或3 C．3 D．2
题型四：幂函数的定义域
10．下列函数定义域为 的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数 的图象过点 ，则下列关于 说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．奇函数 B．偶函数
C．在 单调递减 D．定义域为
12．幂函数 中a的取值集合C是 的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为
（ ）
A． B． C． D．
题型五：幂函数的值域
13．已知p： ，q： ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．下列函数值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
16．已知函数 是幂函数，直线 过点 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
17．若幂函数 的图像经过点 ，则该函数的图像（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称
18．已知幂函数 的图象经过点 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．3
19．幂函数 在 上单调递增，则 过定点（ ）
A． B． C． D．
20．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）
A．[-1，+∞) B．[0，+∞)
C．(-∞，+∞) D．(-∞，0)
21．幂函数 在 上为增函数，则实数 的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
22．已知幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D． 或1
23．已知幂函数 满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知幂函数 的图像过点 ，则 的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
25．已知 是幂函数，且在 上单调递增，则满足 的实数 的范国为
（ ）
A． B． C． D．
26．幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
27．已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
29．若函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
30．有四个幂函数：① ；② ；③ ；④ ，某向学研究了其中的一个函数，
并给出这个函数的三个性质：（1） 为偶函数；（2） 的值域为 ；（3） 在
上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【高分突破】
一、单选题
31．已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．下面是有关幂函数 的四种说法，其中错误的叙述是
A． 的定义域和值域相等 B． 的图象关于原点中心对称
C． 在定义域上是减函数 D． 是奇函数
33．已知幂函数 的图象关于原点对称，则满足 成立的实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
34．下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
35．已知幂函数 的图象经过点 与点 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
36．若幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
37．若幂函数 在 上是减函数，则实数 的值是（ ）
A． 或3 B．3 C． D．0
38．若幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
39．点 在幂函数 的图象上，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
40．已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A．3 B．9 C．27 D．
二、多选题
41．已知函数 图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若 ，则 D．若 ，则
42．已知幂函数 的图象过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是增函数
C． 是偶函数 D． 的定义域为
43．已知函数 是幂函数，对任意 ， ，且 ，满足 .若
， ，且 的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
44．已知幂函数 （m， ，m，n互质），下列关于 的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数 是奇函数
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．m是偶数，n是奇数时，幂函数 是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数
D． 时，幂函数 在 上是减函数
E．m，n是奇数时，幂函数 的定义域为
三、填空题
45．已知幂函数 的图象过点 ，则 ___________.
46．函数 ，其中 ，则其值域为___________.
47．在函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 中定义域与值域相等的有_________
个.
48．已知点 在幂函数 的图象上，若 ，则实数 的取值范围为_________．
49．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
50．已知幂函数 在 为增函数，则实数 的值为___________.
四、解答题
51．设 为实数， ，已知幂函数 在区间 上是严格增函数，试求满足
的 的取值范围．
52．已知函数 是幂函数 ，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）试判断是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最大值为6，若存在，求出b的值；
若不存在，请说明理由.
53．已知函数 是图象经过点 的幂函数，函数 是定义域为 的奇函数，且当 时，
.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）求当 时函数 的解析式，并在给定的坐标系中画出 （ ）的图象
（Ⅲ）写出函数 （ ）的单调区间.
54．已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求 的解析式；
（2）用定义法证明函数 在区间 上单调递增
55．已知函数 为幂函数，且为奇函数.
(1)求 的值，并确定 的解析式；
(2)令 ，求 在 的值域.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念及性质，求得实数 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，令 ，即 ，解得 或 ，
当 时，可得函数 ，此时函数 在 上单调递增，符合题意；
当 时，可得 ，此时函数 在 上单调递减，不符合题意，
即幂函数 ，则 .
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；
【详解】
解：设 ，依题意 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
利用恒等式 可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】
当 时， ，
所以函数 的图像恒过定点
记 ，则有 ，解得
所以 .
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
根据幂函数 的图象经过点 求解.
【详解】
解：因为幂函数 的图象经过点 ，
第 9 页所以 ，解得 ，
所以 ．
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
求出函数 且 所过的定点，利用待定系数法求出幂函数的解析式，从而可得出答案.
【详解】
解：设幂函数 ，
函数 且 过定点 ，
代入幂函数 ，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
6．C
【解析】
【分析】
设出幂函数 的解析式，根据点 求得解析式.
【详解】
设 ，
依题意 ，
所以 .
故选：C
7．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念求出 ，再代入点的坐标可求出 ，即可得解.
【详解】
因为函数 为幂函数，所以 ，则 ，
第 10 页又因为 的图象经过点 ，所以 ，得 ，
所以 .
