文档内容
微专题：求函数的最值
【考点梳理】
1、函数的最大(小)值
最大值 最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
条件 f(x)≤M f(x)≥M
x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何
y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
意义
2、函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x) ≥m.
min
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x) ≤m.
max
【题型归纳】
题型一：利用函数单调性求最值或值域
1．已知 是 上的单调函数，若 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数 在区间 上的最大值和最小值分别为M，m则 （ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：
设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ．已知函数
，则函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：根据函数的最值求参数
4．已知函数 = 在 处有极小值，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设 ，函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 在 上的最大值与最小值之和不小于 ，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
题型三：复合函数的最值
7．已知函数 ，则 的最大值 的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知函数 的单调区间是 ，那么函数 在区间 上（ ）
A．当 时，有最小值无最大值 B．当 时，无最小值有最大值
C．当 时，有最小值无最大值 D．当 时，无最小值也无最大值
9．设函数 在R上有定义，对于给定的正数K，定义函数 ，取函数
，若对任意的 ，恒有 ，则K的（ ）
A．最大值为1 B．最小值为1
C．最大值为2 D．最小值为2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．已知函数 ，则“ ”是“函数 在 上存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D． 或
12．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
13．若函数 ， 的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
14．已知 ,设函数 ( )的最大值为M , 最小值为N ,那么 =
A．2025 B．2022 C．2020 D．2019
15．函数 的最大值是（ ）
A． B．0 C．4 D．2
16．如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为5，那么 在区间 上是（ ）
A．减函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．增函数且最小值是
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．若函数 在区间 上的最大值是4，则实数 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
18．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函数： ，则下列命题正确的
是（ ）
A．函数 的最大值为 ，最小值为 B．
C．方程 有无数个根 D．函数 在定义域上是单调递增函数
19．设函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 ､ ,则 .
A． B．13 C． D．12
20．函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
21．若函数 在定义域 上的值域为 ，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数 （ ）在 上的最大值为1，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．已知函数 ，则 在区间 上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
24．函数 在区间 上的最大值、最小值分别是（ ）
A． ， B． ，1 C． ， D．1，
25．已知函数 的值域为 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【高分突破】
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
26．定义运算 ：①对 ， ；②对 ， ， ，
.若 ，则有（ ）
A．函数 的图象关于 对称 B．函数 在 上单调递增
C．函数 的最小值为2 D．
27．定义域为 的函数 满足 ，且当 时， ，则当 时， 的
最小值是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为
”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
29．已知函数f(x)满足f(x-1)=2f(x)，且x 当x [-1，0)时，f(x)=- -2x+3，则当x [1,2)时，f(x)的最大值为
（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
30．定义在 上函数满足 ，且当 时， .则使得 在 上恒成
立的 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
31．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小值为
B．函数 在 上单调递增
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．函数 为偶函数
D．若方程 在 上有4个不等实根 ，则
32．已知函数 (即 ， )则（ ）
A．当 时， 是偶函数 B． 在区间 上是增函数
C．设 最小值为 ，则 D．方程 可能有2个解
33．已知直线 ， 是直线 上的任意一点，直线 与圆 相切．下列结论正确
的为（ ）
A． 的最小值为
B．当 ， 时， 的最小值为
C． 的最小值等于 的最小值
D． 的最小值不等于 的最小值
34．已知函数 （ ）的值域为 ，则实数 与实数 的取值可能为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
三、填空题
35．已知函数 ， ，则此函数的值域是____.
36．设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则 ___________.
37．关于函数 的下列命题：
①函数 的图象关于y轴对称；
②函数 的最小值为 ；
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③当 时， 是增函数；当 时， 是减函数；
④ 在 上是增函数；
⑤ 无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是_________．
38．已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的最大值是____.
39．已知 ，函数 的最小值为 ，则由满足条件的 的值组成的集合是
_______________.
40．已知函数 为定义在R上的单调函数，且 ，则 在 上的值域为______．
四、解答题
41．新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 （万
元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产
量将增加到 （万件），其中k为工厂工人的复工率 ，A公司生产t万件防护服还需投入
成本 （万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的 （万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
42．已知函数 ，在区间 上有最大值16，最小值 .设 ．
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数k的取值范围；
43．已知函数 ，其中a为常数．
(1)当 时，求函数 的值域；
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
44．已知函数 .
(1)判断并说明 的奇偶性；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，正实数 满足 ，且 的取值范围为A，若函数 在 上
的最大值不大于最小值的两倍，求实数 的取值范围.