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
依据题意列出关于实数m的方程即可求得实数m的值.
【详解】
因为 是幂函数，
故 ，解得 或 ，
又因为幂函数在 上单调递减，所以需要 ，
则
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.
【详解】
由题意知： ，即 ，解得 或 ，
∴当 时， ，则 在 上单调递减，不合题意;
当 时， ，则 在 上单调递增，符合题意,
∴ ,
故选：C
10．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.
【详解】
解：对于A，函数的定义域为 ，
对于B，函数的定义域为 ，
对于C，函数的定义域为 ，
对于D，函数的定义域为 .
故选：C.
11．C
第 11 页【解析】
【分析】
设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.
【详解】
设幂函数 ，
由题意得： ，
故 ，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称， 为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故 在在 单调递减，C正确，
故选：C
12．C
【解析】
【分析】
分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】
当 时， 定义域和值域均为 ，符合题意；
时， 定义域为 ，值域为 ，故不合题意；
时， 定义域为 ，值域为 ，符合题意；
时， 定义域与值域均为R，符合题意；
时， 定义域为R，值域为 ，不符合题意；
时， 定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
13．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出函数定义域、值域化简命题p，q，再利用充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】
依题意，命题p： ，命题q： ，显然 ，
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B
14．D
【解析】
【分析】
依次判断各个选项中函数的值域即可.
第 12 页【详解】
对于A， ， 且 ，即值域为 ，A错误；
对于B， ， ，即值域为 ，B错误；
对于C，当 时， ， 值域为 ，C错误；
对于D， ， ，即值域为 ，D正确.
故选：D.
15．B
【解析】
【分析】
先求得函数 的定义域为 ，值域为 ，结合一次函数，指数函数，对数函数和幂函数的性质，逐
项判定，即可求解.
【详解】
根据指数函数与对数函数的性质，可得函数 的定义域为 ，值域为 ，
对于A中，函数 的定义域为 ，不符合题意；
对于B中，函数 ，可得其定义域为 ，
根据幂函数的性质，可得其值域为 ，符合题意；
对于C中，函数 的定义域为 ，不符合题意；
对于D中，函数 的值域为 ，不符合题意.
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得 ，有 且 ，进而可求 的取值
范围.
【详解】
由 是幂函数，知： ，又 在 上，
∴ ，即 ，则 且 ，
∴ .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数
第 13 页的性质求范围.
17．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象经过点 ，可得幂函数的解析式，根据偶函数的定义可得幂函数为偶函数，根据偶函数的
对称性可得答案.
【详解】
设 ，依题意可得 ，解得 ，
所以 ，因为 ，
所以 为偶函数，其图象关于 轴对称.
故选：B.
【点睛】
本题考查了求幂函数的解析式，考查了幂函数的奇偶性，属于基础题.
18．A
【解析】
【分析】
由于函数为幂函数，所以 ，再将点 代入解析式中可求出 的值，从而可求出
【详解】
解：因为 为幂函数，所以 ，所以 ，
因为幂函数的图像过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：A
19．D
【解析】
利用已知条件得到 求出 的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.
【详解】
由题意得：
或 ，
又函数 在 上单调递增，
则 ，
则 ，
当 时，
，
第 14 页则 过定点 .
故选：D.
20．B
【解析】
【分析】
根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.
【详解】
设幂函数为f(x)=xα，
因为幂函数的图象过点(3， )，
所以f(3)=3α= = ，
解得α= ，
所以f(x)= ，
所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及单调区间，属于简单题.
21．D
【解析】
【分析】
根据函数为幂函数求出 ，再验证单调性可得.
【详解】
因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时， 在 上为减函数，不符合题意，
当 时， 在 上为增函数，符合题意，
所以 .
故选：D.
22．A
【解析】
【分析】
由 是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．
【详解】
由于 为幂函数，所以 或 ；又函数 在 上单调递减，故当 时符合
条件，
故选：A
23．C
【解析】
第 15 页【分析】
由 可求得 ，得出 单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】
由 可得 ，∴ ，
∴ ，即 .由此可知函数 在 上单调递增.
而由换底公式可得 ， ， ，
∵ ，∴ ，于是 ，
又∵ ，∴ ，故 ， ， 的大小关系是 .
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
24．C
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式为 ,代入 求解解析式,进而求得 即可.
【详解】
设幂函数的解析式为 ,代入 有 ,故 .
故 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式求解以及函数求值,属于基础题.
25．D
【解析】
【分析】
由幂函数的定义求得 的可能取值，再由单调性确定 的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【详解】
由题意 ，解得 或 ，
又 在 上单调递增，所以 ， ，
所以 ， ，易知 是偶函数，
所以由 得 ，解得 或 .
故选：D.
26．B
第 16 页【解析】
【分析】
由题意可得， ，且 为偶数，由此求得m的值．
【详解】
∵幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，且 为偶数
或
当 时， 满足条件；当 时， ，舍去
因此：m＝1
故选：B
27．D
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求 的值
【详解】
解：设 ，则 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
28．C
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值．
【详解】
设 ，由题意 ， ， ， ．
故选：C．
29．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义解出函数 的解析式，进而求出 即可.
【详解】
由题意知，函数 图象过点 ，
所以 ，即 ，则 ，得 ，
第 17 页所以 ，有 .
故选：B
30．A
【解析】
【分析】
分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在 上的单调性，结合题意可得出合适的选项.
【详解】
对于①，函数 为偶函数，且 ，该函数的值域为 ，
函数 在 上为减函数，该函数在 上为增函数，①满足条件；
对于②，函数 为奇函数，且 ，该函数的值域为 ，
函数 在 上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数 的定义域为 ，且 ，该函数为奇函数，
当 时， ；当 时， ，则函数 的值域为 ，
函数 在 上为增函数，该函数在 上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数 为奇函数，且函数 的值域为 ，该函数在 上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
31．C
【解析】
先根据题意得幂函数解析式为 ，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为幂函数 的图像过点 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由于函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ．
故 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据
幂函数的系数为 待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
32．C
【解析】
【分析】
第 18 页根据幂函数的单调性，定义域，值域，对称，奇偶性，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，函数的定义域和值域均为 ，A正确；
， ，函数为奇函数，故BD正确；
在 和 是减函数，但在 不是减函数，C错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义域，对称，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
33．D
【解析】
【分析】
由于函数为幂函数，所以 ，求出 或 ，由于幂函数的图像关于原点对称，所以 ，然后
解不等式 即可得答案
【详解】
由题意得： ，得 或
当 时， 图象关于y轴对称，不成立；
当 时， 是奇函数，成立；
所以不等式转化为 ，即 ，解得 .
故选：D
34．C
【解析】
【分析】
利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【详解】
A. 函数 的定义域为 ，值域为R；
B. 函数 的定义域为R，值域为 ；
C. 函数 的定义域为R，值域为R；
D. 函数 的定义域为 ，值域为 ，
故选：C
35．B
【解析】
【分析】
设幂函数 ，依次将点 ，点 坐标代入，可得 ，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案.
【详解】
第 19 页设幂函数 ，因为点 在 的图象上，
所以 ， ，即 ，
又点 在 的图象上，所以 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
故选：B
36．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数等于 ，以及 的指数位置大于 即可求解.
【详解】
因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ．
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
所以 ．
故选：D.
37．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ，从而可求出实数 的值
【详解】
解：因为幂函数 在 上是减函数，
所以 ，
由 ，得 或 ，
当 时， ，所以 舍去，
当 时， ，
所以 ，
故选：B
38．D
【解析】
先求出幂函数的解析式，从而可求出 的值
【详解】
第 20 页解：设幂函数 ，
因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
39．B
【解析】
【分析】
根据点 在幂函数 的图象上，求出 ，求出函数 的定义域，结合基本不等式即可得
出所求.
【详解】
解：因为点 在幂函数 的图象上，
所以 ，即 ，
，所以 ，
故 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
故选：B.
40．C
【解析】
【分析】
求出幂函数的解析式，然后求解函数值．
【详解】
幂函数 的图象过点 ，
可得 ，解得 ，
幂函数的解析式为： ，
可得 （3） ．
故选： ．
41．ACD
【解析】
【分析】
第 21 页先代点求出幂函数的解析式 ，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由 可判断C，利用
展开和0比即可判断D.
【详解】
将点(4,2)代入函数 得： ，则 .
所以 ，
显然 在定义域 上为增函数，所以A正确.
的定义域为 ，所以 不具有奇偶性，所以B不正确.
当 时， ，即 ，所以C正确.
当若 时，
=
= .
即 成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，
42．BD
【解析】
【分析】
设幂函数 ，（ 为常数），根据幂函数的图象过点 ，求出 的值，从而利用幂函数的性质即
可求解.
【详解】
解：设幂函数 ，（ 为常数），
因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，定义域为 ，
因为定义域不关于原点中心对称，所以函数 不具有奇偶性，
第 22 页因为 ，所以 在 上是增函数，
故选：BD.
43．BC
【解析】
首先根据函数是幂函数，求得 的两个值，然后根据题意判断函数在 上是增函数，确定 的具体值，再结
合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】
由于函数 为幂函数，故 ，即 ，解得 .当 时， ，当
时， .由于“对任意 ，且 ，满足 ”知，函数在 上为增函数，
故 .