45．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调增区间；
（2）判断 的奇偶性，并证明；
（3）当 时， 的最大值为 ，求实数 的取值范围.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
令 ，所以 ，所以 ，又因为 ，求出 ，则可
求出 ，再代入求出 ，即可求出 的值域.
【详解】
令 ，所以 ，
则令 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
解得： ，所以
所以 ，
因为 ，
所以 的值域为： .
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
将函数 分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】
因为f(x)= =2+ ，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以 .
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
先求出 在（0,3）上的值域，再根据高斯函数的定义，求解 的值域.
第 9 页【详解】
因为 ，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 ；
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
求导后，导函数是二次函数，根据二次函数的符号验证极值点即可.
【详解】
由 ，
可得 ，
令 ，得 ， ．
由题知 ，解得 ．当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 处有极小值，满足
题意，所以 ；
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
当 时，结合不等式求得其最小值为 ，当 时， ，根据
函数 的最小值为 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
第 10 页当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
法一：由题设得 ，结合二次函数的性质研究 符号，进而确定
的单调性，求得不同情况下的最值并结合 ，即可求参数范围；
法二：由题设可得 、 ，应用作差法，与 比较大小，
即可确定最值结合 ，即可求参数范围；
【详解】
法一：由题意， ，对于 ，
当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，因此 ；
当 ，即 时，由 、 且 ，则 在
上有两个不相等的实根 ， ，
不妨设 ，则 上 ， 上 ， 上 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
由此， ， .
由 ，则
，同理可得 ，
所以 ， ，则 ，解得 ，
与 矛盾.
综上， .
法二：由题意得： ，
第 11 页.
当 时，
，即
，
所以 ；
，又 ， ，即 ，
所以 .
综上， ，即 ，得 .
故选：B.
7．B
【解析】
【分析】
由题可得 ，进而可得当 时，函数 的最大值为 ，当
时，函数 的最大值为 ，再求函数 的最小值即可.
【详解】
令 ，则 ，
∴ 时，函数 单调递减， 时，函数 单调递增，
所以可得 ，
∴当 时，函数 的最大值为 ，当 时，函数 的最大值为
，
当 时，函数 ，当 时， ，
∴函数 的最小值是 .
故选：B.
第 12 页8．D
【解析】
【分析】
依题意不等式 的解集为（1，+∞），即可得到 且 ，即 ，再
根据二次函数的性质计算 在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最
值情况．
【详解】
因为函数 的单调区间是 ，
即不等式 的解集为（1，+∞），
所以 且 ，即 ，
所以 ,
当 时， 在 上满足 ，
故 此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；
当 时， 在 上满足 ，
此时 为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，求出函数 的最大值即可的解.
【详解】
解：因为对任意的 ，恒有 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以K的最小值为2.
故选：D.
10．B
【解析】
【分析】
按照 的取值范围进行分类讨论，结合反比例函数图像性质分析题意，找出 在
第 13 页[1,＋∞）上存在最小值的等价条件，然后借助 的取值范围得出结论.
【详解】
①当 时， 恒成立，所以 在 上存在最小值为0；
②当 时， ，可以看做是函数 ( )图像向左平移 个单位得到，所
以 在 只有最大值，没有最小值；
③当 时， ，可以看做是函数 ( )图像向右平移 个单位得到，所
以 若要在 单调递增，需要 ，即 .
综上所述：当 时， 在 上存在最小值，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件,
即“ ”是“函数f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
函数 化为 ，讨论 ， 和 时函数的单调性，运用单调性
可得最小值，解方程即可得到所求值．
【详解】
函数 ，即 ， ，
当 时， 不成立；
当 ，即 时， 在 递减，可得 为最大值，
即 ，解得 成立；
当 ，即 时， 在 递增，可得 为最大值，
即 ，解得 不成立；
综上可得 ．
故选： ．
12．A
第 14 页【解析】
【分析】
由 可解得 ，结合基本不等式，知 ；经过变形化简可将
原式整理为 ，令 ，则 ， ， ，
结合函数的单调性即可得解．
【详解】
由 可知， ，解得 ，
由基本不等式得， ．
，
令 ，则 ， ，
，在 ， 上单调递增，
（4） ，即 的最小值为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查解三角形中正弦面积公式的应用，还运用到了基本不等式以及函数的单调性，考
查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13．C
【解析】
根据函数的最大值和最小值定义直接求解即可.
【详解】
由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标 ，同理，最小值对应 .
故选：C
【点睛】
本题考查了最大值和最小值的定义，属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得 ，再表示
出 ，通过 ，结合函数的增减性即可求得结果
【详解】
第 15 页由题可知 ，
，
在 为增函数，
故选B
【点睛】
本题考查分离常数法的具体应用，函数单调性的判断与应用，运算能力，属于中档题
15．C
【解析】
对函数的解析式进行配方，最后求出函数的最大值.
【详解】
函数 ，当 时，函数 取得最大值4.
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的最大值，属于基础题.
16．D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质分析判断即可得结论
【详解】
因为 为奇函数，在 上是增函数且最大值为5，
所以 在区间 上为增函数，且最小值是 ，
故选：D
17．B
【解析】
分 和 两种情况求解， 时， 在区间 上为增函数，从而可求出其
最大值，当 时， 在区间 上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答
案
【详解】
解：当 时， 在区间 上为增函数，则当 时， 取得最大值，即
，解得 ；
当 时， 在区间 上为减函数，则当 时， 取得最大值，即 ，
解得 舍去，
第 16 页所以 ，
故选：B
18．C
【解析】
【分析】
根据新定义函数的概念，做出函数图象，逐项判断即可.
【详解】
作出函数 的图象，
对于A项，由图可知：函数 无最大值，最小值为 ，故A错误，
对于B项， ， ，所以
，故B不正确，
对于C项，方程 的解为 ，故C正确，
对于D项，在每一个区间 上，函数 都是增函数，
但是在定义域上不是单调递增，故D错误．
故选：C.
19．C
【解析】
把函数解析式化为 ,令 ,则
,根据对勾函数性质可求出最小值和最大值.
【详解】
解： ；
第 17 页因为 ，所以 ，
令 ，则 ；
因为 ，
根据对勾函数性质可知当 时，函数有最小值为 ；
当 时，函数有最大值为 .
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的变形分离常数法，及利用导数在闭区间求最值的问题，属于中档题.
20．C
【解析】
把函数的解析式进行变形，利用反比例型函数的单调性，求出函数的最小值.
【详解】
由 知， 在 上是增函数，所以 在
上递增，所以 .
故选：C
【点睛】
本题考查了反比例型函数的单调性，考查了数学运算能力.
21．A
【解析】
【分析】
的对称轴为 ，且 ，然后可得答案.
【详解】
因为 的对称轴为 ，且
所以若函数 在定义域 上的值域为 ，则
故选：A
22．B
【解析】
【分析】
易得当 时，函数 在 上单调递减，在 处取得最大值，从而列式计算
第 18 页可得结果.
【详解】
当 时，函数 在 上单调递减，
所以函数 （ ）在 处取得最大值，最大值为 ，
解得 ．
故选：B.
23．C
【解析】
先判断出函数在 单调递减，即可求出最大值.
【详解】
在 单调递减，
.
故选：C.
24．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】
易知函数 在区间 是单调递减函数，
因此当 时，函数 的最大值为 ，
当 时，函数 的最小值为 .
故选 .
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数 当 时为减函数，当 时为增函
数，是基础题.
25．C
【解析】
【分析】
由题可得 ，令 ，设 ，
第 19 页则 ，再利用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】
∵ ，
∴ ，
令 ，设 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， ，无解，
当 时， ，无解.
综上， 或 .
故选：C.
26．A
【解析】
依据题中新定义化简 ，再对选项逐一判断即可.
【详解】
依题意， =
，
故 ， ，即 ，函数 的图
象关于 对称，A正确；
第 20 页，由 ， 复合而成，
时 递增，此时 单调递减，故 在 递减；
时 递增，此时 单调递增，故 在 递增，故B错
误；
根据单调性知 在 时取得最小值 ，故C错误；
因为 ，根据单调性得 ，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是理解新定义并应用，化简 ，再研究函数性质
即突破难点.复合函数 单调性的判断方法为先将函数拆分为 和 ，
分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.
27．C
【解析】
【分析】
先求得 ，然后将 转化为 来求得 的解析式，由此求得 的
最小值.
【详解】
，
，
，
， ，
依题意 ，且当 时， ，
所以 ，故当 时，
取得最小值 .
故选：C
28．A
【解析】
第 21 页【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条
件，
故选：A.
29．B
【解析】
首先设 ，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】
设 ， ，
，
，
，
， 在区间 单调递减，函数的最大值是 .
故选：B
【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，
就是将变量 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数
的解析式.