易见 ，故函数 是单调递增的奇函数.
由于 ，即 ，得 ，所以 ，此时，若当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ，故 ；当 时，由 知， ，故 或 或 ，即
或 或 .
综上可知， ，且 或 或 .
故选：BC.
【点睛】
本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定 和 的符号情况.
44．ACE
【解析】
将函数还原成根式形式： ，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性.
【详解】
，
当m，n是奇数时，幂函数 是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/ 在 时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数 在 上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数 在 上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
【点睛】
此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用
第 23 页m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性.
45．
【解析】
【分析】
由幂函数的解析式的形式可求出 和 的值，再将点 代入可求 的值，即可求解.
【详解】
因为 是幂函数，
所以 ， ，又 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
46． ##
【解析】
【分析】
利用换元法将函数化为 ，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】
设 ，则 .因为 ，所以 . 当 时， .所以函数的值域为 .
故答案为：
47．3
【解析】
【分析】
根据幂函数的函数性质，写出各个幂函数的定义域和值域，即可求解.
【详解】
① 的定义域为 ，值域为 .
② 的定义域为 ，值域为 .
③ 的定义域为 ，值域为 .
④ 的定义域为 ，值域为 .
⑤ 的定义域为 ，值域为 .
⑥ 的定义域为 ，值域为 .
故定义域与值域相等的有①, ②和⑤
故答案为：3
第 24 页【点睛】
本题考查幂函数的函数性质，属于基础题.
48．
【解析】
根据幂函数的定义，可求得a值，代入点坐标，可求得b值，根据 的奇偶性和单调性，化简整理，即可得答案.
【详解】
因为 为幂函数，所以 ，解得a=2
所以 ，又 在 上，代入解得 ，
所以 ，为奇函数
因为 ，所以 ，
因为 在R上为单调增函数，
所以 ，解得 ，
故答案为：
49．
【解析】
【分析】
先求 ，再根据奇函数求
【详解】
，因为 为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
50．4
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义和单调性，即可求解.
【详解】
解： 为递增的幂函数，所以 ，即 ，
解得： ，
故答案为：4
51． ．
【解析】
根据幂函数的概念及单调性，由题中条件，求出 的值，将所求不等式化为 ，直接解不等式，即可得出结
第 25 页果.
【详解】
因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ；
又 在区间 上是严格增函数，所以 ，则 ，所以 ；
因此不等式 可化为 ，显然 ；
当 时， ， ，所以 恒成立；
当 时， 可化为 ，因此 ，
综上，满足 的 的取值范围是 .
52．（1） ；（2）存在， .
【解析】
【分析】
（1）根据函数 是幂函数 ，且 ，求出实数 ，即可求出函数 的解
析式；
（2）化简得 ，求出对称轴，分 ， ， 三种情况分别求得函数的最大值，
即可求出实数 的值.
【详解】
解：因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，故不符题意，
当 时， ，则 ，符合题意，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为： ，
当 时，函数 在区间 上递减，
则 ，解得 ，符合题意；
当 时，函数 在区间 上递增，
则 ，解得 ，符合题意；
当 时， ，解得 ，不符题意，
综上所述，存在实数 满足题意.
53．（1） ；（2）当 时， ； 在 上的图象见解析；（3） 的单调递
增区间为 和 ，递减区间为
第 26 页【解析】
【分析】
（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当 时， 的解析式，并画出图像；
（3）利用 的图象写出单调区间即可
【详解】
（1）设 ，
则
（2） ，
当 时
设 则 ，
是 上的奇函数
即当 时，
图象如下图所示：
（3）由 在 上的图象可知：
的单调递增区间为 和 ，递减区间为
54．（1） ，（2）证明见解析
【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得 ，然后直接利用单调性的定义证明即可
【详解】
（1）解：设 ，则 ，得 ，
所以 ，
（2）证明：由（1）可得 ，
任取 ，且 ，则
第 27 页，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 函数 在区间 上单调递增
55．(1) , ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；
（2）由（1），得 ，利用换元法得到 ，
，再根据二次函数的性质即可求解.
(1)
因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时，函数 是奇函数，符合题意，
当 时，函数 是偶函数，不符合题意，
综上所述， 的值为 ，函数 的解析式为 .
(2)
由（1）知， ，
所以 ，
令 ，则 ，
，
所以 ， ，
根据二次函数的性质知， 的对称轴为 ，开口向上，
第 28 页所以 在 上单调递增；
所以 ，
所以函数 在 的值域为 .
第 29 页第 30 页