30．D
【解析】
【分析】
由题意可得，在区间 上， ，作函数
第 22 页的图象，如图所示，然后结合图像可求出 的最小值
【详解】
根据题设可知，当 时， ，故 ，
同理可得：在区间 上， ，
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.
在 上，由 ，得 .
由图象可知当 时， .
故选：D.
【点睛】
此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
31．ACD
【解析】
将函数 配方，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出
的图像，结合对称性，可判断选项D真假
【详解】
，最小值为 ，
所以选项A正确；
的对称轴为 ，单调递增区间为 ，
所以选项B不正确；
令 ，
所以 为偶函数，所以选项C正确；
第 23 页令 ，
零点转化为 与 的交点，
做出 图像如下图所示：
图像关于 对称，当 与 有四个交点时，
两两分别关于 对称，所以 ，
所以选项D正确.
故选ACD
【点睛】
本题以二次函数为背景，考查函数的图像，性质，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】
：当 时， ，即 ，
所以 ，所以 是偶函数，故正确；
：当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
综上， 在 上是增函数，故 正确；
第 24 页：当 时， ，
当 时， ，
因为不能确定 的大小，所以最小值 无法判断，故 错误；
：令 ，
当 时， ， 有2个解，故 正确.
故选：ABD
33．ABC
【解析】
【分析】
利用 的几何意义可判断A选项的正误；利用直线与圆相切求得 ，可得出
，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式求出 的最小值，
可判断B选项的正误；判断函数 在 上的单调性，可判断
CD选项的正误.
【详解】
因为直线 与圆 相切，则 ， ，可得 .
对于A选项， 的几何意义为直线 上的点 到原点 的距离，
所以， 的最小值即为原点 到直线 的距离，即为 ，A选项正确；
对于B选项，当 ， 时，
，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，B选项正确；
对于CD选项，因为
，
因为 ，令 ，任取 ，则 ，
第 25 页，
，所以，
，
同理可知， ，
所以， ，即 ，故函数 在 上单调递减，
故函数 在 上无最小值，
因此， 的最小值等于 的最小值，C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：
（1） ：表示点 与点 连线的斜率；
（2） ：表示点 到点 的距离；
（3） ：表示点 到直线 的距离的 倍.
34．ABD
【解析】
化简得到 ，设 ，则 ，依次判断每个选项得到
第 26 页答案.
【详解】
，
设 ，则 .
当 时， 在 上单调递增， 时， ，故 ， 正确；
当 时， 在 上单调递增， 时， ，故 ， 正确；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， 错
误；
当 时， 在 上单调递增， 时， ，故 ， 正
确.
故选： .
【点睛】
本题考查了函数的值域，根据换元利用单调性是解题的关键.
35．
【解析】
利用反比例函数的单调性可求得原函数的值域.
【详解】
因为函数 在区间 上为增函数，当 时， ，即 .
因此，函数 ， 的值域为 .
故答案为： .
36．4
【解析】
【分析】
令 =d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.
【详解】
令 =d，由 消去a得： ，即 ，
而 ， ，则 ， ， ，
第 27 页依题意 ，解得 .
故答案为：4
37．①②④
【解析】
【分析】
对①，根据题意得到函数 为偶函数，从而判断①正确；对②，利用基本不
等式得到函数的最小值为 ，从而判断②正确；对③，利用复合函数的单调性即可判断
③错误；对④，根据③和偶函数性质即可判断④正确；对⑤，由②可知⑤错误.
【详解】
对①， ，定义域为 ，
，
所以函数 为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.
对②， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 的最小值为 ，故②正确.
对③， 时， ，
令 ，设任意 ，
.
当 时， ，所以 为减函数，
当 时， ，所以 为增函数，
所以 在 为减函数，在 为增函数，故③错误.
对④，因为函数 在 为减函数，在 为增函数，
第 28 页又因为函数 为偶函数，
所以 在 ， 上是增函数，故④正确.
对⑤，由②知，函数 的最小值为 ，故⑤错误.
故答案为：①②④
38．
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究
入手，令 ，从而使问题加以转化，
通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】
使得 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，
由折线函数，如图
只需 ，即 ，即 的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
39．
【解析】
【分析】
讨论 与 、 的大小关系，判断函数 在 、 上的单调性与最小值，根
据函数 的最小值列方程解出实数 的值.
【详解】
分以下三种情况讨论：
第 29 页①若 时，即当 时， ，
所以，函数 在 上单调递减，且 ，
当 时， ，
此时，函数 无最小值；
②若 时，即当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
，所以， ，整理可得 ，
，解得 （舍去）；
③当 时，即当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
因为 ，所以， ，整理可得 ，
，解得 或 （舍去）.
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数
第 30 页的单调性得出函数的最小值，进而求解.
40．
【解析】
【分析】
易知 是一个固定的数记为 ，得到 ，进而有 ，
即 ，求得 ，利用函数的单调性求得其值域.
【详解】
因为 为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ， ，即 ，
因为函数 为增函数，且 ，所以 ，
．
易知 在 上为增函数，且 ， ，
则 在 上的值域为 ．
故答案为： .
41．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；
（2）根据（1）的结果，由题意，只需 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，根据函数单调性，求出 的
最大值，即可得出结果.
【详解】
（1）因为 公司生产 万件防护服还需投入成本 ，政府以每套80元的价格
收购其生产的全部防护服，且提供 （万元）的专项补贴，
所以， 公司生产防护服的利润
第 31 页；
（2）为使 公司不产生亏损，只需利润 在 上恒成立；
即 在 上恒成立；
因为 ，
令 ，因为 ，所以 ，
记 ，
任取 ，
则
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增；
因此 ，即 的最大值为 ；
所以只需 ，即 .
【点睛】
本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关
键，属于常考题型.
42．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质知 在 上为减函数，在 上为增函数，结合其区间的最
值，列方程组求 ，即可写出 解析式；
（2）由题设得 在 上恒成立，即k只需小于等于右边函数
第 32 页式的最小值即可.
【详解】
（1）∵ ( )，即 在 上为减函数，在 上为增函数．
又在 上有最大值16，最小值0，
∴ ， ，解得 ，
∴ ；
（2）∵
∴ ，由 ，则 ，
∴ ，设 ， ，
∴ 在 上为减函数，当 时， 最小值为1，
∴ ，即 .
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式；
（2）将问题转化为在区间内 ，求参数范围.
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法转化为求二次函数的值域即得；
（2）通过换元可得 ， 恒成立，再利用函数的单调性及基本不
等式求函数的最值即得.
(1)
当 时， ．
令 ，易知 ，于是求函数 的值域等价转化为求函数 在R上
的值域．
∵ 的值域为 ，
∴函数 的值域为 ．
第 33 页(2)
设 ，∵ ，∴ ．
∵ ， 恒成立，
∴ ， 恒成立，
∴ ， 恒成立．
令 ， ，
易知 在 上单调递增，
∴ ，
令 ， ，
∵ ，当且仅当 时取等号，
∴ ．
∴ ，即实数a的取值范围是 ．
44．(1)当 时， 为奇函数，当 时， 为非奇非偶函数
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实
数 的取值范围.
(1)
因为函数 的定义域关于原点对称，
第 34 页由 ， ，及实数 的任意性，
可知，当 时， 为奇函数，当 时， 为非奇非偶函数.
(2)
∵ ，
∴ 令 ，当 ，则
即存在 使 成立，只需
∵ ∴ .
(3)
∵ ∴ ，
则 ，当且仅当 取等号，
∴ ，
∵ ，∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴ ，
①当 ，即 时， 在 单调递增，
∴ 即 得 ，∴ ，
②当 ，即 时，在 单调递减，
∴ 即 得 ，∴ ，
③当 时， ， ，
由 .
（ⅰ）当 时， ， ，
得 ，
（ⅱ）当 时，∴ ，则 ，
得 .
第 35 页综上， .
【点睛】
（1）对函数奇偶性的证明只能用定义： 或 ；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
45．（1）增区间： 和 ；（2）答案见解析；（3）
.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质化简函数的表达式，根据二次函数的单调性进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；
（3）根据 的正负性，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）当 时， ，
因为 的对称轴为 ，当 时，此时函数单调递增，
因为 对称轴为 ，当 时，此时函数单调递增，
所以增区间： 和 ；
（2） 时， ，因为
所以 为奇函数；
时，因为 ， ，
所以 既不是奇函数，也不是偶函数，
（3） ，
①若 ，则 ， ；
②若 ，则
（i）当 时，即 ，所以 ，
因为 ，所以舍去；
当 时， ，
（ii）当 时，即当 时，
第 36 页，符合题意；
（iii）当 时，即当 时，.
，所以无解，不符合题意，
综上： .
【点睛】
关键点睛：根据函数的对称轴和给定区间的位置关系进行分类讨论是解题的关键.
第 37 页第 38 页
